Производная сложной функции

п.1. Понятие сложной функции

Рассмотрим функцию \(z(x)=sin^3⁡x\)

Базовым аргументом этой функции является x. Сначала от x берется синус, а потом синус возводится в куб: $$ y=f(x)=sin⁡x,\ \ z=g(y)=y^3=(sin⁡x)^3=g(f(x)) $$

В композицию может входить сколько угодно функций.
Термин «сложная функция» также используется в более узком смысле к композициям вида: \(z=g(f(x),h(x))\), т.е. когда на вход внешней функции подается несколько различных внутренних функций.

Для наших целей (поиска производной) мы будет символически изображать цепочку последовательных отображений x в таком виде: $$ x\rightarrow sinx\rightarrow(\boxdot)^3 $$ где квадрат с точкой означает сложный аргумент, от которого берется функция на очередном шаге. Легко заметить, что аргументом на следующем шаге становится всё функциональное выражение из предыдущего шага.
Например:
Цепочка отображений x для функции \(z(x)=\ln\left(⁡(tg^2(4x+1)\right)\) имеет вид:
\(x\rightarrow(4x+1)\rightarrow tg\boxdot \rightarrow(\boxdot)^2\rightarrow \ln\boxdot \)

п.2. Теорема о производной сложной функции

Введем следующее обозначение производной (обозначение Лейбница):
\(f'(x)\overset{def}{=}\frac{df}{dx}\) - читается «де эф по де икс».
Это обозначение удобно, т.к. показывает и функцию и аргумент, по которому идет дифференцирование. Например:
\(z'(y)=\frac{dz}{dy},\ \ \varphi '(t)=\frac{d\varphi}{dt}\) и т.д.

Пусть внутренняя функция \(y=f(x)\), а внешняя \(z=g(y)=g(f(x))\).
При этом внутренняя функция дифференцируема в точке \(x_0\), а внешняя функция дифференцируема в точке \(y_0=f(x_0)\).
Справедлива следующая теорема:

Доказательство:
По определению производная внешней функции в точке $y_0$ равна:
$$ g'(y_0)=\lim_{\triangle y\rightarrow 0}\frac{\triangle z}{\triangle y}=\frac{dz}{dy} $$ Перепишем это выражение в виде: \(\triangle z=g'(y_0)\triangle y+\varepsilon(\triangle y)\cdot\triangle y\),
где отклонение \(\varepsilon(\triangle y)\) зависит от величины приращения \(\triangle y\), причем: $$ \lim_{\triangle y\rightarrow 0}\varepsilon(\triangle y)=\varepsilon(0)=0 $$ Кроме того, т.к. внутренняя функция непрерывна: $$ \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\varepsilon(\triangle y)=\varepsilon\left(\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\triangle y\right)=\varepsilon(0)=0 $$ Также, поскольку внутренняя функция дифференцируема, существует предел: $$ f'(x_0)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{dy}{dx} $$ Составим отношение: $$ \frac{\triangle z}{\triangle x}=g'(y_0)\frac{\triangle y}{\triangle x}+\varepsilon(\triangle y)\cdot\frac{\triangle y}{\triangle x} $$ Перейдем к пределу: \begin{gather*} z'(x_0)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle z}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(g'(y_0)\frac{\triangle y}{\triangle x}+\varepsilon(\triangle y)\cdot\frac{\triangle y}{\triangle x}\right)=\\ =g'(y_0)\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\varepsilon(\triangle y)\cdot \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=g'(y_0)\cdot f'(x_0)+0=g'(y_0)\cdot f'(x_0) \end{gather*} Или: $$ \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} $$ Что и требовалось доказать.

п.3. Алгоритм дифференцирования сложной функции

Шаг 1. Составить символическую цепочку отображений базового аргумента слева направо, от самого аргумента до последней внешней функции.
Шаг 2. Провести дифференцирование цепочки отображений справа налево, от последней внешней функции до базового аргумента.
Шаг 3. Записать итоговую производную сложной функции как произведение полученных производных.

Например:
Найдем производную функции \(z(x)=\ln⁡\left(tg^2(4x+1)\right)\)
Цепочка отображений: \(x\rightarrow(4x+1)\rightarrow tg\boxdot\rightarrow (\boxdot)^2\rightarrow\ln\boxdot\)
Дифференцируем цепочку справа налево:

Получаем результат: \begin{gather*} z'(x)=\frac{1}{tg^2(4x+1)}\cdot 2tg(4x+1)\cdot\frac{1}{cos^2(4x+1)}\cdot 4=\\ =\frac{8}{tg(4x+1)}\cdot\frac{1}{cos^2(4x+1)}=\frac{8}{sin(4x+1)cos(4x+1)}=\frac{16}{sin\left(2(4x+1)\right)} \end{gather*} Ответ: \(\frac{16}{sin\left(2(4x+1)\right)}\)

п.4. Примеры

Пример 1. Составьте цепочку отображений x для функций:
a) \( y=2cos^3x \) \begin{gather*} x\rightarrow 3x\rightarrow cos\boxdot\rightarrow (\boxdot)^2\rightarrow 2\boxdot \end{gather*}

б) \( y=\frac{10}{\sqrt{x^2-3x+1}} \) \begin{gather*} x\rightarrow (x^2-3x+1)\rightarrow \sqrt{\boxdot}\rightarrow \frac{10}{\boxdot} \end{gather*}

в) \( y=\lg\left(tg^2\left(\frac{1}{3x^3-4}\right)\right) \) \begin{gather*} x\rightarrow (3x^2-4)\rightarrow \frac{1}{\boxdot}\rightarrow tg\boxdot\rightarrow (\boxdot)^2\rightarrow \ln\boxdot \end{gather*}

г) \( y=sin^3\left(\frac{1}{cos(x^3+5)}\right)^5 \) \begin{gather*} x\rightarrow (x^3+5)\rightarrow cos\boxdot\rightarrow \frac{1}{\boxdot}\rightarrow (\boxdot)^5\rightarrow sin\boxdot\rightarrow (\boxdot)^3 \end{gather*}

Пример 2. Найдите производную функции:
a) \( y=sin2x \) \begin{gather*} x\rightarrow 2x\rightarrow sin\boxdot \end{gather*}

\begin{gather*} y'(x)=cos2x\cdot 2=2cos2x \end{gather*}

б) \( y=tg(x^2+2x-1) \) \begin{gather*} x\rightarrow (x^2+2x-1)\rightarrow tg\boxdot \end{gather*}

\begin{gather*} y'(x)=\frac{1}{cos^2(x^2+2x-1)}\cdot(2x+2)=\frac{2(x+1)}{cos^2(x^2+2x-1)} \end{gather*}

в) \( y=\sqrt{cos(2x+1)} \) \begin{gather*} x\rightarrow (2x+1)\rightarrow cos\boxdot\rightarrow \sqrt{\boxdot} \end{gather*}

\begin{gather*} y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{cos(2x+1)}}\cdot(-sin(2x+1))\cdot 2=-\frac{sin(2x+1)}{\sqrt{cos(2x+1)}} \end{gather*}

г) \( y=\frac{3}{\sqrt{cos(5x-3)}} \) \begin{gather*} x\rightarrow (5x-3)\rightarrow cos\boxdot\rightarrow \sqrt{\boxdot}\rightarrow\frac{3}{\boxdot} \end{gather*}

\begin{gather*} y'(x)=-\frac{3}{cos(5x-3)}\cdot\frac{1}{2\sqrt{cos(5x-3)}}\cdot(-sin(5x-3))\cdot 5=\frac{15tg(5x-3)}{2\sqrt{cos(5x-3)}} \end{gather*}

Пример 3*. Найдите значение производной в точке:
a) \( y=\sqrt{\frac{1-sinx}{cosx}},\ \ x_0=\frac\pi 4 \) \begin{gather*} x\rightarrow \frac{1-sinx}{cosx}\rightarrow\sqrt{\boxdot} \end{gather*} Ищем производную частного: \begin{gather*} \left(\frac{1-sinx}{cosx}\right)'=\frac{(1-sinx)'\cdot cosx-(1-sinx)\cdot cos'x}{cos^2x}=\\ =\frac{-cosx\cdot cosx+(1-sinx)\cdot sinx}{cos^2x}=\frac{-(cos^2x+sin^2x)+sinx}{cos^2x}=-\frac{1-sinx}{cos^2x} \end{gather*}

\begin{gather*} y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1-sinx}{cosx}}}\cdot\left(-\frac{1-sinx}{cos^2x}\right)=-\frac{\sqrt{1-sinx}}{2cosx\sqrt{cosx}} \end{gather*} Подставляем \(x_0=\frac\pi 4\): \begin{gather*} y'\left(\frac\pi 4\right)=-\frac{\sqrt{1-sin\frac\pi 4}}{2cos\frac\pi 4\sqrt{cos\frac\pi 4}}=-\frac{1}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{2}}-1\right)}{\frac{\sqrt{2}}{2}}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}=\\ =-\frac12\sqrt{2(\sqrt{2}-1)} \end{gather*} Ответ: \(-\frac12\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}\)

б) \( y=\left(\frac{1-sinx}{1+cosx}\right)^4,\ \ x_0=\frac\pi 4 \) \begin{gather*} x\rightarrow \frac{1-sinx}{1+cosx}\rightarrow \boxdot^4 \end{gather*} Ищем производную частного: \begin{gather*} \left(\frac{1-sinx}{1+cosx}\right)'=\frac{(1-sinx)'\cdot (1+cosx)-(1-sinx)\cdot (1+cosx)'}{(1+cosx)^2}=\\ =\frac{-cosx(1+cosx)+sinx(1-sinx)}{(1+cosx)^2}=\frac{-(cos^2x+sin^2x)+sinx-cosx}{(1+cosx)^2}=\\ =\frac{sinx-cosx-1}{(1+cosx)^2} \end{gather*}

\begin{gather*} y'(x)=4\left(\frac{1-sinx}{1+cosx}\right)^3\cdot\frac{sinx-cosx-1}{(1+cosx)^2}=\frac{4(1-sinx)^3(sinx-cosx-1)}{(1+cosx)^5} \end{gather*} Подставляем \(x_0=\frac\pi 4\): \begin{gather*} y'\left(\frac\pi 4\right)=\frac{4\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right)}{\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^5}=-\frac{4\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3}{\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^5}=-\frac{4(\sqrt{2})^5(\sqrt{2}-1)^3}{(\sqrt{2})^3(\sqrt{2}+1)^5}=\\ =-\frac{8(\sqrt{2}-1)^3}{(\sqrt{2}+1)^5}\cdot\frac{(\sqrt{2}-1)^5}{(\sqrt{2}-1)^5}=-\frac{8(\sqrt{2}-1)^8}{1^5}=-8(\sqrt{2}-1)^8 \end{gather*} Ответ: \(-8(\sqrt{2}-1)^8\)

в) \( y=sin(sin(sinx)),\ \ x_0=\pi \) \begin{gather*} x\rightarrow sinx\rightarrow sin\boxdot\rightarrow sin\boxdot \end{gather*}

\begin{gather*} y'(x)=cos(sin(sinx))\cdot cos(sinx)\cdot cosx \end{gather*} Подставляем \(x_0=\pi\): \begin{gather*} y'(\pi)=cos(sin(sin\pi))\cdot cos(sin\pi)\cdot cos\pi=cos 0\cdot cos 0\cdot(-1)=1\cdot 1\cdot(-1)=-1 \end{gather*} Ответ: -1

г) \( y=\ln\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}},\ \ x_0=\frac\pi 6 \)
Преобразуем выражение под логарифмом: \begin{gather*} \ln\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}=\frac12\ln\left(\frac{1-sinx}{1+sinx}\right)=\frac12(\ln(1-sinx)-\ln(1+sinx)) \end{gather*} Для первого слагаемого: \(x\rightarrow (1-sinx)\rightarrow\ln\boxdot\) \begin{gather*} (\ln(1-sinx))'=\frac{1}{1-sinx}\cdot(1-sinx)'=\frac{-cosx}{1-sinx} \end{gather*} Аналогично для второго слагаемого: \begin{gather*} (\ln(1+sinx))'=\frac{1}{1+sinx}\cdot(1+sinx)'=\frac{cosx}{1+sinx} \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} y'(x)=\frac12\left(\frac{-cosx}{1-sinx}-\frac{cosx}{1+sinx}\right)=-\frac{cosx}{2}\cdot\frac{(1+sinx)+(1-sinx)}{(1-sinx)(1+sinx)}=\\ =-\frac{cosx}{2}\cdot\frac{2}{1-sin^2x}=-\frac{cosx}{cos^2x}=-\frac{1}{cosx} \end{gather*} Подставляем \(x_0=\frac\pi 6\): \begin{gather*} y'\left(\frac\pi 6\right)=-\frac{1}{cos\frac\pi 6}=-2 \end{gather*} Ответ: -2

Пример 4*. При каких значениях x производная функции \(f(x)\) равна нулю?
a) \( f(x)=sin3x-\sqrt{3}cos3x+3(cosx-\sqrt{3}sinx) \)
Берем производную: \begin{gather*} f'(x)=3cos3x+3\sqrt{3}sin3x+3(-sinx-\sqrt{3}cosx)=\\ =3(cos3x+\sqrt{3}sin3x)-3(sinx+\sqrt{3}cosx) \end{gather*} По условию: \begin{gather*} 3(cos3x+\sqrt{3}sin3x)-3(sinx+\sqrt{3}cosx)=0\\ cos3x+\sqrt{3}sin3x=sinx+\sqrt{3}cosx\ |\cdot\frac12\\ \frac12cos3x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin3x=\frac12sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx\\ cos\frac\pi 3cos3x+sin\frac\pi 3sin3x=sin\frac\pi 6sinx+cos\frac\pi 6cosx\\ cos\left(3x-\frac\pi 3\right)=cos\left(x-\frac\pi 6\right)\\ cos\left(3x-\frac\pi 3\right)-cos\left(x-\frac\pi 6\right)=0\\ -2sin\frac{3x-\frac\pi 3+x\frac\pi 6}{2}sin\frac{3x-\frac\pi 3-x+\frac\pi 6}{2}=0\\ \left[ \begin{array}{l} sin\left(2x-\frac\pi 4\right)=0\\ sin\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\frac\pi 4=\pi k\\ x-\frac{\pi}{12}=\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x=\frac\pi 4+\pi k\\ x=\frac{\pi}{12}+\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2}\\ x=\frac{\pi}{12}+\pi k \end{array} \right. \end{gather*}
Ответ: \(\left\{\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{12}+\pi k\right\}\)

б) \( f(x)=20cos3x+12cos5x-15cos4x \)
Берем производную: \begin{gather*} f'(x)=-3\cdot 20sin3x-5\cdot 12sin5x+4\cdot 15sin4x=\\ =60(-sin3x-sin5x+sin4x) \end{gather*} По условию: \begin{gather*} 60(-sin3x-sin5x+sin4x)=0\\ (sin3x+sin5x)-sin4x=0\\ 2sin\frac{3x+5x}{2}cos\frac{3x-5x}{2}-sin4x=0\\ 2sin4xcosx-sin4x=0\\ sin4x(2cosx-1)=0\\ \left[ \begin{array}{l} sin4x=0\\ 2cosx-1=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x=\pi k\\ cosx=\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi k}{4}\\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*}
Ответ: \(\left\{\frac{\pi k}{4};\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\right\}\)