Показательные уравнения, неравенства и системы с параметром

п.1. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) \(3\cdot 4^{x-2}+27=a+a\cdot 4^{x-2}\)
\(3\cdot 4^{x-2}-a\cdot 4^{x-2}=a-27\)
\(4^{x-2}(3-a)=a-27\)
\(4^{x-2}=\frac{a-27}{3-a}\)
По свойствам показательной функции дробь справа должна быть положительной:
\(\frac{a-27}{3-a}\gt 0\Rightarrow\frac{a-27}{a-3}\lt 0\)

\(3\lt a\lt 27\)
\(x-2=log_4\frac{a-27}{3-a}\)
\(x=2+log_4\frac{a-27}{3-a}\)
Ответ:
При \(a\leq 3\cup a\geq 27\) решений нет, \(x\in\varnothing\)
При \(3\lt a\lt 27,\ x=2+log_4\frac{a-27}{3-a}\)

б) \(121^{|x|}-2\cdot 11^{|x|}+a=0\)
Замена: \(t=11^{|x|}\)
\(t^2-2t+a=0\)
\(D=4-4a=4(1-a)\)
1) \(D\lt 0\) при \(a\gt 1\), решений нет

2) \(D=0\) при \(a=1,\ t=\frac22=1\)
\(11^{|x|}=1=11^0\Rightarrow |x|=0\Rightarrow x=0\) - один корень

3) \(D\gt 0\) при \(a\lt 1,\ t_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{1-a}}{2}=1\pm \sqrt{1-a}\)
Корень \(t_2=1+\sqrt{1-a}\) положительный при всех \(a\lt 1\)
Получаем для \(x:\ 11^{|x|}=1+\sqrt{1-a}\Rightarrow |x|=log_{11}(1+\sqrt{1-a})\)
\(log_{11}(1+\sqrt{1-a})\geq 0,\) т.к. \(1+\sqrt{1-a}\geq 1\), логарифм может быть равен модулю.
Получаем пару решений: \(x=\pm log_{11}(1+\sqrt{1-a})\)

Для корня \(t_1=1-\sqrt{1-a}\) решаем неравенство (учитывая \(a\lt 1\)):
\( 1-\sqrt{1-a}\gt 0\Rightarrow\sqrt{1-a}\lt 1\Rightarrow \begin{cases} 1-a\lt 1\\ a\lt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\gt 0\\ a\lt 1 \end{cases} \Rightarrow 0\lt a\lt 1 \)
Тогда \(|x|=log_{11}(1-\sqrt{1-a}\), но log_11⁡\(log_{11}(1-\sqrt{1-a}\lt 0\) и не может быть равен модулю. Значит, для корня \(t_1\) решений нет.

Ответ:
При \(a\gt 1\) решений нет, \(x\in\varnothing\)
При \(a=1\) один корень \(x=0\)
При \(a\lt 1\) два корня \(x=\pm log_{11}⁡(1+\sqrt{(1-a)}\)

Пример 2. При каких значениях \(a\) неравенство \(4^x-a\cdot 2^x-a+3\leq 0\) имеет хотя бы одно решение?
Замена: \(t=2^x\)
Функция \(f(t)=t^2-at-a+3\) – это парабола ветками вверх, которая будет иметь отрицательную область значений, если \(D\gt 0\) и будет равна 0 при \(D=0\).
Неравенство будет иметь решение, когда у соответствующего уравнения появятся корни.
\(D=a^2-4\cdot (-a+3)=a^2+4a-12\geq 0\)
\((a+6)(a-2)\geq 0\)

\(a\leq -6\cup a\leq 2\)

Решение квадратного уравнения: \(t_{1,2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+4a-12}}{2}\)
По свойству показательной функции, \(t\) должно быть положительным.
Для первого корня: \begin{gather*} a-\sqrt{a^2+4a-12}\gt 0\Rightarrow \sqrt{a^2+4a-12}\lt a\Rightarrow \begin{cases} a\gt 0\\ a^2+4a-12\geq 0\\ a^2+4a-12\lt a^2 \end{cases} \Rightarrow \\ \begin{cases} a\gt 0\\ a\leq -6\cup a\geq 2\\ a\lt 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0\lt a\lt 3\\ a\leq -6\cup a\geq 2 \end{cases} \Rightarrow 2\leq a\lt 3 \end{gather*} Для второго корня: \begin{gather*} a+\sqrt{a^2+4a-12}\gt 0\Rightarrow \sqrt{a^2+4a-12}\gt -a\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} -a\lt 0\\ a^2+4a-12\geq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} -a\geq 0\\ a^2+4a-12\gt (-a)^2 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} a\gt 0\\ a\leq -6\cup a\geq 2 \end{cases} \\ \begin{cases} a\leq 0\\ a\gt 3 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow a\geq 2 \end{gather*} Таким образом, у неравенства будет хотя бы одно решение при \(a\geq 2\)
Ответ: \(a\in\left.\left[2;+\infty\right.\right)\)

Пример 3. При каких значениях \(a\) оба корня уравнения \(16^x-a\cdot 4^x+2=0\) принадлежат отрезку [0;1]?

Замена: \(t=4^x\gt 0\)
\(t^2-at+2=0\)
\(D=a^2-8\)
\(D\geq 0\) при \(|a|\geq 2\sqrt{2}\)
Решение уравнения: \(t_{1,2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2-8}}{2}\)
По условию \(0\leq x_{1,2}\leq 1,\) что для замены даёт \(4^0\leq 4^{x_{1,2}}\leq 4^1,\ 1\leq t_{1,2}\leq 4\)
Условие выполняется, если одновременно \( \begin{cases} t_1\geq 1\\ t_2\leq 4 \end{cases} \)
Решаем систему: \begin{gather*} \begin{cases} \frac{a-\sqrt{a^2-8}}{2}\geq 1\\ \frac{a+\sqrt{a^2-8}}{2}\leq 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a-\sqrt{a^2-8}\geq 2\\ \sqrt{a^2-8}\leq 4-a \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} a-2\geq 0\\ a^2-8\geq 0\\ a^2-8\leq (a-2)^2 \end{cases} \\ \begin{cases} 4-a\geq 0\\ a^2-8\geq 0\\ a^2-8\leq (4-a)^2 \end{cases} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\geq 2\\ a\leq 4\\ a\leq -2\sqrt{2}\cup a\geq 2\sqrt{2}\\ a^2-8\leq a^2-4a+4\\ a^2-8\leq 16-8a+a^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2\sqrt{2}\leq a\leq 4\\ a\leq 3\\ a\leq 3 \end{cases} \Rightarrow \\ \Rightarrow 2\sqrt{2}\leq a\leq 3 \end{gather*} Ответ: \(a\in[2\sqrt{2};3]\)

Пример 4. При каких значениях \(a\) система \( \begin{cases} 2^x-y+1=0\\ |x|+|y|=a \end{cases} \) имеет ровно одно решение?
Запишите это решение.

Решаем графически.
\(y=2^x+1\) – это кривая показательной функции \(y=2^x\), поднятая на 1 вверх.
\(|x|+|y|=a\) - это множество квадратов с центром в начале координат и вершинами на осях в точках \((\pm a;0),(0;\pm a)\).

Одна точка пересечения при \(a=2\). Решение – точка \( \begin{cases} x=0\\ y=2 \end{cases} \)
При \(a\lt 2\) решений нет.
При \(a\gt 2\) - два решения.

Ответ: При \(a=2,\ \begin{cases} x=0\\ y=2 \end{cases} \)