Применение производной к приближенным вычислениям

п.1. Определение и геометрический смысл дифференциала

Выберем на кривой \(y=f(x)\) начальную точку \(A(x_0,y_0)\). Если мы начнем перемещаться к точке \(B(x,y)\), то приращению аргумента \(\triangle x=AC\) соответствует приращение функции \(\triangle y=BC\). Если считать, что кривая приблизительно совпадает со своей касательной при малых приращениях \(\triangle x\), то \(BC\approx MC\) и \(\triangle y\approx dy\).

п.2. Алгоритм приближенных вычислений с помощью дифференциала

На входе: функция \(y=f(x)\), точка x*, в которой нужно посчитать значение функции
Шаг 1. Определяем ближайшую к x* начальную точку \(x_0\), для которой значение \(y_0=f(x_0)\) известно или легко находится.
Шаг 2. Находим выражение для первой производной \(f'(x)\).
Шаг 3. Находим значение производной в начальной точке \(f'(x_0)\)
Шаг 4. Находим линейное приближение значения функции $$ y^*\approx f(x_0)+f'(x_0)(x^*-x_0) $$ На выходе: значение y*

Например:
1) Найдем значение корня \(\sqrt{65}\)
Функция \(y=\sqrt{x},\ x^*=65\)
Начальная точка \(x_0=64\). Начальное значение функции \(y_0=\sqrt{64}=8\)
Производная: \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Производная в начальной точке: \(f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{64}}=\frac{1}{16}\)
Подставляем: \(y^*=\sqrt{65}\approx 8+\frac{1}{16}(65-64)=8+\frac{1}{16}=8,0625\)
Оценим относительную ошибку для полученного результата.
Значение, полученное на калькуляторе: \(\sqrt{65}\approx 8,062258\). Откуда: $$ \partial=\frac{|8,062258|}{8,062258}\cdot 100\text{%}\approx 0,003\text{%} $$ Таким образом, в данном случае линейное приближение имеет высокую точность, т.к. для \(x_0=64\) и \(x^*=65\) кривая \(y=\sqrt{x}\) очень близка к прямой, т.е. своей касательной.

2) Найдем значение корня \(\sqrt{5}\)
Пусть начальная точка \(x_0=4\). Начальное значение функции \(y_0=\sqrt{4}=2\)
Производная в начальной точке: \(f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac14\)
\(y^*=\sqrt{5}\approx 2+\frac14 (5-4)=2,25\)
Значение, полученное на калькуляторе: \(\sqrt{5}\approx 2,23607\) $$ \partial=\frac{|2,23607-2,25|}{2,23607}\cdot 100\text{%}\approx 0,06\text{%} $$ Точность стала хуже. Однако, её можно повысить, если взять \(x_0=4,84\).

3) Найдем \(\sqrt{5}\) при \(x_0=4,84\).
\(y_0=\sqrt{4,84}\ =2,2\)
Производная в начальной точке: \(f'(x_0 )=\frac{1}{2\cdot 2,2}=\frac{1}{4,4}\)
\(y^*=\sqrt{5}\approx 2,2+\frac{1}{4,4}(5-4,84)=2,2+\frac{0,16}{4,4}=2,2+\frac{2}{55}=2,23636…\)
Значение \(\sqrt{5}\approx 2,23607\) $$ \partial=\frac{|2,23607-2,23636|}{2,23607}\cdot 100\text{%}\approx 0,01\text{%} $$ Точность повысилась.

Вывод: точку \(x_0\) следует выбирать, исходя из поведения функции \(y=f(x)\) в окрестности \(x^*\). Чем ближе \(x_0\) к \(x^*\) и чем ближе кривая к касательной, тем точнее будет линейное приближение с помощью дифференциала.

п.3. Приближение с точностью до квадрата приращения

Например:
1) Найдем квадратичное слагаемое для \(x^*=65,\ x_0=64,\ y=\sqrt{x}\)
Вторая производная: \(f''(x)=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)'=\frac12\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\frac{1}{x\sqrt{x}}=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\) $$ \frac{f''(x_0)}{2}(x^*-x_0)^2=-\frac{(65-64)^2}{2\cdot 4\cdot 64\cdot 8}=-\frac{1}{4096}\approx -0,0002 $$ Значит, квадратичное слагаемое дает поправку в 4-м знаке.
Используя полученное выше линейное приближение, получаем: $$ y^*=\sqrt{65}\approx 8,0625-0,0002=8,0623\approx 8,062 $$ Квадратичное слагаемое указывает, что округлить результат нужно до 3-го знака после запятой.

2) Найдем квадратичное слагаемое для \(x^*=5,\ x_0=4,\ y=\sqrt{x}\) $$ \frac{f''(x_0)}{2}(x^*-x_0)^2=-\frac{(5-4)^2}{2\cdot 4\cdot 4\cdot 2}=-\frac{1}{64}\approx -0,02 $$ Получаем: $$ y^*=\sqrt{5}\approx 2,25-0,02=2,23\approx 2,2 $$ Квадратичное слагаемое указывает, что округлить результат нужно до 1-го знака после запятой.

3) Найдем квадратичное слагаемое для \(x^*=5,\ x_0=4,84,\ y=\sqrt{x}\) $$ \frac{f''(x_0)}{2}(x^*-x_0)^2=-\frac{(5-4,84)^2}{2\cdot 4\cdot 4,84\cdot 2,2}=-\frac{0,0256}{85,184}\approx -0,0003 $$ Получаем: $$ y^*=\sqrt{5}\approx 2,2367-0,0003=2,2364\approx 2,236 $$ Квадратичное слагаемое указывает, что округлить результат нужно до 3-го знака после запятой.

п.4. Полезные формулы приближений для функций вблизи нуля

Рассмотрим свойства приближений некоторых функций при \(x_0=0\) и \(\triangle x=x\rightarrow 0\).
В разложении ограничимся слагаемым \(y(0)\) и линейным приближением. Только если линейное приближение равно 0, будем учитывать слагаемое квадратичного приближения.
1) \(y=sinx\)
\(y'=cosx,\ y''=-sinx\)
\(y(0)=0,\ y'(0)=1,\ y''(0)=0\)
\(sinx\approx 0+1\cdot x-\frac02\cdot x^2\approx x\)

2) \(y=cosx\)
\(y'=-sinx,\ y''=-cosx\)
\(y(0)=1,\ y'(0)=0,\ y''(0)=-1\)
\(cosx\approx 1+0\cdot x-\frac12\cdot x^2=1-\frac{x^2}{2}\)

3) \(y=tgx\)
\(y'=\frac{1}{cos^2x},\ y''=-\frac{2cosx\cdot(-sinx)}{cos^4x}=\frac{2sinx}{cos^3x}\)
\(y(0)=0,\ y'(0)=1,\ y''(0)=0\)
\(tgx\approx 0+1\cdot x-\frac02\cdot x^2= x\)

4) \(y=e^x\)
\(y'=y''=e^x\)
\(y(0)=y'(0)=y''(0)=1\)
\(e^x\approx 1+1\cdot x+\frac12\cdot x^2\approx 1+x\)
Пренебрегаем \(\frac{x^2}{2}\) как очень малым слагаемым.

5) \(y=\ln(1+x)\)
\(y'=\frac{1}{1+x},\ y''=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
\(y(0)=0,\ y'(0)=1,\ y''(0)=-1\)
\(\ln(1+x)\approx 0+1\cdot x-\frac12 x^2\approx x\)

6) \(y=\sqrt{1+x}\)
\(y'=\frac{1}{2\sqrt{1+x}},\ y''=-\frac{1}{4(1+x)^{3/2}}\)
\(y(0)=1,\ y'(0)=\frac12,\ y''(0)=-\frac14\)
\(\sqrt{1+x}\approx 1+\frac12\cdot x-\frac18 x^2\approx1+\frac x2\)

7) \(y=\frac{1}{\sqrt{1+x}}\)
\(y'=-\frac{1}{2(1+x)^{\frac32}},\ y''=\frac{3}{4(1+x)^{\frac52}}\)
\(y(0)=1,\ y'(0)=-\frac12,\ y''(0)=\frac34\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+x}}\approx 1-\frac12 x+\frac38 x^2\approx 1-\frac x2\)

8) \(y=(1+x)^a,\ a\in\mathbb{R}\)
\(y'=a(1+x)^{a-1},\ y''=a(a-1)(1+x)^{a-2}\)
\(y(0)=1,\ y'(0)=a,\ y''(0)=a(a-1)\)
\((1+x)^a\approx 1+a\cdot x+\frac{a(a-1)}{2}x^2\approx 1+ax\)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите линейное приближение значения функции в заданной точке с помощью дифференциала. Ответ представьте с точностью до сотых. $$ y^*\approx f(x_0)+f'(x_0)(x^*-x_0) $$ a) \(\sqrt[3]{28}\)
Функция \(y=\sqrt[3]{x},\ x^*=28,\ x_0=27\)
\(f(x_0)=\sqrt[3]{27}=3\)
Производная: \(f'(x)=(\sqrt[3]{x})'=\frac13 x^{-\frac23}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)
\(f'(x_0)=\frac{1}{3\sqrt[3]{27^2}}=\frac{1}{3\cdot 9}=\frac{1}{27}\) $$ y^*=\sqrt[3]{28}\approx 3+\frac{1}{27}(28-27)=3+\frac{1}{27}\approx 3,037\approx 3,04 $$
б) \(sin(0,03)\)
Функция \(y=sinx,\ x^*=0,03,\ x_0=0\)
\(f(x_0)=sin0=0\)
Производная: \(f'(x)=(sinx)'=cosx\)
\(f'(x_0)=cos0=1\) $$ y^*=sin(0,03)\approx 0+1\cdot(0,03-0)=0,03 $$
в) \(\sqrt{0,98}\)
Функция \(y=\sqrt{x},\ x^*=0,98,\ x_0=1\)
\(f(x_0)=\sqrt[3]{27}=3\)
Производная: \(f'(x)=(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac12\) $$ y^*=\sqrt{0,98}\approx 1+\frac12(0,98-1)=1-0,01=0,99 $$
e) \(e^{0,01}\)
Функция \(y=e^x,\ x^*=0,01,\ x_0=0\)
\(f(x_0)=e^0=1\)
Производная: \(f'(x)=(e^x)'=e^x\)
\(f'(x_0)=e^0=1\) $$ y^*=e^{0,01}\approx 1+1\cdot (0,01-0)=1+0,01=1,01 $$

Пример 2. Найдите приближение значения функции в заданной точке с точностью до квадрата приращения. Ответ представьте с точностью округления последнего слагаемого. $$ y^*\approx f(x_0)+f'(x_0)(x^*-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x^*-x_0)^2 $$ a) \(\sqrt[4]{80}\)
Функция \(y=\sqrt[4]{x},\ x^*=80,\ x_0=81\)
\(f(x_0)=\sqrt[4]{81}=3\)
Первая производная: \(f'(x)=(\sqrt[4]{x})'=\frac14 x^{-\frac34}=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}\)
\(f'(x_0)=\frac{1}{4\sqrt[4]{81^3}}=\frac{1}{4\cdot 27}=\frac{1}{108}\)
Вторая производная: \(f''(x)=\frac14\cdot \left(-\frac34\right)\cdot\frac{1}{x\sqrt[4]{x^3}}=-\frac{3}{16x\sqrt[4]{x^3}}\)
\(f''(x_0)=-\frac{3}{16\cdot 81\cdot\sqrt[4]{81^3}}=-\frac{3}{16\cdot 81\cdot 27}=-\frac{1}{11664}\) \begin{gather*} y^*=\sqrt[4]{80}\approx 3+\frac{1}{108}(80-81)-\frac{1}{11664}\cdot \frac12(80-81)^2\approx 3-0,00926-0,00004=\\ =2,99070\approx 2,9907 \end{gather*}
б) \(\ln 1,04\)
Функция \(y=\ln x,\ x^*=1,04,\ x_0=1\)
\(f(x_0)=\ln 1=0\)
Первая производная: \(f'(x)=(\ln x)'=\frac1x\)
\(f'(x_0)=\frac{1}{1}=1\)
Вторая производная: \(f''(x)=-\frac{1}{x^2}\)
\(f''(x_0)=-\frac{1}{1^2}=-1\) \begin{gather*} y^*=\ln 1,04\approx 0+1\cdot (1,04-1)-1\frac12(1,04-1)^2=0,04-0,0008=0,0392\approx 0,039 \end{gather*}
в) \(cos0,07\)
Функция \(y=cosx,\ x^*=0,07,\ x_0=0\)
\(f(x_0)=cos0=1\)
Первая производная: \(f'(x)=(cosx)'=-sinx\)
\(f'(x_0)=-sin0=0\)
Вторая производная: \(f''(x)=(-sinx)'=-cosx\)
\(f''(x_0)=-cos0=-1\) \begin{gather*} y^*=cos0,07\approx 1+0\cdot (0,07-0)-1\cdot\frac12(0,07-0)^2=1-0,00245=\\ =0,99755\approx 0,9976 \end{gather*}
г) \(tg0,11\)
Функция \(y=tgx,\ x^*=0,11,\ x_0=0\)
\(f(x_0)=tg0=0\)
Первая производная: \(f'(x)=(tgx)'=\frac{1}{cox^2x}\)
\(f'(x_0)=\frac{1}{cos^2x}=1\)
Вторая производная: \(f''(x)=\left(\frac{1}{cos^2x}\right)'=-\frac{2cosx\cdot(-sinx)}{cos^4x}=\frac{2sinx}{cos^3x}\)
\(f''(x_0)=\frac{2sin0}{cos^30}\) \begin{gather*} y^*=tg0,11\approx 0+1\cdot (0,11-0)+0\cdot\frac12 (0,11-0)^2=0,11 \end{gather*}