Главная Справочник Алгебра 10-11 класс Показательные уравнения и системы

Показательные уравнения и системы

Определение показательного уравнения
Методы решения показательных уравнений
Примеры

п.1. Определение показательного уравнения

Уравнение вида $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a\gt 0,\ a\ne 1,\ x\in\mathbb{R}$ называют показательным уравнением.

Например:
$5^{x^2+2}=5^3,\ \ \left(\frac13\right)^{\sqrt{x-4}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Показательное уравнение $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ равносильно уравнению $f(x)=g(x)$

Например:
1) $5^{x^2+2}=5^3\Leftrightarrow x^2+2=3\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1$
Мы получили решение: $x=\pm 1$
2) $\left(\frac13\right)^{\sqrt{x-4}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \left(\frac13\right)^{\sqrt{x-4}}=\left(\frac13\right)^{1/2}\Leftrightarrow \sqrt{x-4}=\frac12\Leftrightarrow \begin{cases} x-4=\frac14\\ x-4\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x=4\frac14 $
Мы получили решение: $x=4\frac14$

п.2. Методы решения показательных уравнений

Для решения показательных уравнений применяются следующие методы:
1) переход от уравнения $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ к равносильному уравнению $f(x)=g(x)$;
2) графический метод;
3) замена переменной.

Первый метод был продемонстрирован выше, второй – показан в примере 3 предыдущего параграфа (§26 данного справочника).
Рассмотрим третий метод.

Решим уравнение $9^x-6\cdot 3^x-27=0$
Заметим, что $9^x=3^{2x}$. Проведём замену переменной $t=3^x\gt 0$
Получаем: $t^2-6t-27\Rightarrow (t+3)(t-9)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t=-3\lt 0 - \text{не подходит}\\ t=9 \end{array} \right. $
Возвращается к исходной переменной: $3^x=9\Rightarrow 3^x=3^2\Rightarrow x=2$
Ответ: 2

Внимание!

При замене переменной в показательном уравнении необходимо помнить, что область значений показательной функции $t=a^x\gt 9$ - всегда положительна.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) $2^{2x-4}=64$
$2^{2x-4}=2^6$
$2x-4=6$
$2x=10$
$x=5$
Ответ: 5

б) $\frac{1}{32}\sqrt{4^{x+1}}=(0,25)^{-0,2}$
Приводим все сомножители к степени с основанием 2:
$2^{-5}\cdot\left(2^{2(x+1)}\right)^{1/2}=(2^{-2})^{-0,2}$
$2^{-5+x+1}=2^{0,4}$
$x-4=0,4$
$x=4,4$
Ответ: 4,4

в) $3^x\cdot 4^{x-1}=0,25\cdot 12^{3-2x}$
Выражение слева: $3^x\cdot 4^{x-1}=3^x\cdot 4^{x-1}=3^x\cdot 4^x\cdot 4^{-1}=\frac14(3\cdot 4)^x=\frac14\cdot 12^x$
Подставляем: $\frac14\cdot 12^x=\frac14\cdot 12^{3-2x}$
$12^x=12^{3-2x}$
$x=3-2x$
$3x=3$
$x=1$
Ответ: 1

г) $3^x-2\cdot 3^{x-2}=7$
$3^x-2\cdot 3^{-2}\cdot 3^x=7$
$3^x\left(1-\frac29\right)=7$
$3^x=7:\frac79=9$
$3^x=3^2$
$x=2$
Ответ: 2

д) $2^{2x}-4\cdot 2^x=32$
Замена: $t=2^x\gt 0$
$t^2-4t-32=0\Rightarrow (t+4)(t-8)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t=-4\lt 0 - \ \text{не подходит}\\ t=8 \end{array} \right. $
$2^x=8$
$2^x=2^3$
$x=3$
Ответ: 3

e) $5^x-5\cdot 5^{-x}=4$
Замена: $t=5^x\gt 0$
$t-\frac5t-4=0\Rightarrow\frac{t^2-4t-5}{t}=0\Rightarrow \begin{cases} t^2-4t-5=0\\ t\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (t+1)(t-5)=0\\ t\ne 0 \end{cases}\Rightarrow $
$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t=-1\lt 0 - \ \text{не подходит}\\ t=5 \end{array} \right. $
$5^x=5$
$x=1$
Ответ: 1

Пример 2*. Решите уравнение:
a) $5^{1+2sinxcosx}=5\sqrt{5}$
$1+2sinxcosx=\frac32$
$2sinxcosx=\frac12$
$sin2x=\frac12$
$2x=(-1)^k\frac\pi6+\pi k$
$x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}$
Ответ: $(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}$

б) $4^{\sqrt{x+5}}-32=4\cdot 2^{\sqrt{x+5}}$
Замена: $t=2^{\sqrt{x+5}}\gt 0$
$t^2-4t-32=0\Rightarrow (t+4)(t-8)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t=-4\lt 0 - \ \text{не подходит}\\ t=8 \end{array} \right. $
$2^{\sqrt{x+5}}=8=2^3$
$\sqrt{x+5}=3$
$x+5=9$
$x=4$
Ответ: 4

в) $x\cdot 3^{x-1}+3\cdot 3^{\sqrt{7-x}}=3^x+x\cdot 3^{\sqrt{7-x}}$
$x\cdot 3^{x-1}-3^x=x\cdot 3^{\sqrt{7-x}}-3\cdot 3^{\sqrt{7-x}}$
$3^{x-1}(x-3)=3^{\sqrt{7-x}}(x-3)$
$3^{x-1}(x-3)-3^{\sqrt{7-x}}(x-3)=0$
$\left(3^{x-1}-3^{\sqrt{7-x}}\right)(x-3)=0$
$ \left[ \begin{array}{l l} 3^{x-1}-3^{\sqrt{7-x}}=0\\ x-3=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} 3^{x-1}=3^{\sqrt{7-x}}\\ x=3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x-1=\sqrt{7-x}\\ x=3 \end{array} \right. $
Решаем первое уравнение:
$ \begin{cases} (x-1)^2=7-x\\ x-1\geq 0\\ 7-x\geq 0 \end{cases} $
ОДЗ: $ \begin{cases} x\geq 1\\ x\leq 7 \end{cases} \Rightarrow 1\leq x\leq 7 $
$x^2-2x+1=7-x\Rightarrow x^2-x-6\Rightarrow (x+2)(x-3)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=-2\\ x=3 \end{array} \right. $
Корень $x=-2\notin [1;7]$ - не подходит по ОДЗ.
Остается только $x=3$, который совпадает с корнем из скобки $(x-3)$.
Ответ: 3

г) $5\cdot 3^{2x}+15\cdot 5^{2x-1}=8\cdot 15^x$ \begin{gather*} 5\cdot 3^{2x}+\frac{15}{5}\cdot 5^{2x}-8\cdot 3^x\cdot 5^x=0\ |:2^{2x}\\ 5+3\cdot\left(\frac53\right)^{2x}-8\cdot\left(\frac53\right)^x=0\\ 3\cdot\left(\frac53\right)^{2x}-8\cdot\left(\frac53\right)^x+5=0 \end{gather*} Замена: $t=\left(\frac53\right)^x\gt 0$
$$ 3t^2-8t+5=0\Rightarrow (3t-5)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t=\frac53\\ t=1 \end{array} \right. $$ Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: $$ \left[ \begin{array}{l l} \left(\frac53\right)^x=\frac53\\ \left(\frac53\right)^x=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=1\\ x=0 \end{array} \right. $$ Ответ: {0;1}

д) $(2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x)=4$
Заметим, что $(2+\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})=4-3=1\Rightarrow 2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$
\begin{gather*} \\ (2+\sqrt{3})^x+\left(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\right)^x=4 \end{gather*} Замена: $t=(2+\sqrt{3})^x$
\begin{gather*} t+\frac 1t-4=0\Rightarrow \frac{t^2-4t+1}{t}=0\Rightarrow \begin{cases} t^2-4t+1=0\\ t\ne 0 \end{cases}\\ D=4^2-4=12,\ \ t=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3} \end{gather*} Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: $$ \left[ \begin{array}{l l} (2+\sqrt{3})^x=2-\sqrt{3}\\ (2+\sqrt{3})^x=2+\sqrt{3} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=-1\\ x=1 \end{array} \right. $$ Ответ: $\left\{\pm 1\right\}$

e) $2\sqrt{x}\cdot 4^x+5\cdot 2^{x+1}+2\sqrt{x}=2^{2x+2}+5\sqrt{x}\cdot 2^x+4$
ОДЗ: $x\geq 0$
\begin{gather*} 2\sqrt{x}\cdot 4^x-5\sqrt{x}\cdot2^x+2\sqrt{x}=2^{2x+2}-5\cdot 2^{x+1}+4\\ \sqrt{x}(2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2)=2(2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2)\\ \sqrt{x}(2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2)-2(2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2)=0\\ (\sqrt{x}-2)(2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2)=0\\ \left[ \begin{array}{l l} \sqrt{x}-2=0\\ 2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=4\\ \begin{cases} 2t^2-5t+2=0\\ t=2^x\gt 0 \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*} Решаем квадратное уравнение: \begin{gather*} 2t^2-5t+2=0\Rightarrow (2t-1)(t-2)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t=\frac12\\ t=2 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l l} 2^x=\frac12\\ 2^x=2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=-1\\ x=1 \end{array} \right. \end{gather*} $x=-1$ - не подходит по ОДЗ (в исходном уравнении есть $\sqrt{x}$).
Остается $x=1$. И ещё есть $x=4$ из скобки ($\sqrt{x}-2$).
Ответ: {1;4}

Пример 3. Решите систему:
a) $ \begin{cases} 2^x\cdot 4^y=64\\ 3^x\cdot 81^y=3^{10} \end{cases} $ \begin{gather*} \begin{cases} 2^x\cdot 2^{2y}=2^6\\ 3^x\cdot 3^{4y}=3^{10} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2^{x+2y}=2^6\\ 3^{x+4y}=3^{10} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+2y=6\\ x+4y=10 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} \begin{cases} 2y=10-6\\ x=6-2y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=2\\ y=2 \end{cases} \end{gather*} Ответ: (2;2)

б) $ \begin{cases} \left(\sqrt{5}\right)^{2x+y^2}=1\\ \left(\frac15\right)^x\cdot 5^{y^2}=125 \end{cases} $ \begin{gather*} \begin{cases} \left(\sqrt{5}\right)^{2x+y^2}=(\sqrt{5})^0\\ 5^{-x}\cdot 5^{y^2}=5^3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x+y^2=0\\ -x+y^2=3 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} \begin{cases} 3x=-3\\ y^2=-2x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-1\\ y^2=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-1\\ y=\pm\sqrt{2} \end{cases} \end{gather*} Ответ: $\left\{\left(-1;-\sqrt{2}\right),\left(-1;\sqrt{2}\right)\right\}$

в) $ \begin{cases} 3^x-2^{2y}=77\\ 3^{x/2}-2^y=7 \end{cases} $
Замена: $ \begin{cases} a=3^{x/2}\gt 0\\ b=2^y\gt 0 \end{cases} $ \begin{gather*} \\ \begin{cases} a^2-b^2=77\\ a-b=7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (a-b)(a+b)=77\\ a-b=7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a+b=11\\ a-b=7 \end{cases} \overset{(\pm)}{\Rightarrow} \begin{cases} 2a=11+7\\ 2b=11-7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=9\\ b=2 \end{cases} \end{gather*} Возвращаемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} 3^{x/2}=9\\ 2^y=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac x2=2\\ y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=4\\ y=1 \end{cases} $$ Ответ: (4;1)

г) $ \begin{cases} 2^x+2^y=12\\ x+y=5 \end{cases} $
$ \begin{cases} 2^x+2^{5-x}=12\\ y=5-x \end{cases} $
Решаем первое уравнение: $2^x+\frac{2^5}{2^x}=12$
$t=2^x\gt 0$ \begin{gather*} \\ t+\frac{32}{t}-12=0\Rightarrow \frac{t^2-12t+32}{t}=0 \Rightarrow \begin{cases} t^2-12t+32=0\\ t\ne 0 \end{cases} \\ t^2-12t+32=0\Rightarrow (t-4)(t-8)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t=4\\ t=8 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l l} 2^x=4\\ 2^x=8 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=2\\ x=3 \end{array} \right. \end{gather*} Получаем две пары решений: $ \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x=2\\ y=5-x=3 \end{cases}\\ \begin{cases} x=3\\ y=5-x=2 \end{cases} \end{array} \right. $
Ответ: {(2;3)(3;2)}

д*) $ \begin{cases} 4^{-x}+4^{-y}=\frac{33}{64}\\ 2^{x+y}=8\sqrt{2} \end{cases} $
\begin{gather*} \\ \begin{cases} \left(\frac12\right)^{2x}+\left(\frac12\right)^{2y}=\frac{33}{64}\\ \frac{1}{2^{x+y}}=\frac{1}{4\sqrt{2}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left(\frac12\right)^{2x}+\left(\frac12\right)^{2y}=\frac{33}{64}\\ \left(\frac12\right)^x\left(\frac12\right)^y=\frac{1}{8\sqrt{2}} \end{cases} \end{gather*} Замена: $ \begin{cases} a=\left(\frac12\right)^{x}\gt 0\\ b=\left(\frac12\right)^{y}\gt 0 \end{cases} $
\begin{gather*} \\ \begin{cases} a^2+b^2=\frac{33}{64}\\ ab=\frac{1}{8\sqrt{2}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2+\left(\frac{1}{8\sqrt{2}a}\right)^2=\frac{33}{64}\\ b=\frac{1}{8\sqrt{2}a} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2+\frac{1}{128a^2}=\frac{33}{64}\\ b=\frac{1}{8\sqrt{2}a} \end{cases} \end{gather*} Решаем биквадратное уравнение: \begin{gather*} a^2+\frac{1}{128a^2}=\frac{33}{64}\Rightarrow \frac{128a^4-66a^2+1}{128a^2}=0\Rightarrow \begin{cases} 128a^4-66a^2+1=0\\ a\ne 0 \end{cases} \\ 128a^4-66a^2+1=0\Rightarrow (64a^2-1)(2a^2-1)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} a^2=\frac{1}{64}\\ a^2=\frac12 \end{array} \right. \end{gather*} По определению замены берем положительные корни: $ \left[ \begin{array}{l l} a=\frac18\\ a=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right. $
Получаем две пары решений: $ \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} a=\frac18\\ b=\frac{1}{8\sqrt{2}a}=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \\ \begin{cases} a=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ b=\frac{1}{8\sqrt{2}a}=\frac18 \end{cases} \end{array} \right. $
Возвращаемся к исходным переменным:
$ \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} \left(\frac12\right)^x=\frac18\\ \left(\frac12\right)^y=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \\ \begin{cases} \left(\frac12\right)^x=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \left(\frac12\right)^y=\frac18 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} \left(\frac12\right)^x=\left(\frac12\right)^3\\ \left(\frac12\right)^y=\left(\frac12\right)^{0,5} \end{cases} \\ \begin{cases} \left(\frac12\right)^x=\left(\frac12\right)^{0,5}\\ \left(\frac12\right)^y=\left(\frac12\right)^3 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x=3\\ y=0,5 \end{cases} \\ \begin{cases} x=0,5\\ y=3 \end{cases} \end{array} \right. $
Ответ: {(3;0,5)(0,5;3)}

Рейтинг пользователей

за неделю

за неделю
один месяц
три месяца

Помогай другим

Отвечай на вопросы и получай ценные призы каждую неделю

См. подробности