Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства

п.1. Понятие первообразной

На практике промежутком \(X\) считают облать определения функции \(F(x)\).

Например:
1) Функция \(F(x)=x^2\) является первообразной для \(f(x)=2x\), т.к. для любого \(x\) производная \(F'(x)=f(x)\).
2) Функция \(F(x)=cos⁡x\) является первообразной для \(f(x)=sin⁡x\), т.к. для любого \(x\) производная \(F'(x)=f(x)\).

п.2. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл

Действительно, по правилу нахождения производной суммы: $$ (F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x) $$ Т.е. первообразная определена с точностью до константы.

Например:

Для \(f(x)=sin⁡x\)
Первообразными будут \begin{gather*} F(x)=cos⁡x,\ F(x)=cos⁡x+1, \\ F(x)=cos⁡x-2,\ F(x)=cos⁡x+0,100500 \end{gather*} и т.д.

Например: $$ \int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+C,\ \ \int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C $$

п.3. Таблица неопределенных интегралов

Пользуясь результатами, полученными для производных (см. Главу 8 данного справочника), можем составить таблицу неопределенных интегралов.

Если взять производную от функции в правом столбце, мы получаем функцию в левом столбце. В этом легко убедиться самостоятельно.

п.4. Правила нахождения первообразных

Действительно $$ \begin{cases} F'(x)=f(x)\\ G'(x)=g(x) \end{cases} \Rightarrow \left(F(x)+G(x)\right)'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x) $$
Например:
Найдем первообразную функции \(y=x^5+sin⁡x\)
Это сумма двух функций \(f_1(x)=x^5,\ f_2(x)=sin⁡x\).
Соответствующие первообразные \(F_1(x)=\frac{x^6}{3},\ F_2(x)=-cos⁡x\)
Общая первообразная с учетом постоянного слагаемого:
\(F(x)=\frac{x^6}{3}-cosx+C\)

Действительно $$ \left(kF(x)\right)'=kF'(x)=kf(x) $$
Например:
Найдем первообразную функции \(y=5sinx+2=5\cdot sinx+2\cdot 1\)
Первообразная для синуса \(F_1(x)=-cosx\), первообразная для единицы \(F_2(x)=⁡x\)
Общая первообразная
\(F(x)=-5cosx+2x\)

Действительно
Для \(x\) получаем цепочку отображений: \(x\rightarrow kx+b\rightarrow F(kx+b)\)
По правилу дифференцирования сложной функции (см. §45 данного справочника) \begin{gather*} \left(\frac1k F(kx+b)\right)'=\frac1k\cdot F'(kx+b)\cdot (kx+b)'=\frac1k\cdot F'(kx+b)\cdot k=F'(kx+b)=\\ =f(kx+b) \end{gather*}
Например:
Найдем первообразную функции \(y=sin(5x+2) \)
Нам известно, что первообразная для \(f(x)=sin⁡x,\ F=-cos⁡x\)
При преобразовании аргумента \(x\rightarrow 5x+2\) у новой первообразной будет новый аргумент и множитель \(\frac1k=\frac15\). Получаем:
\(F(x)=-\frac15 cos(5x+2)\)

п.5. Свойства неопределенных интегралов

Свойства неопределенных интегралов являются прямыми следствиями свойств первообразных.

Например:
Найдем интеграл \(\int \left(x\sqrt{x}+\frac{1}{cos^2(2x+1)}\right)dx\)
Подынтегральное выражение – это сумма двух функций, первообразные для которых: \begin{gather*} F_1(x)=\frac{x^{\frac32+1}}{\frac32+1}=\frac{x^{\frac52}}{\frac52}=\frac25x^2\sqrt{x}\\ F_2(x)=\frac12\cdot tg(2x-1) \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} \int\left(x\sqrt{x}+\frac{1}{cos^2(2x-1)}\right)dx=\frac25x^2\sqrt{x}+\frac12 tg(2x-1)+C \end{gather*} Поверим результат интегрирования дифференцированием: \begin{gather*} \left(\frac25x^2\sqrt{x}+\frac12 tg(2x-1)+C\right)'=\frac25\cdot\frac52 x^{\frac52-1}+\frac12\cdot\frac{1}{cos^2(2x-1)}\cdot (2x-1)'+0=\\ =x\sqrt{x}+\frac{1}{cos^2(2x-1)} \end{gather*} Мы получили исходную подынтегральную функцию. Результат интегрирования верный.

п.6. Примеры

Пример 1. Докажите, что функция \(F(x)\) является первообразной для \(f(x)\), если:
a) \(F(x)=x^2\sqrt{x}+14sin3x\)
\(f(x)=\frac52 x\sqrt{x}+42cos 3x\)
Найдем производную \(F'(x)\) $$ F'(x)=\frac52\cdot x^{\frac52-1}+14\cdot cos3x\cdot (3x)'=\frac52 x\sqrt{x}+42cos3x=f(x) $$ Что и требовалось доказать.

б) \(F(x)=tg5x-4e^x\)
\(f(x)=\frac{5}{cos^2 5x}-4e^x\) $$ F'(x)=\frac{1}{cos^2 5x}\cdot (5x)'-4e^x=\frac{5}{cos^2 5x}-4e^x=f(x) $$ Что и требовалось доказать.

Пример 2. Найдите первообразную функции, которая проходит через данную точку:
a) \(y=sinx,\ A\left(\frac\pi 3;\frac14\right)\)
Общий вид первообразных для синуса: $$ F(x)=-cosx+C $$ Чтобы найти ту первообразную, которая проходит через данную точку, нужно подставить координаты этой точки: $$ \frac14=-\cos\frac\pi 3+C\Rightarrow C=\frac14+cos\frac\pi 3=\frac14+\frac12=\frac34 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=-cosx+\frac34 $$
б) \(y=(x+2)(3x-1),\ A(0;4)\)
Получаем квадратный трехчлен: \(y=3x^2+5x-6\)
Общий вид первообразной: $$ F(x)=3\cdot\frac{x^3}{3}+5\cdot\frac{x^2}{2}-6\cdot x+C=x^3+2,5x^2-x+C $$ Первообразная, которая проходит через данную точку: $$ 4=0^3+2,5\cdot 0^2-0+C\Rightarrow C=4 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=x^3+2,5x^2-x+4 $$
в*) \(y=\frac{x}{x+3},\ A(-2;1)\)
Выделим целую часть: \(y=\frac{x}{x+3}=\frac{(x+3)-3}{x+3}=1-\frac{3}{x+3}\)
Общий вид первообразной: $$ F(x)=x-3\cdot\ln(x+3)+C $$ Первообразная, которая проходит через данную точку: $$ 1=-2-3\cdot\ln(-2+3)+C=-2-3\cdot 0+C=-2+C\Rightarrow C=3 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=x-3\ln(x+3)+3 $$
г*) \(y=\frac{cos2x}{cos^2x},\ A\left(\frac\pi 4;\frac\pi 2\right)\)
Преобразуем тригонометрическое выражение: \(y=\frac{cos2x}{cos^2x}=\frac{2cos^2x-1}{cos^2x}=2-\frac{1}{cos^2x}\)
Общий вид первообразной: $$ F(x)=2x-tgx+C $$ Первообразная, которая проходит через данную точку: $$ \frac\pi 2=2\cdot\frac\pi 4-tg\frac\pi 4+C=\frac\pi 2-1+C\Rightarrow C=1 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=2x-tgx+1 $$

Пример 3. Найдите неопределенный интеграл и результат проверьте дифференцированием:
a) $$ \int\left(e^x+\frac1x\right)dx=e^x+\ln|x|+C $$ Проверка: $$ (e^x+\ln|x|+C)'=e^x+\frac1x+0=e^x+\frac1x $$ Получили подынтегральную функцию. Ответ верный.

б) $$ \int\left(\frac1x-\frac{4}{x^2}-\frac{3}{sin^2x}\right)dx=\ln|x|-4\cdot\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+3\cdot ctgx+C=\ln|x|+\frac4x+3ctgx+C $$ Проверка: $$ (\ln|x|+\frac4x+3ctgx+C)'=\frac14+4\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)+3\cdot\left(-\frac{1}{sin^2x}\right)+0=\frac1x-\frac{4}{x^2}-\frac{3}{sin^2x} $$ Получили подынтегральную функцию. Ответ верный.

в*) \begin{gather*} \int\frac{\pi^x-1}{\pi^x-\pi^{2x}}dx=-\int\frac{\pi^x-1}{\pi^{2x}-\pi^x}dx=-\int\frac{\pi^x-1}{\pi^x(\pi^x-1)}dx=-\int\pi^{-x}dx=\\ =-(-2)\frac{\pi^x}{\ln\pi}+C=\frac{\pi^{-x}}{\ln\pi}+C \end{gather*} Проверка: \begin{gather*} \left(\frac{\pi^{-x}}{\ln\pi}+C\right)'=\frac{\pi^{-x}\ln\pi\cdot(-x)'}{\ln\pi}+0=\pi^{-x}=-\frac{1}{\pi^x}=-\frac{\pi^x-1}{\pi^x(\pi^x-1)}=\\ =-\frac{\pi^x-1}{\pi^{2x}-\pi^x}=\frac{\pi^x-1}{\pi^x-\pi^{2x}} \end{gather*} Получили подынтегральную функцию. Ответ верный.

г*) \begin{gather*} \int\frac{4}{1-cosx}dx=\int\frac{4}{2sin^2\frac x2}dx=2\int\frac{dx}{sin^2\frac x2}=-2\cdot 2ctg\frac x2+C=-4ctg\frac x2+C \end{gather*} Проверка: \begin{gather*} \left(-4ctg\frac x2+C\right)'=-4\cdot\left(-\frac{1}{sin^2\frac x2}\right)\cdot\left(\frac x2\right)'+0=\frac{4}{2sin^2\frac x2}=\frac{4}{1-cosx} \end{gather*} Получили подынтегральную функцию. Ответ верный.

Пример 4*. Найдите ту первообразную для функции \(f(x)=3x^3-4\), для графика которой касательной является прямая \(y=-x+2\)

Общий вид первообразной: \(F(x)=3\cdot\frac{x^4}{4}-4\cdot x+C=\frac34 x^4-4x+C\)
Уравнение касательной (см. §47 данного справочника) к первообразной: $$ y=\underbrace{F'(x_0)}_{=f(x_0)}(x-x_0)+F(x_0)=f(x_0)\cdot x+(F(x_0)-f(x_0)\cdot x_0) $$ По условию \( y=-x+2\Rightarrow \begin{cases} f(x_0)=-1\\ F(x_0)-f(x_0)\cdot x_0=2 \end{cases} \)
Из первого уравнения найдем абсциссу точки касания: $$ 3x_0^3-4=-1\Rightarrow 3x_0^3=3\Rightarrow x_0^3=1\Rightarrow x_0=1 $$ Тогда из второго уравнения: $$ F(x_0)=f(x_0)x_0+2=-1\cdot 1+2=1 $$ Получаем: $$ 1=\frac34\cdot 1^4-4\cdot 1+C=-3\frac14+C\Rightarrow C=1+3\frac14=4\frac14 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=\frac34x^4-4x+4\frac14 $$