Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

п.1. Сумма и разность синусов

Найдем \(sin\alpha+sin\beta\).
Введем новые переменные: \(x=\frac{\alpha+\beta}{2},\ y=\frac{\alpha-\beta}{2}\). Тогда \(\alpha=x+y,\ \beta=x-y\). Подставим в сумму и используем формулы синуса суммы и синуса разности (см.§13 данного справочника.

Для вывода формулы разности используем уже найденную формулу суммы и нечетность синуса: \begin{gather*} sin\alpha-sin\beta=sin\alpha+\sin(-\beta)=2sin\frac{\alpha+(-\beta)}{2}cos\frac{\alpha-(-\beta)}{2}=\\ =2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2} \end{gather*}

п.2. Сумма и разность косинусов

Теперь, используя ту же замену, найдем сумму двух косинусов: \begin{gather*} cos\alpha+cos\beta=cos(x+y)+cos(x-y)=cosxcosy-sinxsiny+\\ +cosxcosy+sinxsiny=2cosxcosy=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2} \end{gather*} Для вывода формулы разности используем уже найденную формулу суммы и формулы приведения: \begin{gather*} cos\alpha-cos\beta=cos\alpha+cos(\pi+\beta)=2cos\frac{\alpha+\pi+\beta}{2}cos\frac{\alpha-(\pi+\beta)}{2}=\\ =2cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac\pi2\right)cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac\pi2\right)=2\left(-sin\frac{\alpha+\beta}{2}\right)sin\frac{\alpha-\beta}{2}=\\ =-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2} \end{gather*}

п.3. Сумма и разность тангенсов

Для этих формул замена переменных не нужна, только обычные преобразования: \begin{gather*} tg\alpha+tg\beta=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{sin\beta}{cos\beta}=\frac{sin\alpha cos\beta+cos\beta sin\beta}{cos\alpha cos\beta}=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos\alpha cos\beta} \end{gather*} Для вывода формулы разности используем уже найденную формулу суммы и нечетность тангенса: \begin{gather*} tg\alpha-tg\beta=tg\alpha+tg(-\beta)=\frac{sin\left(\alpha+(-\beta)\right)}{cos\alpha cos(-beta)}=\frac{sin(\alpha-\beta)}{cos\alpha cos\beta} \end{gather*}

п.4. Сумма и разность котангенсов

По аналогии с тангенсами: \begin{gather*} ctg\alpha+ctg\beta=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}+\frac{cos\beta}{sin\beta}=\frac{cos\alpha sin\beta+sin\alpha sin\beta}{sin\alpha sin\beta}=\frac{sin(\alpha+\beta)}{sin\alpha sin\beta}\\ ctg\alpha-ctg\beta=ctg\alpha+ctg(-\beta)=\frac{sin\left(\alpha+(-\beta)\right)}{sin\alpha sin(-\beta)}=-\frac{sin(\alpha-\beta)}{sin\alpha sin\beta} \end{gather*}

п.5. Примеры

Пример 1. Вычислите:
a) \begin{gather*} cos47^{\circ}+sin77^{\circ}-\sqrt{3}cos17^{\circ}=cos(90^{\circ}-43^{\circ})+sin77^{\circ}-\sqrt{3}cos17^{\circ}=\\ =(sin43^{\circ}+sin77^{\circ})-\sqrt{3}cos17^{\circ}=2sin\frac{43^{\circ}+77^{\circ}}{2}cos\frac{43^{\circ}-77^{\circ}}{2}-\sqrt{3}cos17^{\circ}=\\ =2sin60^{\circ}cos17^{\circ}-\sqrt{3}cos17^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}cos17^{\circ}-\sqrt{3}cos17^{\circ}=0 \end{gather*}

б) \begin{gather*} \frac{sin37^{\circ}-sin53^{\circ}}{1-2cos^2 41^{\circ}}=\frac{sin53^{\circ}-sin37^{\circ}}{2cos^2 41^{\circ}-1}=\frac{2sin\frac{53^{\circ}-37^{\circ}}{2}cos\frac{53^{\circ}+37^{\circ}}{2}}{cos(2\cdot 41^{\circ})}=\\ =\frac{2sin8^{\circ}cos45^{\circ}}{cos82^{\circ}}=\frac{2sin8^{\circ}cos45^{\circ}}{cos(90^{\circ}-8^{\circ})}=\frac{2sin8^{\circ}cos45^{\circ}}{sin8^{\circ}}=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} \end{gather*}

в) \begin{gather*} \frac{sin43^{\circ}+sin17^{\circ}}{sin77^{\circ}}=\frac{2sin\frac{43^{\circ}+17^{\circ}}{2}cos\frac{43^{\circ}-17^{\circ}}{2}}{sin77^{\circ}}=\\ =\frac{2sin30^{\circ}cos13^{\circ}}{sin(90^{\circ}-13^{\circ})}=\frac{2sin30^{\circ}cos13^{\circ}}{cos13^{\circ}}=2\cdot\frac12=1 \end{gather*}

г) \begin{gather*} tg15^{\circ}+tg60^{\circ}=\frac{sin(15^{\circ}+60^{\circ})}{cos15^{\circ}cos60^{\circ}}=\frac{sin75^{\circ}}{cos15^{\circ}cos60^{\circ}}=\frac{sin(90^{\circ}-15^{\circ})}{cos15^{\circ}cos60^{\circ}}=\\ =\frac{cos15^{\circ}}{cos15^{\circ}cos60^{\circ}}=\frac{1}{cos60^{\circ}}=2 \end{gather*}

д) \begin{gather*} sin20^{\circ}+sin40^{\circ}-cos10^{\circ}=2sin\frac{20^{\circ}+40^{\circ}}{2}cos\frac{20^{\circ}-40^{\circ}}{2}-cos10^{\circ}=\\ =2sin30^{\circ}cos10^{\circ}-cos10^{\circ}=2\cdot\frac12cos10^{\circ}-cos10^{\circ}=0 \end{gather*}

e*) \(ctg70^{\circ}+4cos70^{\circ}\) \begin{gather*} ctg70^{\circ}+4cos70^{\circ}=\frac{cos70^{\circ}}{sin70^{\circ}}+4cos70^{\circ}=\frac{cos70^{\circ}+4cos70^{\circ}sin70^{\circ}}{sin70^{\circ}}=\\ =\frac{cos70^{\circ}+2sin140^{\circ}}{sin70^{\circ}}=\frac{cos70^{\circ}+2sin(90^{\circ}+50^{\circ})}{sin70^{\circ}}=\frac{cos70^{\circ}+2cos50^{\circ}}{sin70^{\circ}}=\\ =\frac{(cos70^{\circ}+cos50^{\circ})+cos50^{\circ}}{sin70^{\circ}}=\frac{2cos\frac{70^{\circ}+50^{\circ}}{2}cos\frac{70^{\circ}-50^{\circ}}{2}+cos50^{\circ}}{sin70^{\circ}}=\\ =\frac{2\underbrace{cos60^{\circ}}_{=1/2}cos10^{\circ}+cos50^{\circ}}{sin70^{\circ}}=\frac{cos10^{\circ}+cos50^{\circ}}{sin70^{\circ}}=\frac{2cos\frac{10^{\circ}+50^{\circ}}{2}cos\frac{10^{\circ}-50^{\circ}}{2}}{sin70^{\circ}}=\\ =\frac{2cos30^{\circ}cos20^{\circ}}{sin(90^{\circ}-20^{\circ})}=\frac{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}cos20^{\circ}}{cos20^{\circ}}=\sqrt{3} \end{gather*}

Пример 2.Упростите выражение:
a) \begin{gather*} \frac{sin2\alpha+sin6\alpha}{cos2\alpha+cos6\alpha}-tg4\alpha=\frac{2sin\frac{2\alpha+6\alpha}{2}cos\frac{2\alpha-6\alpha}{2}}{2cos\frac{2\alpha+6\alpha}{2}cos\frac{2\alpha-6\alpha}{2}}-tg4\alpha=\\ =\frac{sin4\alpha}{cos4\alpha}-tg4\alpha=0 \end{gather*}
б) \begin{gather*} \frac{sin5\alpha-sin3\alpha+sin2\alpha}{sin\alpha(cos\alpha+1-2sin^2 2\alpha)}=\frac{2sin\frac{5\alpha-3\alpha}{2}cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2}+2sin\alpha cos\alpha}{sin\alpha(cos\alpha+cos4\alpha)}=\\ =\frac{2sin\alpha cos4\alpha+2sin\alpha cos\alpha}{sin\alpha(cos\alpha+cos4\alpha)}=\frac{2sin\alpha(cos4\alpha+cos\alpha)}{sin\alpha(cos\alpha+cos4\alpha)}=2 \end{gather*}
в) \begin{gather*} cos\left(\frac{2\pi}{3}+\alpha\right)+cos\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right)+cos\alpha=\\ =2cos\frac{\frac{2\pi}{3}+\alpha+\frac{2\pi}{3}-\alpha}{2}cos\frac{\frac{2\pi}{3}+\alpha-\frac{2\pi}{3}+\alpha}{2}+cos\alpha=2cos\frac{2\pi}{3}cos\alpha+cos\alpha=\\ =2\cdot\left(-\frac12\right)cos\alpha+cos\alpha=0 \end{gather*}
г) \begin{gather*} \frac{sin\alpha+sin3\alpha+sin5\alpha}{cos\alpha+cos3\alpha+cos5\alpha}=\frac{(sin\alpha+sin5\alpha)+sin3\alpha}{(cos\alpha+cos5\alpha)+cos3\alpha}=\\ =\frac{2sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}cos\frac{\alpha-5\alpha}{2}+sin3\alpha}{2cos\frac{\alpha+5\alpha}{2}cos\frac{\alpha-5\alpha}{2}+cos3\alpha}=\frac{2sin3\alpha cos2\alpha+sin3\alpha}{2cos3\alpha cos2\alpha+cos3\alpha}=\\ =\frac{sin3\alpha(2cos2\alpha+1)}{cos3\alpha(2cos2\alpha+1)}=tg3\alpha \end{gather*}
д) \begin{gather*} \frac{sin\alpha+2sin3\alpha+sin5\alpha}{4sin3\alpha cos^2\alpha}=\frac{(sin\alpha+sin3\alpha)+(sin3\alpha+sin5\alpha)}{4sin3\alpha cos^2\alpha}=\\ =\frac{2sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}cos\frac{\alpha-3\alpha}{2}+2sin\frac{3\alpha+5\alpha}{2}cos\frac{3\alpha-5\alpha}{2}}{4sin3\alpha cos^2\alpha}=\\ =\frac{2sin2\alpha cos\alpha+2sin4\alpha cos\alpha}{4sin3\alpha cos^2\alpha}=\frac{2cos\alpha(sin2\alpha+sin4\alpha)}{4sin3\alpha cos^2\alpha}=\\ =\frac{sin2\alpha+sin4\alpha}{2sin3\alpha cos\alpha}=\frac{2sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2}cos\frac{2\alpha-4\alpha}{2}}{2sin3\alpha cos\alpha}=\frac{2sin3\alpha cos\alpha}{2sin3\alpha cos\alpha}=1 \end{gather*}
e*) \begin{gather*} \frac{tg210^{\circ}+ctg210^{\circ}+tg220^{\circ}+ctg220^{\circ}}{sin100^{\circ}+sin40^{\circ}}=\frac{tg30^{\circ}+ctg30^{\circ}+tg40^{\circ}+ctg40^{\circ}}{2sin\frac{100^{\circ}+40^{\circ}}{2}cos\frac{100^{\circ}-40^{\circ}}{2}}=\\ =\frac{\frac{sin(30^{\circ}+40^{\circ})}{cos30^{\circ}cos40^{\circ}}+\frac{sin(30^{\circ}+40^{\circ})}{sin30^{\circ}sin40^{\circ}}}{2sin70^{\circ}cos30^{\circ}}=\\ =\frac{sin70^{\circ}}{2sin70^{\circ}cos30^{\circ}}\left(\frac{1}{cos30^{\circ}cos40^{\circ}}+\frac{1}{sin30^{\circ}sin40^{\circ}}\right)=\\ =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{sin30^{\circ}sin40^{\circ}+cos30^{\circ}cos40^{\circ}}{cos30^{\circ}cos40^{\circ}sin30^{\circ}sin40^{\circ}}\right)=\frac{cos(40^{\circ}-30^{\circ})}{\sqrt{3}\cdot\frac{sin60^{\circ}}{2}\cdot\frac{sin80^{\circ}}{2}}=\\ =\frac{4cos10^{\circ}}{\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot sin(90^{\circ}-10^{\circ})}=\frac{8cos10^{\circ}}{3cos10^{\circ}}=\frac83 \end{gather*}