Основные теоремы о логарифмах
п.1. Базовые свойства логарифма
По определению логарифма выражения \(\log_ab=x\Leftrightarrow a^x=b\) равнозначны.При этом \(a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\ x\in\mathbb{R}.\)
Отсюда сразу следует: \(a^x=a^{\log_ab}=b\) – основное логарифмическое тождество.
Поскольку \(a^1=a\Rightarrow\log_aa=1\) - логарифмическая единица
Поскольку \(a^0=1\Rightarrow\log_a1=0\) - логарифмический ноль
п.2. Логарифм произведения
Пусть нам даны два логарифма с одним основанием: \(\log_ab=x,\ \log_ac=y\)
В записи через степени это означает, что \(a^x=b,\ a^y=c\)
Тогда произведение степеней \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}=bc\)
В записи через логарифмы получаем формулу:
\(\log_abc=x+y=\log_ab+\log_ac\)
Например:
\(\log_210=\log_2(2\cdot 5)=\log_22+\log_25=1+\log_25\)
\(\log_35+\log_31,8=\log_35\cdot 1,8=\log_39=2\)
п.3. Логарифм частного
Для тех же логарифмов \(\log_ab=x,\ \log_ac=y\) и степеней \(a^x=b,\ a^y=c\) запишем частное \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}=\frac bc\)
В записи через логарифмы получаем формулу:
\(\log_a\frac bc=x-y=\log_ab-\log_ac\)
Например:
\(\log_3\frac89=\log_38-\log_39=\log_38-2\)
\(\log_4 80-\log_4 5=\log_4\frac{80}{5}=\log_4 16=2\)
п.4. Логарифм степени
Пусть \(\log_ab=x\) и \(\log_ab^p=z\)
В записи через степени это означает, что \(a^x=b,\ a^z=b^p=(a^x)^p=a^{xp}\)
Откуда \(z=xp\) или через логарифмы: $$ z=\log_a b^p=xp=p\log_ab\Rightarrow \log_a b^p=p\log_ab $$ Теперь пусть \(\log_ab=x\) и \(\log_{a^k}b=z\)
Тогда \(a^x=b,\ (a^k)^z=a^{kz}=b\)
Получаем \(x=kz,\ z=\frac xk\) или через логарифмы: $$ z=\log_{a^k}b=\frac xk=\frac1k\log_ab\Rightarrow\log_{a^k}b=\frac1k\log_ab $$
Например:
\(\log_8 16=\log_{2^3}2^4=\frac43\log_22=\frac43\)
\(\log_9\sqrt{27}=\log_{3^2}3^{\frac32}=\frac{3}{2\cdot 2}\log_33=\frac34\)
И очень важное следствие:
Например:
\(\log_2 2=\log_4 9=\log_8 27=\log_{\sqrt{2}}\sqrt{3}=\log_{\frac12}\frac13=\log_{\frac14}\frac19=...\)
п.5. Переход к новому основанию
Пусть \(\log_ab=x\) и \(\log_ca=y.\)
В записи через степени это означает, что \(a^x=b,\ c^y=a.\)
Тогда \(a^x=(c^y)^x=c^{yx}=b.\)
Через логарифмы: \(\log_cb=yx=\log_ca\cdot\log_ab\Rightarrow \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\)
Например:
\(\log_3 5=\frac{\log_2 5}{\log_2 3}=\frac{\log_7 5}{\log_7 3}=\frac{\log_{1/2}5}{\log_{1/2}3}=\frac{\ln5}{\ln3}=\frac{\lg 5}{\lg3}=...\)
Важное следствие получаем при \(c=b\):
\(\log_ab=\frac{\log_b b}{\log_b a}=\frac{1}{\log_b a}\)
Например:
$$ \log_5 16\cdot\log_2 25=\frac{\log_5 16}{\log_{25}2}=\frac{\log_5 2^4}{\log_{5^2}2} =\frac{4\cdot \log_5 2}{\frac12\cdot\log_5 2}=4\cdot 2=8 $$
п.6. Примеры
Пример 1. Вычислите:
a) \( \frac{\log_5 27-2\log_5 3}{\log_5 45+\log_5 0,2} \) $$ \frac{\log_5 27-2\log_5 3}{\log_5 45+\log_5 0,2} = \frac{\log_5 27-\log_5 3^2}{\log_5(45\cdot 0,2)} = \frac{\log_5\left(\frac{27}{9}\right)}{\log_5 9} = \frac{\log_5 3}{\log_5 3^2} = \frac{\log_5 3}{2\cdot\log_5 3}=\frac12 $$
б) \( \frac{3\lg4+\lg 0,5}{\lg7-\lg14} \) $$ \frac{3\lg4+\lg 0,5}{\lg7-\lg14} = \frac{\lg(4^3\cdot 0,5)}{\lg\left(\frac{7}{14}\right)}=\frac{\lg32}{\lg\frac12} = \frac{\lg 2^5}{\lg 2^{-1}} = \frac{5\cdot \lg 2}{-1\cdot\lg2}= -5 $$
в) \( -\log_2\log_2\sqrt{\sqrt[{4}]{2}} \) $$ -\log_2\log_2\sqrt{\sqrt[{4}]{2}} = -\log_2\left(\log_2 2^{\frac14\cdot \frac12}\right) = -\log_2\frac18=-\log_2 2^{-3}=-(-3)=3 $$
г) \( \log_8\log_4\log_2 16 \) $$ \log_8\log_4\underbrace{\log_2 16}_{=4}=\log_8\underbrace{\log_4 4}_{=1} = \log_8 1=0 $$
д) \( 36^{\log_6 5}+10^{1-\lg2}-3^{\log_9 36} \) \begin{gather*} 36^{\log_6 5}+10^{1-\lg2}-3^{\log_9 36} = 36^{\log_{6^2}5^2}+\frac{10^1}{10^{\lg2}} - 3^{\log_{\sqrt{9}}\sqrt{36}} = \\ =36^{\log_{36}25}+\frac{10}{2}-3^{\log_3 6}=25+5-6=24 \end{gather*}
e) \( \left(81^{\frac14-\frac12\log_{27}8}+25^{\log_5 2}\right)\cdot 36^{\log_6 2} \) \begin{gather*} \left(81^{\frac14-\frac12\log_{27}8}+25^{\log_5 2}\right)\cdot 36^{\log_6 2} = \left(3^{4\left(\frac14-\frac12\log_{3^3}2^3\right)}+25^{\log_{5^2}2^2}\right) \cdot 36^{\log_{6^2}2^2} =\\ = (3^{1-2\log_3 2}+25^{\log_{25}4}) \cdot 36^{\log_{36}4} = \left(\frac{3}{3^{\log_3 2^2}}+4\right)\cdot 4=\left(\frac34 + 4\right)\cdot 4=19 \end{gather*}
Пример 2. Найдите
a) \(\log_6 9,\) если \(\log_6 2=a\) $$ \log_6 9=\log_6\frac{36}{4}=\log_6 36-\log_6 4=2-\log_6 2^2 = 2-2\log_6 2=2-2a $$ Ответ: \(2-2a\)
б) \(\log_{275} 60,\) если \(\log_{12}5=a,\ \log_{12}3=b\) $$ \log_{275} 60=\frac{\log_{12}60}{\log_{12}275}= \frac{\log_{12}(12\cdot 5)}{\log_{12}(5^3\cdot 3)} = \frac{1+\log_{12}5}{3\log_{12}5+\log_{12}3}=\frac{1+a}{3a+b} $$ Ответ: \(\frac{1+a}{3a+b}\)
в) \(\log_{\sqrt{3}}\sqrt[{6}]{a},\) если \(\log_{a}27=b\) $$ \log_{\sqrt{3}}\sqrt[{6}]{a}= \frac{1/6}{1/6}\log_3a=\frac13\log_3a=\frac{1}{3\log_a3} = \frac{1}{\log_a 3^3}=\frac{1}{\log_a 27}=\frac 1b $$ Ответ: \(\frac 1b\)
г) \(\lg56,\) если \(\lg2=a,\ \log_27=b\) \begin{gather*} \lg56=\lg(7\cdot 8)=\lg7+\lg8= \frac{\log_2 7}{\log_2 10}+\lg2^3= b\cdot \lg2+3\cdot\lg2=\\ =(b+3)\cdot \lg 2=a(b+3) \end{gather*} Ответ: \(a(b+3)\)
д) \(\log_{30}8,\) если \(\lg5=a,\ \lg3=b\) \begin{gather*} \log_{30}8=\frac{\lg8}{\lg30} = \frac{\lg2^3}{\lg(10\cdot 3)} = \frac{3\lg2}{\lg10+\lg3}= \frac{3\lg\frac{10}{5}}{1+b}= \frac{3(\lg10-\lg5)}{1+b}=\frac{3(1-a)}{a+b} \end{gather*} Ответ: \(\frac{3(1-a)}{a+b}\)
e) \(\log_{6}16,\) если \(\log_{12}27=a\) \begin{gather*} a=\log_{12}27=\log_{12}3^3=3\log_{12}3=\frac{3}{\log_3 12} = \frac{3}{\log_3(3\cdot 2^2)} = \frac{3}{1+2\log_3 2}\\ 1+2\log_3 2=\frac3a\Rightarrow \log_32=\frac{\frac3a-1}{2} = \frac{3-a}{2a},\ \ \log_23=\frac{2a}{3-a}\\ \log_6 16=\log_6 2^4=4\log_6 2=\frac{4}{\log_2 6}=\frac{4}{\log_2(2\cdot 3)} = \frac{4}{1+\log_2 3}=\\ =\frac{4}{1+\frac{2a}{3-a}} = \frac{4(3-a)}{3-a+2a}=\frac{4(3-a)}{3+a} \end{gather*} Ответ: \(\frac{4(3-a)}{3+a}\)
Пример 3. Упростите выражение:
a) \((\log_ab+\log_ba+2)(\log_ab-\log_{ab}b)\log_ba-1\)
Заметим, что \(\log_ba=\frac{1}{\log_ab}\)
\(\log_{ab}b=\frac{1}{\log_bab}=\frac{1}{\log_ba+1}=\frac{1}{\frac{1}{\log_ab}+1}=\frac{\log_ab}{1+\log_ab}\)
Замена переменных: \(t=\log_ab\) \begin{gather*} \left(\log_ab+\frac{1}{\log_ab}+2\right)\left(\log_ab-\frac{\log_ab}{1+\log_ab}\right)\cdot\frac{1}{\log_ab}-1 =\\ =\left(t+\frac1t+2\right)\left(t-\frac{t}{1+t}\right)\cdot\frac1t-1= \frac{t^2+2t+1}{t}\cdot\frac{t^2+t-t}{t+1}\cdot\frac{1}{t}-1=\\ =\frac{(t+1)^2}{t}\cdot\frac{t^2}{t+1}\cdot\frac1t-1=t+1-1=t=\log_ab \end{gather*} Ответ: \(\log_ab\)
б) \(0,2\left(2a^{\log_2b}+3b^{\log_{\sqrt{2}}\sqrt{a}}\right)\)
\(\log_{\sqrt{2}}\sqrt{a}=\log_2a\). Получаем: \(0,2\left(2a^{\log_2b}+3b^{\log_2a}\right)\)
Пусть \(t=\log_2b\)
Тогда \(a^{\log_2b}=a^t,\ b=2^t\)
\(b^{\log_2a}=(2^t)^{\log_2a}=2^{\log_2a^t}=a^t\)
Подставляем: \(0,2(2a^t+3a^t)=0,2\cdot 5a^t=a^t=a^{\log_2b}\)
Ответ: \(a^{\log_2b}\)
в) \(\left(x^{1+\frac{1}{2\log_4 x}}+8^{\frac{1}{3\log_{x^2}2}}+1\right)^{1/2}\)
\begin{gather*} \left(x^{1+\frac{1}{2\log_4 x}}+8^{\frac{1}{3\log_{x^2}2}}+1\right)^{1/2} = \left(x\cdot x^{\frac{1}{\log_4 x^2}}+8^{\frac{1}{\log_{x^2}2^3}}+1\right)^{1/2}=\\ =\left(x\cdot x^{\frac{1}{\log_4 x^2}}+8^{\frac{1}{\log_{x^2}8}}+1\right)^{1/2}=\left(x\cdot x^{\frac{1}{\log_{2^2}x^2}}+8^{\log_3 x^2}+1\right)^{1/2}=\\ =\left(x\cdot x^{\frac{1}{\log_2x}}+x^2+1\right)^{1/2}=(x\cdot x^{\log_x 2} + x^2+1)^{1/2}=(2x+x^2+1)^{1/2}=\\ =((x+1)^2)^{\frac12}=x+1 \end{gather*} В данном случае корень из квадрата будет не модуль, а само значение, т.к. по ОДЗ \(x\gt 0,\ x\ne 1.\)
г*) \( \frac{\log_ab+\log_a\left(b^{\frac12\log_b a^2}\right)}{\log_ab-\log_{ab}b}\cdot \frac{\log_{ab}b\cdot\log_ab}{b^{2\log_b\log_ab-1}} \)
Замена: \(t=\log_ab\)
Тогда \begin{gather*} \log_{ab}b=\frac{1}{\log_b ab}=\frac{1}{\log_ba + 1}=\frac{1}{\frac{1}{\log_ab}+1} = \frac{\log_ab}{1+\log_ab}=\frac{t}{t+1}\\ \log_a\left(b^{\frac12\log_b a^2}\right)=\frac12\log_ba^2\cdot\log_ab= \frac12\cdot 2\cdot \log_ba\cdot\log_ab=1\\ b^{2\log_b\log_ab}=b^{\log_b(\log_ab)^2}=(\log_ab)^2=t^2\\ \log_ab-\log_{ab}b=t-\frac{t}{t+1}=\frac{t^2+t-t}{t+1}=\frac{t^2}{t+1} \end{gather*} Подставляем: \begin{gather*} \frac{t+1}{\frac{t^2}{t+1}}\cdot \frac{\frac{t}{t+1}\cdot t}{t^2-1} = \frac{t^2(t+1)}{t^2(t^2-1)} = \frac{t+1}{(t+1)(t-1)} = \frac{1}{t-1} = \frac{1}{\log_ab -1} \end{gather*} Ответ: \(\frac{1}{\log_ab -1}\)
