Показательная функция, её свойства и график
п.1. Определение показательной функции
Например: Рассмотрим функции \(f(x)=2^x\ \text{и}\ g(x)=\left(\frac12\right)^x.\)
Составим таблицу и построим графики:
| x | f(x) | g(x) |
| -4 | 1/16 | 16 |
| -3 | 1/8 | 8 |
| -2 | 1/4 | 4 |
| -1 | 1/2 | 2 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 1/2 |
| 2 | 4 | 1/4 |
| 3 | 8 | 1/8 |
| 4 | 16 | 1/16 |
п.2. График и свойства показательной функции при a > 1
 |
$$ y=a^x,\ a\gt 1 $$ 1. Область определения \(x\in\mathbb{R}\) 2. Область значений \(y\gt 1\) 3. \(y(0)=a^0=1\) - пересекает ось \(OY\) в точке (0;1) 4. Функция возрастающая $$ a^q\gt a^s\Leftrightarrow q\gt s $$ 5. При \(x\lt 0,\ 0\lt y\lt 1\) При \(x\rightarrow -\infty,\ y\rightarrow 0\) - ограничена снизу При \(x\rightarrow +\infty,\ y\rightarrow +\infty\) - не ограничена сверху 6. Функция непрерывная на всей числовой прямой 7. Функция ни четная, ни нечетная |
п.3. График и свойства показательной функции при 0 < a < 1
 |
$$ y=a^x,\ 0\lt a\lt 1 $$ 1. Область определения \(x\in\mathbb{R}\) 2. Область значений \(y\gt 0\) 3. \(y(0)=a^0=1\) - пересекает ось \(OY\) в точке (0;1) 4. Функция убывающая $$ a^q\gt a^s\Leftrightarrow q\lt s $$ 5. При \(x\lt 0,\ y\gt 1\) При \(x\gt 0,\ 0\lt y\lt 1\) При \(x\rightarrow -\infty,\ y\rightarrow +\infty\) - не ограничена сверху При \(x\rightarrow +\infty,\ y\rightarrow 0\) - ограничена снизу 6. Функция непрерывная на всей числовой прямой 7. Функция ни четная, ни нечетная |
п.4. Свойства степени с действительным показателем
Для степени с действительным показателем \(a^x (x\in\mathbb{R})\) справедливы те же тождества, что и для степени с рациональным показателем \(a^r (r\in\mathbb{Q})\) (см. §5 справочника для 9 класса).
По определению степени: $$ a^0=1,\ \ a^1=a,\ \ a^{-x}=\frac{1}{a^x} $$
Для \(a\gt 0,\ x\in\mathbb{R},\ y\in\mathbb{R}:\) \begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}\\ a^x : a^y=a^{x-y}\\ (a^x)^y=a^{xy}\\ (ab)^x=a^xb^x\\ \left(\frac ab\right)^x=\frac{a^x}{b^x} \end{gather*}
п.5. Примеры
Пример 1. Постройте в одной системе координат графики $$ y=2^x,\ \ y=3^x,\ \ y=5^x $$ Сделайте выводы. 
Все три графика проходят через точку (0;1).
Все основания больше 1, функции возрастают.
При \(x\lt 0\) чем больше основание, тем быстрее функция стремится к нулю: $$ 5^x\lt 3^x\lt 2^x,\ x\lt 0 $$ При \(x\gt 0\) чем больше основание, тем быстрее функция стремится к бесконечности: $$ 5^x\gt 3^x\gt 2^x,\ x\gt 0 $$
Пример 2. Постройте в одной системе координат графики $$ y=\left(\frac12\right)^x,\ \ y=\left(\frac13\right)^x,\ \ y=\left(\frac15\right)^x $$ Сделайте выводы.
Все три графика проходят через точку (0;1).
Все основания меньше 1, функции убывают.
При \(x\lt 0\) чем больше основание, тем быстрее функция стремится к бесконечности: $$ \left(\frac15\right)^x\gt \left(\frac13\right)^x\gt \left(\frac12\right)^x,\ x\lt 0 $$ При \(x\gt 0\) чем больше основание, тем быстрее функция стремится к нулю: $$ \left(\frac15\right)^x\lt \left(\frac13\right)^x\lt \left(\frac12\right)^x,\ x\gt 0 $$
Пример 3. Решите графически уравнение:
a) \(3^x=-x+4\)
Ответ: \(x=1\)
б) \(\left(\frac15\right)^x=5x+10\)
Ответ: \(x=-1\)
Пример 4. Решите графически неравенство:
a) \(2^x\gt x+1\)
Строим графики \(y=2^x\) и \(y=x+1\)
Отмечаем точки пересечения (0;1) и (1;2). Точки незакрашенные, т.к. неравенство строгое.
Записываем интервалы для \(x\), на которых кривая \(y=2^x\) находится над прямой \(y=x+1\). Это – интервал слева до 0 и от 1 вправо. Точки 0 и 1 не включаем.
Ответ: \(x\in(-\infty;0)\cup (1;+\infty)\)
б) \(\left(\frac13\right)^x\leq -2x+1\)
Строим графики \(y=\left(\frac13\right)^x\) и \(y=-2x+1\)
Отмечаем точки пересечения (0;1) и (-1;3). Точки закрашенные, т.к. неравенство строгое. 
Записываем интервалы для \(x\), на которых кривая \(\left(\frac13\right)^x\) находится под прямой \(y=-2x+1\). Это – отрезок от -1 до 0. Точки -1 и 0 включаем.
Ответ: \(x=\left[-1;0\right]\)
