Правила дифференцирования

п.1. Формулы дифференцирования

В примере 2 §42 данного справочника мы получили формулы производных для простейших функций. Обобщим их в таблице:

Теперь не нужно каждый раз использовать определение производной для поиска её уравнения или значения в данной точке. Достаточно помнить таблицу производных.

Например:
Найдем \(f'(1)\), если \(f(x)=x^2\)
По таблице производных \(f'(x)=(x^2)\ '=2x\). Поэтому \(f'(1)=2\cdot 1=2\)

п.2. Производная суммы двух функций

Рассмотрим функцию \(h(x)\), которую можно представить в виде суммы двух других функций: \(h(x)=f(x)+g(x)\). Найдем её производную из общего алгоритма.
Пусть \(\triangle x\) - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции \(h(x)\): \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=(f(x+\triangle x)+g(x+\triangle x))-(f(x)+g(x))=\\ =(f(x+\triangle x)-f(x))+(g(x+\triangle x)-g(x))=\triangle f+\triangle g \end{gather*} где \(\triangle f\) и \(\triangle g\) - приращения каждой из функций-слагаемых.
Ищем производную: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f+\triangle g}{\triangle x}= \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle g}{\triangle x}=f'(x)+g'(x) \end{gather*} Или: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Например:
\(\left(x^2+\frac1x\right)'=(x^2)'+\left(\frac1x\right)'=2x-\frac{1}{x^2}\)

п.3. Производная функции с постоянным множителем

Рассмотрим функцию \(h(x)=k\cdot f(x)\), где k – некоторый действительный постоянный множитель. Найдем её производную из общего алгоритма.
Пусть \(\triangle x\) - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции \(h(x)\): \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=k\cdot f(x+\triangle x)-k\cdot f(x)=k\cdot (f(x+\triangle x)-f(x))=k\cdot \triangle f \end{gather*} где \(\triangle f\) - функции \(f(x)\).
Ищем производную: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{k\cdot \triangle f}{\triangle x}=k\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}=kf'(x) \end{gather*} Или: \(\left(k\cdot f(x)\right)'=k\cdot f'(x)\)

Например:
\((5x^3)'=5\cdot (x^3)'=5\cdot 3x^2=15x^2\)

п.4. Производная произведения двух функций

Рассмотрим функцию \(h(x)\), которую можно представить в виде произведения двух других функций: \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\). Найдем её производную из общего алгоритма.
Пусть \(\triangle x\) - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции \(h(x)\): \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=(f(x+\triangle x)\cdot g(x+\triangle x))-(f(x)\cdot g(x)) \end{gather*} Приращения каждого из множителей: \begin{gather*} \triangle f=f(x+\triangle x)-f(x)\Rightarrow f(x+\triangle x)=\triangle f+f(x)\\ \triangle g=g(x+\triangle x)-g(x)\Rightarrow g(x+\triangle x)=\triangle g+g(x) \end{gather*} Подставим: \begin{gather*} \triangle h=(\triangle f+f(x))\cdot (\triangle g+g(x))-f(x)\cdot g(x)=\\ =\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot \triangle g+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)=\\ =\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot \triangle g \end{gather*} Ищем производную: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot\triangle g}{\triangle x}=\\ =\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot\frac{\triangle g}{\triangle x}\right)+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot g(x)+f(x)\cdot\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle g}{\triangle x}=\\ =f'(x)\cdot g'(x)\cdot 0+f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) \end{gather*} Или: \(\left(f(x)\cdot g(x)\right)'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)

Например:
\( (x^2\sqrt{x})'=(x^2)'\cdot\sqrt{x}+x^2\cdot (\sqrt{x})'=2x\sqrt{x}+\frac{x^2}{2\sqrt{x}}=x\sqrt{x}\left(2+\frac12\right)=\frac52x\sqrt{x} \)

п.5. Производная частного двух функций

Рассмотрим функцию \(h(x)\), которую можно представить в виде частного двух других функций: \(h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Найдем её производную из общего алгоритма.
Пусть \(\triangle x\) - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции \(h(x)\): \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=\frac{f(x+\triangle x)}{g(x+\triangle x)}-\frac{f(x)}{g(x)} \end{gather*} Приращения каждого из множителей: \begin{gather*} \triangle f=f(x+\triangle x)-f(x)\Rightarrow f(x+\triangle x)=\triangle f+f(x)\\ \triangle g=g(x+\triangle x)-g(x)\Rightarrow g(x+\triangle x)=\triangle g+g(x) \end{gather*} Подставим: \begin{gather*} \triangle h=\frac{\triangle f+f(x)}{\triangle g+g(x)}-\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g-f(x)\cdot g(x)}{\left(\triangle g+g(x)\right)\cdot g(x)}=\\ =\frac{\triangle f\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g}{\left(\triangle g+g(x)\right)\cdot g(x)}=\frac{\triangle f\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g}{g(x+\triangle x)\cdot g(x)} \end{gather*} Ищем производную: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g}{\triangle x\cdot g(x+\triangle x)\cdot g(x)}=\\ =\frac{\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot g(x)\right)-\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(f(x)\cdot\frac{\triangle g}{\triangle x}\right)}{g(x+0)\cdot g(x)}=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \end{gather*} Или: \( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \)

Например:
\begin{gather*} \left(\frac{3x+2}{x^2}\right)'=\frac{(3x+2)'\cdot x^2-(3x+2)\cdot (x^2)'}{(x^2)^2}=\frac{3x^2-(3x+2)\cdot 2x}{x^4}=\\ =\frac{3x^2-6x^2-4x}{x^4}=\frac{-3x^2-4x}{x^4}=-\frac{x(3x+4)}{x^4}=-\frac{3x+4}{x^3} \end{gather*}

п.6. Производная степенной функции

Из определения производной мы уже получили производные для квадрата и куба от x: $$ (x^2)'=2x,\ \ (x^3)'=3x^2 $$ Пользуясь свойством производной произведения, найдем производные для 4-й и 5-й степени от x: \begin{gather*} (x^4)'=(x\cdot x^3)'=(x)'\cdot x^3+x\cdot (x^3)'=1\cdot x^3+x\cdot 3x^2=4x^3\\ (x^5)'=(x\cdot x^4)'=(x)'\cdot x^4+x\cdot (x^4)'=1\cdot x^4+x\cdot 4x^3=5x^4 \end{gather*} Мы видим закономерность, на основании которой можем предположить, что для любой целой степени: $$ (x^n)'=nx^{n-1} $$ Докажем это утверждения с помощью математической индукции (см. §25 справочника для 9 класса).
1) для базы индукции \(n=1\) производная \((x^1 )'=1\cdot x^0=1\) – верно
2) допустим, что при некотором n производная \((x^n)'=nx^{n-1}\). Найдем \((x^{n+1})'\): \begin{gather*} (x^{n+1})'=(x\cdot x^n)'=(x)'\cdot x^n+x\cdot (x^n)'=1\cdot x^n+x\cdot nx^{n-1}=\\ =x^n(1+n)=(n+1)x^n \end{gather*} т.е. для \(x^{n+1}\) формула также справедлива. Индуктивный переход выполняется.
Следовательно, по принципу математической индукции производная степенной функции \((x^n)'=nx^{n-1},\ \forall n\in\mathbb{N}\). Что и требовалось доказать.

Например:
\begin{gather*} (x^{11})'=11x^{10} \end{gather*} В §46 данного справочника будет показано, что выведенная формула справедлива также не только для натуральной, но и для любой действительной степени числа x.

п.7. Примеры

Пример 1. Найдите производную функции:
a) \( f(x)=3x^3-11 \) \begin{gather*} f'(x)=(3x^3-11)'=3(x^3)'-(11)'=3\cdot 3x^2-0=9x^2 \end{gather*}

б) \( f(x)=x^2(1-x^5) \) \begin{gather*} f'(x)=(x^2-x^7)'=(x^2)'-(x^7)'=2x-7x^6=x(2-7x^5) \end{gather*}

в) \( f(x)=3x^2+5\sqrt{x} \) \begin{gather*} f'(x)=(3x^2+5\sqrt{x})'=3(x^2)'+5(\sqrt{x})'=3\cdot 2x+\frac{5}{2\sqrt{x}}=6x+\frac{5}{2\sqrt{x}} \end{gather*}

г) \( f(x)=\frac{x+11}{x^3} \) \begin{gather*} f'(x)=\left(\frac{x+11}{x^3}\right)'=\frac{(x+11)'\cdot x^3-(x+11)\cdot (x^3)'}{(x^3)^2}=\frac{1\cdot x^3-2x^2(x+11)}{x^6}=\\ =\frac{x^3-2x^3-22x^2}{x^6}=\frac{-x^3-22x^2}{x^6}=-\frac{x^2(x+22)}{x^6}=-\frac{x+22}{x^4} \end{gather*}

Пример 2. Найдите значение производной в точке \(x_0\), если:
a) \( f(x)=\frac2x,\ x_0=4 \) \begin{gather*} f'(x)=2\cdot\left(\frac1x\right)'=2\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{2}{x^2}\\ f'(4)=-\frac{2}{4^2}=-\frac18 \end{gather*}

б) \( f(x)=\frac{x+2}{x},\ x_0=1 \) \begin{gather*} f'(x)=\frac{(x+2)'x-(x+2)\cdot x'}{x^2}=\frac{1\cdot x-(x+2)\cdot 1}{x^2}=\frac{x-x-2}{x^2}=-\frac{2}{x^2}\\ f'(x)=-\frac{2}{1^2}=-2 \end{gather*}

в) \( f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1},\ x_0=1 \) \begin{gather*} f'(x)=\frac{(\sqrt{x})'\cdot (x+1)-(\sqrt{x})\cdot(x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}\cdot 1}{2\sqrt{x}(x+1)^2}=\\ =\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}(x_1)^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}\\ f'(4)=\frac{1-1}{2\cdot 1\cdot 2^2}=0 \end{gather*}

г) \( f(x)=\frac{x^3}{5-x},\ x_0=7 \) \begin{gather*} f'(x)=\frac{(x^3)'\cdot (5-x)-x^3\cdot (5-x)'}{(5-x)^2}=\frac{3x^2\cdot (5-x)-x^3\cdot (-1)}{(5-x)^2}=\\ =\frac{15x^2-3x^3+x^3}{(5-x)^2}=\frac{15x^2-2x^3}{(5-x)^2}=\frac{x^2(15-2x)}{(5-x)^2}\\ f'(7)=\frac{7^2(15-2\cdot 7)}{(5-7)^2}=\frac{49}{4}=12\frac14 \end{gather*}

Пример 3. Решите уравнение \(f'(x)=0\), если:
a) \( f(x)=x-12x^3 \) \begin{gather*} f'(x)=x'-12(x^3)'=1-12\cdot 3x^2=1-36x^2 \end{gather*} Уравнение: \begin{gather*} 1-36x^2=0\Rightarrow x^2=\frac{1}{36}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{36}}=\pm\frac16 \end{gather*} Ответ: \(\left\{\pm\frac16\right\}\)

б) \( f(x)=-\frac25x^5+\frac13x^3+12 \) \begin{gather*} f'(x)=-\frac25\cdot 5x^4+\frac13\cdot 3x^2+0=-2x^4+x^2=x^2(1-2x^2) \end{gather*} Уравнение: \begin{gather*} x^2(1-2x^2)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ 1-2x^2=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ x^2=\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(\left\{0;\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\)