Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств

п.1. Количество корней кубического уравнения

Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. \begin{gather*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+bx+c \end{gather*} Если в уравнении \(f'(x)=0\) дискриминант \(D=4b^2-12ac=4(b^2-3ac)\gt 0\), кубическая парабола имеет две точки экстремума: \(x_{1,2}=\frac{-2b\pm\sqrt{D}}{6a}\). Если при этом значения функции в точках экстремума \(f(x_1)\cdot f(x_2)\lt 0\), т.е. расположены по разные стороны от оси OX, парабола имеет три точки пересечения с этой осью. Исходное уравнение имеет три корня.
Если две точки экстремума найдены, но \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.

Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:

1) \(x^3+3x^2-4=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 (c=0) \) \(f(x)=x^3+3x^2-4 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-4,\ f(x_2)=0 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\Rightarrow\) два корня	2) \(x^3+3x^2-1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 \) \(f(x)=x^3+3x^2-1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-1,\ f(x_2)=3 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\lt 0\Rightarrow\) три корня
3) \(x^3+3x^2+1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0\) \(f(x)=x^3+3x^2+1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=1,\ f(x_2)=5 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\gt 0\Rightarrow\) один корень	4) \(x^3+x^2+x+3=0\) \(b^2-3ac=1-3\lt 0 \) Один корень

п.2. Количество корней произвольного уравнения

Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.

Пример 2. а) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\)
б) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}=k\)

Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью \(y=1\). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3} $$ Алгоритм исследования и построения графика – см. §49 данного справочника.
1) ОДЗ: \(x\ne\left\{0;1;3\right\}\)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=-\infty-1-\frac13=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow +0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=+\infty-1-\frac13=+\infty\\ \lim_{x\rightarrow 1-0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=1-\infty-\frac12=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow 1+0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=1+\infty-\frac12=+\infty\\ \lim_{x\rightarrow 3-0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=\frac13+\frac12-\infty=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow 3+0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=\frac13+\frac12+\infty=+\infty \end{gather*} 2) Функция ни четная, ни нечетная.
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные \(x=0, x=1, x=3\) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=-0-0-0=-0\\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=+0+0+0=+0\\ \end{gather*} Горизонтальная асимптота \(y=0\)
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: \(k=0\), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x-3)^2}\lt 0 $$ Производная отрицательная на всей ОДЗ.
Функция убывает.

5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.

6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. \(x=0\) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, \(0\lt x_1\lt 1,1\lt x_2\lt 3\)

7) График

Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.

Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь \(y=k\) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При \(k\lt 0\) - три корня
При \(k=0\) - два корня
При \(k\gt 0\) - три корня

Ответ: а) 3 корня; б) при \(k=0\) два корня, при \(k\ne 0\) три корня.

Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ \sqrt{x-1}+\sqrt{10-2x}=a $$ имеет по крайней мере одно решение.

Исследуем функцию \(f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{10-2x}\)
ОДЗ: \( \begin{cases} x-1\geq 0\\ 10-2x\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\geq 1\\ x\leq 5 \end{cases} \Rightarrow 1\leq x\leq 5 \)
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: \(f(1)=0+\sqrt{8}=2\sqrt{2},\ f(5)=\sqrt{4}+0=2\)
Первая производная: \begin{gather*} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}+\frac{-2}{2\sqrt{10-2x}}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{10-2x}}\\ f'(x)=0\ \text{при}\ 2\sqrt{x-1}=\sqrt{10-2x}\Rightarrow 4(x-1)=10-2x\Rightarrow 6x=14\Rightarrow x=\frac73\\ f\left(\frac73\right)=\sqrt{\frac73-1}+\sqrt{10-2\cdot \frac73}=\sqrt{\frac43}+\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} \end{gather*} Промежутки монотонности:

Можем строить график:

\(y=a\) - горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения \(f(x)\) и \(y\) равно количеству решений.
Получаем:

По крайней мере одно решение будет в интервале \(2\leq a\leq 2\sqrt{3}\).

Ответ: \(a\in\left[2;2\sqrt{3}\right]\)

п.3. Решение неравенств с построением графиков

Пример 4. Решите неравенство \(\frac{2+\log_3 x}{x-1}\gt \frac{6}{2x-1}\)

Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если \(x\gt 1\), то \(x-1\gt 0\), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если \(x\lt 1\), то \(x-1\lt 0\), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: \(x\gt 0\)

Получаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x\gt 1\\ 2+\log_3 x\gt\frac{6(x-1)}{2x-1} \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ 2+\log_3 x\lt\frac{6(x-1)}{2x-1} \end{cases} \end{array} \right. \\ 2+\log_3 x\gt \frac{6(x-1)}{2x-1}\Rightarrow \log_3 x\gt \frac{6(x-1)-2(2x-1)}{2x-1}\Rightarrow \log_3 x\gt \frac{2x-4}{2x-1}\\ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x\gt 1\\ \log_3 x\gt\frac{2x-4}{2x-1} \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ \log_3 x\lt\frac{2x-4}{2x-1} \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*} Исследуем функцию \(f(x)=\frac{2x-4}{2x-1}=\frac{2x-1-3}{2x-1}=1-\frac{3}{2x-1}\)
Точка разрыва: \(x=\frac12\) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow \frac12 -0}\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)=1-\frac{3}{-0}=+\infty\\ \lim_{x\rightarrow \frac12 +0}\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)=1-\frac{3}{+0}=-\infty \end{gather*} Второе слагаемое стремится к 0 на бесконечности, и это дает горизонтальную асимптоту: \(y=1\) \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)=1-\frac{3}{-\infty}=1+0\\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)=1-\frac{3}{+\infty}=1-0 \end{gather*} На минус бесконечности кривая стремится к \(y=1\) сверху, а на плюс бесконечности – снизу.
Первая производная: $$ f'(x)=\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)'=\frac{3}{(2x-1)^2}\gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f''(x)=-\frac{6}{(2x-1)^3} $$ Одна критическая точка 2-го порядка \(x=\frac12\)

Пересечения с осью OY: \(f(0)=1-\frac{3}{0-1}=4\), точка (0;4)
Пересечение с осью OX: \(1-\frac{3}{2x-1}=0\Rightarrow 2x-1=3 \Rightarrow x=2\), точка (2;0)
Строим графики \(f(x)=\frac{2x-4}{2x-1}\) и \(g(x)=\log_3 x\)

Первая система из совокупности \( \begin{cases} x\gt 1\\ \log_3 x\gt \frac{2x-4}{2x-1} \end{cases} \)
Логарифм при \(x\gt 1\) все время выше, чем правая ветка гиперболы, т.е. система справедлива для всех \(x\gt 1\).
Вторая система из совокупности \( \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ \log_3 x\lt \frac{2x-4}{2x-1} \end{cases} \)
Логарифм попадает под левую ветку гиперболы на интервале \(0\lt x\lt\frac12\), т.е. $$ \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ 0\lt x\lt\frac12 \end{cases} \Rightarrow 0\lt x\lt\frac12 $$ Решение совокупности – это объединение полученных решений систем: $$ 0\lt x\lt\frac12\cup x\gt 1 $$ Ответ: \(x\in\left(0;\frac12\right)\cup (1;+\infty)\)