Применение производной в физике и технике

п.1. Скорость и ускорение

Рассматривая физический смысл производной (см. §42 данного справочника), мы выяснили, что:

Например:
Рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение.
Уравнение этого движения имеет вид: $$ x(t)=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2} $$ где \(x(t)\) - ккордината тела в произвольный момент времени \(t,\ x_0\) - начальная координата, \(v_0\) - начальная скорость, \(a=const\) - ускорение, действующее на тело.
Чтобы найти скорость тела из этого уравнения, нужно найти производную от координаты по времени: $$ v(t)=x'(t)=\left(x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}\right)'=0+v_0\cdot 1+\frac a2\cdot 2t=v_0+at $$ Чтобы найти ускорение, нужно найти производную от скорости: $$ a(t)=v'(t)=x''(t)=(v_0+at)'=0+a\cdot 1=a=const $$

п.2. Физические величины как производные от других величин

Если рассматривать уравнение процесса \(s=f(t)\), его производной будет величина $$ f'(t)=\lim_{\triangle t\rightarrow 0}\frac{\triangle s}{\triangle t} $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

Конечно же, в физике далеко не обязательно берут производную только по времени.
Например, для теплоты Q(T) теплоемкость равна C(T)=Q'(T), где T - температура.
А для процесса теплопереноса температура u(x,t) в точке с координатой x в момент времени t определяется уравнением теплопроводности: $$ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}-a^2\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=f(x,t) $$ и производные берутся по времени \(\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)\) и по координате \(\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)\), причем по координате берется производная второго порядка \(\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)\).
Поэтому в физике для производных чаще используются обозначения Лейбница, в которых хорошо видна как функция, так и аргумент.
Например, для производных функции от одной переменной: \(\frac{\partial \varphi}{\partial t},\ \frac{\partial p}{\partial V}, \frac{\partial Q}{\partial T},...\)
Для производных функций от многих переменных: \(\frac{\partial u}{\partial t},\ \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y},\ \frac{\partial u}{\partial z},...\)

п.3. Примеры

Пример 1. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону \(x(t)=t^2+t+1\) (м). Найдите: 1) кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения; 2) силу, действующую на тело в это время.
1) Кинетическая энергия равна \(E=\frac{mv^2}{2}\)
Скорость тела: \(v(t)=x'(t)=(t^2+t+1)'=2t+1\)
Через 3 с: \(v(3)=2\cdot 3+1=7\) (м/с)
Подставляем: \(E=\frac{6\cdot 7^2}{2}=147\) (Дж)

2) Сила по второму закону Ньютона: \(F=ma\)
Ускорение тела: \(a(t)=v'(t)=(2t+1)'=2\) (м/с^2)
Ускорение постоянно.
На тело действует постоянная сила: \(F=6\cdot 2=12\) (Н)

Ответ: 147 Дж; 12 Н

Пример 2. Маховик вращается по закону \(\varphi (t)=4t-0,5t^2\) (рад)
Найдите момент времени, в который маховик остановится.

Угловая скорость: \(\omega(t)=\varphi '(t)=(4t-0,5t^2 )'=4-0,5\cdot 2t=4-t\)
В момент остановки угловая скорость равна 0. Решаем уравнение: $$ 4-t=0\Rightarrow t=4\ (c) $$ Ответ: 4 c

Пример 3. Ракету запустили вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. В какой момент времени и на какой высоте ракета достигнет наивысшей точки (g≈10м/с²)?

Выберем начало отсчета на земле \((y_0=0)\), направим ось y вверх.
Начальная скорость направлена вверх, её проекция на ось положительна.
Ускорение свободного падения направлено вниз, его проекция отрицательна.
Уравнение движения: $$ y(t)=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}=0+40t-\frac{10t^2}{2}=40t-5t^2 $$ В верхней точке траектории ракета останавливается, её скорость равна 0.
Найдем скорость: $$ v(t)=y'(t)=40-5\cdot 2t=40-10t $$ Найдем момент остановки в верхней точке: $$ 40-10t_0=0\Rightarrow t_0=\frac{40}{10}=4\ (c) $$ Найдем высоту подъема в верхней точке: $$ H_{max}=y(t_0)=40\cdot 4-5\cdot 4^2=80\ (м) $$ Ответ: 4 с, 80 м

Пример 4. Через поперечное сечение проводника проходит заряд \(q(t)=\ln⁡(t+1)\) (Кл). В какой момент времени сила тока в проводнике равна 0,1 А?

Сила тока: $$ I(t)=q'(t)=(\ln(t+1))'=\frac{1}{t+1} $$ По условию: $$ \frac{1}{t_0+1}=0,1\Rightarrow t_0+1=\frac{1}{0,1}=10\Rightarrow t_0=9\ (c) $$ Ответ: 9 c

Пример 5. Колесо вращается так, что угол его поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот оно сделало за 8 с. Найдите угловую скорость через 48 с после начала вращения.

По условию угол поворота \(\varphi (t)=At^2\)
Один оборот \(2\pi\) радиан был сделан за 8 с. Получаем уравнение: \(A\cdot 8^2=2\pi\)
Находим коэффициент \(A=\frac{2\pi}{8^2}=\frac{\pi}{32}\)
Уравнение движения \(\varphi(t)=\frac{\pi}{32}t^2\) (рад)
Угловая скорость \(\omega(t)=\varphi '(t)=\left(\frac{\pi}{32}t^2\right)'=\frac{\pi}{32}\cdot 2t=\frac{\pi}{16}t\) (рад/с)
Через 48 секунд \(\omega(48)=\frac{\pi}{16}\cdot 48=3\pi\) рад/с - полтора оборота в секунду.
Ответ: \(3\pi\) рад/с

Пример 6. Для нагревания 1 кг жидкости от 0°С до t°C необходимо \(Q(t)=1,7t+at^2+bt^3\) Дж теплоты.
Известно, что теплоемкость жидкости при температуре 100°С равна 1,71 Дж/К, а для нагревания 1 кг этой жидкости 0°С до 50°C требуется 85,025 Дж теплоты. Найдите коэффициенты a и b.

Теплоемкость: \(C(t)=Q'(t)=1,7\cdot 1+a\cdot 2t+b\cdot 3t^2=1,7+2at+3bt^2\)
По условию: \begin{gather*} C(100)=1,7+2a\cdot 100+3b\cdot 100^2-1,71\\ 200a+30000b=0,01 \end{gather*} Кроме того: \begin{gather*} Q(50)=1,7\cdot 50+a\cdot 50^2+b\cdot 50^3=85,025\\ 2500a+125000b=0,025 \end{gather*} Получаем линейную систему: \begin{gather*} \begin{cases} 200a+30000b=0,01\ |:2\\ 2500a+125000b=0,025\ |:25 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 100a+15000b=0,005\\ 100a+5000b=0,001 \end{cases} \\ 15000b-5000b=0,005-0,001\\ 10000b=0,004\\ b=4\cdot 10^{-3}\cdot 10^{-4}=4\cdot 10^{-7}\ \left(\frac{Дж}{K^3}\right)\\ a=\frac{0,001-5000b}{100}=\frac{10^{-3}-5\cdot 10^3\cdot 4\cdot 10^{-7}}{100}=\frac{10^{-3}-2\cdot 10^{-3}}{100}=-\frac{10^{-3}}{100}\\ a=-10^{-5}\ \left(\frac{Дж}{K^2}\right) \end{gather*} Ответ: \(a=-10^{-5}\frac{Дж}{K^2};\ b=4\cdot 10^{-7}\frac{Дж}{K^3}\)

Пример 7*. Лестница длиной 5 м стояла вертикально. Потом её нижний конец стали перемещать по полу с постоянной скоростью \(v=2\) м/с. С какой по абсолютной величине скоростью в зависимости от времени опускается верхний конец лестницы? Постройте график полученной функции.

Лестница со стенами образует прямоугольный треугольник, для которого справедлива теорема Пифагора: $$ x^2(t)+y^2(t)=5^2 $$ Нижний конец движется с постоянной скоростью, его уравнение движения по полу: $$ x(t)=vt=2t $$ Отсюда получаем уравнение движения верхнего конца по стенке: \begin{gather*} y^2(t)=25-x^2(t)=25-(2t)^2=25-4t^2\\ y(t)=\sqrt{25-4t^2} \end{gather*}

Время \(t\geq 0\) имеет ограничение сверху \(25-4t^2\geq 0\Rightarrow t^2\leq \frac{25}{4}\Rightarrow 0\leq t\leq 2,5\ (с)\)
Скорость скольжения верхнего конца по стенке: \begin{gather*} u_y(t)=y'(t)=\left(\sqrt{25-4t^2}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{25-4t^2}}\cdot (25-4t^2)'=\frac{-8t}{2\sqrt{25-4t^2}}\\ u_y(t)=-\frac{4t}{\sqrt{25-4t^2}} \end{gather*} Знак «-» указывает на направление скорости вниз и связан с уменьшением координаты \(y(t)\) со временем. Абсолютная величина найденной скорости: \begin{gather*} u(t)=|u_y(t)|=\frac{4t}{\sqrt{25-4t^2}} \end{gather*} 1) ОДЗ: \(0\leq t\leq 2,5\)
2) Четность – нет, т.к. функция определена только на положительных t.
Периодичность – нет.
3) Асимптоты:
1. Вертикальная
Рассмотрим односторонние пределы \begin{gather*} \lim_{t\rightarrow +0}\left(\frac{4t}{\sqrt{25-4t^2}}\right)=\frac05=0\\ \lim_{t\rightarrow 2,5-0}\left(\frac{4t}{\sqrt{25-4t^2}}\right)=\frac{10}{0}=+\infty \end{gather*} При подходе к правой границе \(t=2,5\) слева функция стремится к \(+\infty\).
В точке \(t=2,5\) – вертикальная асимптота.
2. Горизонтальных асимптот нет, т.к. ОДЗ ограничено интервалом.
3. Наклонных асимптот нет.

4) Первая производная \begin{gather*} u'(t)=4\cdot\frac{1\cdot\sqrt{25-4t^2}-t\cdot\frac{-8t}{2\sqrt{25-4t^2}}}{25-4t^2}=4\cdot\frac{25-4t^2+8t^2}{2(25-4t^2)^{\frac32}}=\frac{2(4t^2+25)}{(25-4t^2)^{\frac32}} \end{gather*} \(u'(t)\gt 0\) на всей ОДЗ, функция возрастает.

5) Вторая производная \begin{gather*} u''(t)=\frac{2(4t^2+25)}{(25-4t^2)^{\frac32}}=2\cdot\frac{8t\cdot(25-4t^2)^{\frac32}-(4t^2+25)\cdot \frac32\sqrt{25-4t^2}\cdot (-8t)}{(25-4t^3)}=\\ =2\cdot\frac{8t\cdot(25-4t^2)+8t\cdot\frac32\cdot (4t^2+25)}{(25-4t^2)^{\frac52}}=8t\cdot\frac{50-8t^2+12t^2+75}{(25-4t^2)^{\frac52}}=\frac{8t(4t^2+25)}{(25-4t^2)^{\frac52}} \end{gather*} \(u''(t)\gt 0\) на всей ОДЗ, функция выпуклая вниз.

6) Пересечение с осями
В начале координат: \(t=0,\ u=0\)

7) График


Ответ: \(u(t)=\frac{4t}{\sqrt{25-4t^2}}\)

Пример 8. Под действием нагрузки деталь с поперечным сечением в виде прямоугольника площадью 17 см² начинает деформироваться. Одна из сторон прямоугольника растет с постоянной скоростью 1 см/ч, а вторая – уменьшается со скоростью 0,5 см/ч. Найдите скорость изменения площади поперечного сечения через 45 мин после начала деформации, если известно, что в этот момент его площадь равна 20 см².

Длина первой стороны в зависимости от времени: \(a(t)=a_0+1\cdot t\) (см),
время – в часах.
Длина второй стороны: \(b(t)=b_0-0,5\cdot t\).
Площадь в начальный момент: \(S_0=a_0 b_0=17\ (см^2)\)
Площадь в произвольный момент t: \begin{gather*} S(t)=a(t)\cdot b(t)=(a_0+t)(b_0-0,5t)=a_0 b_0+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2=\\ =17+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2 \end{gather*} По условию при \(t=45\ мин=\frac34\ ч\): \begin{gather*} S\left(\frac34\right)=17+(-0,5a_0+b_0)\cdot\frac34-0,5\cdot\left(\frac34\right)^2=20\\ (-0,5a_0+b_0)\cdot\frac34=20-17+\frac{9}{32}=3+\frac{9}{32}\\ (-0,5a_0+b_0)=\frac43\left(3+\frac{9}{32}\right)=4+\frac38=4\frac38 \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} S(t)=17+4\frac38t-0,5t^2 \end{gather*} Скорость изменения площади: \begin{gather*} S'(t)=0+4\frac38\cdot 1-0,5\cdot 2t=4\frac38-t \end{gather*} Через 45 мин: \begin{gather*} S'\left(\frac34\right)=4\frac38-\frac34=3+\frac{11}{8}-\frac34=3+\frac{11-6}{8}=3\frac58=3,625\ (см^2/ч) \end{gather*} Ответ: 3,625 см²/ч