Преобразования графиков тригонометрических функций

Общие принципы преобразования графиков функций изучались нами в главе 8, (см. §47, §48, §50 справочника для 8 класса). В этом параграфе мы рассмотрим особенности тригонометрических функций при использовании этих преобразований.

п.1. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OX

Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OX:

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Тригонометрические функции являются периодическими: синус и косинус с периодом 2π, тангенс и котангенс – с периодом π. Получаем следствие общих принципов:

Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=sin2x,\ \ h(x)=sin\frac{x}{2} $$
Период колебаний функции \(g(x)=sin2x\) в 2 раза меньше: \(T_g=\frac{2\pi}{2}=\pi\).
Период колебаний функции \(h(x)=sin\frac{x}{2}\) в 2 раза больше: \(T_h=2\cdot 2\pi=4\pi\).

п.2. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OY

Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OY:

Общий принцип сжатия графиков:

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Т.к. для графиков синуса и косинуса (синусоиды) характерна амплитуда колебаний, то также говорят, что:

• умножение на параметр \(A\gt 1\) увеличивает амплитуду колебаний в \(A\) раз;
• деление на параметр \(A\gt 1\) уменьшает амплитуду колебаний в \(A\) раз.

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=cosx,\ \ g(x)=2cosx,\ \ h(x)=\frac{1}{2}cosx $$
Умножение на \(A=2\) увеличивает амплитуду колебаний в 2 раза.
Область значений функции \(g(x)=2cosx:\ y\in[-2;2]\). График растягивается по оси OY.
Деление на \(A=2\) уменьшает амплитуду колебаний в 2 раза. Область значений функции \(h(x)=\frac12 cosx:\ y\in\left[-\frac12; \frac12\right]\). График сжимается по оси OY.

2) Теперь построим $$ f(x)=tgx,\ \ g(x)=2tgx,\ \ h(x)=\frac{1}{2}tgx $$
В этом случае хорошей иллюстрацией растяжения по оси OY при умножении и сжатия по оси OY при делении на \(A=2\) служит поведение функции при \(x=\frac\pi4\). $$ f\left(\frac\pi4\right)=tg\left(\frac\pi4\right)=1,\ \ g\left(\frac\pi4\right)=2tg\left(\frac\pi4\right)=2,\ \ h\left(\frac\pi4\right)=\frac12 tg\left(\frac\pi4\right)=\frac12 $$ Аналогично – для любого другого значения аргумента x.

п.3. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OX

Общие принципы переноса по оси OX:

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
При этом параметр x называют начальной фазой колебаний.
При сравнении двух тригонометрических функций \(y_1=f(x)\) и \(y_2=f(x\pm a)\) говорят, что у второй функции сдвиг по фазе равен \(\pm a\).

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=sin\left(x+\frac\pi4\right),\ \ h(x)=sin\left(x-\frac\pi4\right) $$
Функция \(g(x)=sin\left(x+\frac\pi4\right)\) сдвинута на \(\frac\pi4\) влево по сравнению с \(f(x)\)
Функция \(h(x)=sin\left(x-\frac\pi4\right)\) сдвинута на \(\frac\pi4\) вправо по сравнению с \(f(x)\)

п.4. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OY

Общие принципы переноса по оси OY:

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=sinx+1,\ \ h(x)=sinx-1 $$
Функция \(g(x)=sinx+1\) сдвинута на 1 вверх по сравнению c \(f(x)\)
Функция \(h(x)=sinx-1\) сдвинута на 1 вниз по сравнению с \(f(x)\)

п.5. Общее уравнение синусоиды

График \(y(x)=Acos(cx+d)+B\) также называют синусоидой. Термин «косинусоида» употребляется относительно редко.
Поскольку график косинуса получается из графика синуса сдвигом по фазе на π/2 влево, вводить термин «косинусоида» излишне.

Построим график \(g(x)=3sin\left(2x+\frac\pi2\right)-1\)
По сравнению с \(f(x)=sinx\):

• \(A=3\) - график растянут по оси OY в 3 раза
• \(c=2\) - период меньше в 2 раза T=π, график сжат в 2 раза по оси OX
• \(d=\frac\pi2\) – начальная фаза положительная, график сдвинут на \(\frac{\pi}{2\cdot 2}=\frac\pi4\) влево
• \(B=-1\) - график сдвинут по оси OY на 1 вниз

п.6. Общее уравнение тангенцоиды

График \(y(x)=Actg(cx+d)+B\) также называют тангенцоидой.

Построим график \(g(x)=\frac12 tg\left(\frac{x}{2}-\frac\pi3\right)+1\)
По сравнению с \(f(x)=tgx\):

• \(A=\frac12\) - график сжат по оси OY в 2 раза
• \(c=\frac12\) - период больше в 2 раза T=2π, расстояние между асимптотами 2π, график растянут в 2 раза по оси OX
• \(d=-\frac\pi3\) – начальная фаза отрицательная, график сдвинут на \(\frac{\pi}{3\cdot 1/2}=\frac{2\pi}{4}\) вправо
• \(B=1\) - график сдвинут по оси OY на 1 вверх

п.7. Примеры

Пример 1.Постройте в одной системе координат графики: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=-sinx,\ \ h(x)=cosx $$ Найдите сдвиг по фазе для \(g(x)\) и \(h(x)\) в сравнении с \(f(x)\).

Сдвиг по фазе удобно определять по главной арке синусоиды.
Для \(f(x)=sin⁡x\) главная арка определена на отрезке \(0\leq x\leq \pi\)
Для \(g(x)=-sin⁡x\) главная арка определена на отрезке \(-\pi\leq x\leq 0\), т.е. сдвинута на π влево от \(f(x)\). Это означает, что: $$ f(x)=g(x+\pi),\ \ sin⁡x=-sin⁡(x+\pi) $$ Для \(h(x)=cos⁡x\) главная арка определена на отрезке \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\), т.е. сдвинута на \(\frac\pi2\) влево от \(f(x)\). Это означает, что: $$ f(x)=h\left(x+\frac\pi2\right),\ \ sinx=cos\left(x+\frac\pi2\right) $$

Пример 2. Найдите наименьшие положительные периоды функций:
a) \(y=sin5x\)
Период синуса \(2\pi\) уменьшается в 5 раз. Получаем: \(T=\frac{2\pi}{5}\)

б) \(y=cos\pi x\)
Период косинуса \(2\pi\) уменьшается в \(\pi\) раз. Получаем: \(T=\frac{2\pi}{\pi}=2\)

в) \(y=tg\frac{x}{4}\)
Период тангенса \(\pi\) увеличивается в 4 раза. Получаем: \(T=4\pi\)

г) \(y=tg\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\)
Период тангенса \(\pi\) уменьшается в 2 раза. Получаем: \(T=\frac\pi2\)

Пример 3. Используя правила преобразования графиков функций, постройте график $$ f(x)=2ctg\left(3x+\frac\pi6\right) $$ По сравнению с \(g(x)=tg⁡x\):

• \(A=2\) - график растянут по оси OY в 2 раза
• \(c=3\) - период меньше в 3 раза \(T=\frac\pi3\), расстояние между асимптотами \(\frac\pi3\), график сжат в 3 раза по оси OX
• \(d=-\frac\pi6\) – начальная фаза положительная, график сдвинут на \(\frac{\pi}{6\cdot 3}=\frac{\pi}{18}\) влево

Расположение нулей: $$ tg\left(3x+\frac\pi6\right)=0\Rightarrow 3x+\frac\pi6=\pi k\Rightarrow 3x=-\frac\pi6+\pi k\Rightarrow x =-\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3} $$ Вертикального сдвига нет, нули расположены на оси OX.
Расположение асимптот: $$ 3x+\frac\pi6\ne\frac\pi2+\pi k\Rightarrow 3x\ne\frac\pi3+\pi k\Rightarrow x\ne\frac\pi9+\frac{\pi k}{3} $$ Пересечение главной ветви с осью OY: \(x=0,\ y=2tg\frac\pi6=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
С учетом периода \(\frac\pi3\) получаем семейство дополнительных точек для построения графика \(\left(\frac{\pi k}{3}; \frac{2}{\sqrt{3}}\right)\).

Пример 4. Определите графически, сколько корней имеет уравнение на отрезке: a) \(sinx=sin2x\) при \(0\leq x\leq 3\pi\)

Ответ: 7 корней

б) \(cos\frac{x}{2}=cos2x\) при \(-2\pi\leq x\leq 2\pi\)

Ответ: 7 корней