Основные методы решения тригонометрических уравнений

п.1. Разложение на множители

Алгоритм простого разложения на множители

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения \(f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot ...\cdot f_n(x)=0\) где \(f_i(x)\) - некоторые функции (тригонометрические и не только) от \(x\).
Шаг 2. Решить совокупность уравнений: \( \left[ \begin{array}{l l} f_1(x)=0\\ f_2(x)=0\\ ...\\ f_n(x)=0\\ \end{array} \right. \)
Шаг 3. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(2cosx cos2x=cosx\) \begin{gather*} 2cosx cos2x-cosx=0\\ cosx(2cos2x-1)=0\\ \left[ \begin{array} {l l} cosx=0\\ 2cos2x-1=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} x=\frac\pi2+\pi k\\ cos2x=\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} x=\frac\pi2+\pi k\\ 2x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end{array} \right. \end{gather*}

Мы видим, что полученные семейства образуют множество из 6 базовых точек на числовой окружности через каждые \(60^{\circ}=\frac\pi3\) Поэтому: \begin{gather*} \left[ \begin{array} {l l} x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3} \end{gather*}

Ответ: \(\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}\)

Алгоритм разложения на множители со знаменателем

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения $$ \frac{f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot ...\cdot f_n(x)}{g_1(x)\cdot g_2(x)\cdot ...\cdot g_m(x)}=0 $$ где \(f_i(x),\ g_i(x)\) - некоторые функции (тригонометрические и не только) от \(x\).
Шаг 2. Решить смешанную систему уравнений: \( \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} f_1(x)=0\\ f_2(x)=0\\ ...\\ f_n(x)=0\\ \end{array} \right.\\ g_1(x)\ne 0\\ g_2(x)\ne 0\\ ...\\ g_m(x)\ne 0\\ \end{cases} \)
Шаг 3. Найти объединение полученных решений для числителя. Исключить все решения, полученные для знаменателя. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(ctgx-tgx=\frac{cosx-sinx}{\frac12 sin2x}\)
Левая часть уравнения: $$ ctgx-tgx=\frac{cosx}{sinx}-\frac{sinx}{cosx}=\frac{cos^2x-sin^2x}{sinxcosx}=\frac{(cosx-sinx)(cosx+sinx)}{\frac12sin2x} $$ Подставляем, переносим правую часть влево: $$ \frac{(cosx-sinx)(cosx+sinx)}{\frac12sin2x}-\frac{cosx-sinx}{\frac12sin2x}=0 $$ Выносим общий множитель, умножаем на \(1/2\) слева и справа, получаем: $$ \frac{(cosx-sinx)(cosx+sinx-1)}{sin2x}=0 $$ В этом уравнении учтено ОДЗ для \(ctgx\) и \(tgx\). Поэтому отдельно его не записываем.
Полученное уравнение равносильно системе: \begin{gather*} \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} cosx-sinx=0\\ cosx+sinx=1 \end{array} \right.\\ sin2x\ne 0 \end{cases} \end{gather*} Решаем первое уравнение как однородное 1-й степени (см. этот параграф ниже): \begin{gather*} cosx-sinx=0\ \ |: cosx\\ 1-tgx=0\Rightarrow tgx=1\Rightarrow x=\frac\pi4+\pi k \end{gather*} Решаем второе уравнение введением вспомогательного угла (см. этот параграф ниже): \begin{gather*} cosx-sinx=1\ \ | \times \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}cosx+\frac{\sqrt{2}}{2}sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ cos\left(\frac\pi4\right)cosx+sin\left(\frac\pi4\right)sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ cos\left(\frac\pi4-x\right)=cos\left(x-\frac\pi4\right)=cos\left(x-\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x-\frac\pi4=\pm\frac\pi4+2\pi k\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=2\pi k\\ x=\frac\pi2+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Решаем исключающее уравнение для знаменателя: $$ sin2x\ne 0\Rightarrow 2x\ne \pi k\Rightarrow x\ne\frac{\pi k}{2} $$

Записываем полученную систему, отмечаем базовые решения на числовой окружности, исключаем нули знаменателя. Получаем: \begin{gather*} \begin{cases} \left[ \begin{array} {l l} x=\frac\pi4+\pi k\\ x=2\pi k\\ x=\frac\pi2+2\pi k\Leftrightarrow x=\frac\pi4+\pi k \end{array} \right.\\ x\ne\frac{\pi k}{2} \end{cases} \end{gather*}

За счет требования \(x\ne\frac{\pi k}{2}\) исключаются семейства \(x=\frac\pi2+2pi k\) и \(x=2\pi k\).
Остается только \(x=\frac\pi4+\pi k\).
Ответ: \(\frac\pi4+\pi k\)

п.2. Приведение к квадратному уравнению

Алгоритм

Шаг 1. С помощью базовых тригонометрических отношений и других преобразований представить уравнение в виде $$ af^2(x)+bf(x)+c=0 $$ где \(f(x)\) - тригонометрическая функция.
Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=f(x)\). Решить полученное квадратное уравнение: \begin{gather*} at^2+bt+c=0\\ D=b^2-4ac,\ \ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \end{gather*} Шаг 3. Если \(f(x)\) - синус или косинус, проверить условие \(-1\leq t_{1,2}\leq 1\). Отбросить лишние корни.
Шаг 4. Вернуться к исходной переменной и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin{array}{l l} f(x)=t_1\\ f(x)=t_2 \end{array} \right. \) или одно оставшееся уравнение.
Шаг 5. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(3sin^2x+10cosx-6=0\)
Заменим \(sin^2x=1-cos^2x\). Получаем: \begin{gather*} 3(1-cos^2x)+10cosx-6=0\\ -3cos^2x+10cosx-3=0\\ 3cos^2x-10cosx+3=0\\ \text{Замена:}\ t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1\\ 3t^2-10t+3=0\\ D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=64\\ t=\frac{10\pm 8}{6}= \left[ \begin{array} {l l} \frac13\\ 3\gt 1 - \text{не подходит} \end{array} \right. \end{gather*} Решаем \(cosx=\frac13\Rightarrow x=\pm arccos\frac13+2\pi k\)
Ответ: \(\pm arccos\frac13+2\pi k\)

п.3. Приведению к однородному уравнению

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 1-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на \(cosx\) \begin{gather*} \frac{Asinx+Bcosx}{cosx}=\frac{0}{cosx}\\ Atgx+B=0\\ tgx=-\frac{B}{A} \end{gather*} Шаг 2. Решить полученное простейшее тригонометрическое уравнение. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(sinx+cosx=0\)
Делим на \(cosx\). Получаем: \(tgx+1=0\Rightarrow tgx=-1\Rightarrow x=-\frac\pi4+\pi k\)
Ответ: \(-\frac\pi4+\pi k\)

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 2-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на \(cos^2x\) \begin{gather*} \frac{Asin^2x+Bsinxcosx+Ccos^2x}{cos^2x}=\frac{0}{cos^2x}\\ Atg^2x+Btgx+C=0 \end{gather*} Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=tgx\). Решить полученное квадратное уравнение: \begin{gather*} at^2+bt+c=0\\ D=b^2-4ac,\ \ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \end{gather*} Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin{array}{l l} tgx=t_1\\ tgx=t_2 \end{array} \right. \)
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3\)
Приведем уравнение к однородному (чтобы избавиться от тройки справа, умножим её на тригонометрическую единицу): \begin{gather*} 6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3(sin^2x+cos^2x)\\ 3sin^2x-sinxcosx-4cos^2x=0\ |:\ cos^2x\\ 3tg^2x-tgx-4=0\\ \text{Зaмена:}\ t=tgx\\ 3t^2-t-4=0\\ D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=49\\ t=\frac{1\pm 7}{6}= \left[ \begin{array}{l l} -1\\ \frac43 \end{array} \right. \end{gather*} Решаем совокупность: \( \left[ \begin{array}{l l} tgx=-1\\ tgx=\frac43 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac\pi4+\pi k\\ x=arctg\frac43+\pi k \end{array} \right. \)
Ответ: \(-\frac\pi4+\pi k,\ \ arctg\frac43+\pi k\)

Обобщим понятие однородного тригонометрического уравнения на любую натуральную степень:

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения n-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на \(cos^n x\)
Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=tgx\). Решить полученное алгебраическое уравнение: \begin{gather*} a_0t^n+a_1t^{n-1}+...+a_n=0 \end{gather*} Найти корни \(t_1, t_2,..., t_k,\ k\leq n\)
Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin{array}{l l} tgx=t_1\\ tgx=t_2\\ ...\\ tgx=t_k \end{array} \right. \)
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(2sin^3x=cosx\)
Умножим правую часть на тригонометрическую единицу и получим однородное уравнение 3-й степени: \begin{gather*} 2sin^3x=cosx(sin^2x+cos^2x)\\ 2sin^3x-sin^2xcosx-cos^3x=0\ |:\ cos^3x\\ 2tg^x-tg^2x-1=0\\ \end{gather*} Замена \(t=tgx\) дает кубическое уравнение: \(2t^3-t^2-1=0\)
Раскладываем на множители: \begin{gather*} 2t^3-t^2-1=t^3-t^2+t^3-1=t^2(t-1)+(t-1)(t^2+t+1)=\\ =(t-1)(2t^2+t+1) \end{gather*} Вторая скобка на множители не раскладывается, т.к. \(D=1-4\cdot 2=-7 \lt 0\).
Получаем: \(2t^3-t^2-1=0\Leftrightarrow t-1=0\)
Возвращаемся к исходной переменной:
\(tgx=1\Rightarrow x=\frac\pi4+\pi k\)
Ответ: \(\frac\pi4+\pi k\)

п.4. Введение вспомогательного угла

Решаем неоднородное уравнение вида: \(asinx+bcosx=c\)
Делим левую и правую части на \(p=\sqrt{a^2+b^2}\): \begin{gather*} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{gather*} Введем вспомогательный угол \(\alpha\), такой что: \begin{gather*} sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \ cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{gather*} Подставляем: \begin{gather*} sin\alpha sinx +cos\alpha cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ cos(x-\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ x-\alpha=\pm arccos\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}+2\pi k \end{gather*} Получаем решение: $$ x=\alpha\pm arccos\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}+2\pi k $$ Решение существует, если \(|\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1\).
Аналогично уравнение \(asinx+bcosx=c\) можно привести к синусу суммы.
В этом случае \(cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\), и решение имеет вид $$ x=-\alpha+(-1)^{k}arcsin\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}+\pi k $$

Например:
Решим уравнение \(\sqrt{3}sin3x-cos3x=1\)
Делим уравнение на \( p=\sqrt{3+1}=2: \) \begin{gather*} \sqrt{3}sin3x-cos3x=1 |:\ 2\\ \frac{\sqrt{3}}{2}sin3x-\frac12cos3x=\frac12\\ sin\left(\frac\pi3\right)sin3x-cos\left(\frac\pi3\right)cos3x=\frac12\\ cos\left(\frac\pi3\right)cos3x-sin\left(\frac\pi3\right)sin3x=-\frac12\\ cos\left(3x+\frac\pi3\right)=-\frac12\Rightarrow 3x+\frac\pi3=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\Rightarrow 3x= \left[ \begin{array}{l l} -\pi+2\pi k\\ \frac\pi3+2\pi k \end{array} \right. \Rightarrow x= \left[ \begin{array}{l l} -\frac\pi3+\frac{2\pi k}{3}\\ \frac\pi9+\frac{2\pi k}{3} \end{array} \right. \end{gather*}
Ответ: \(-\frac\pi3+\frac{2\pi k}{3},\ \ \frac\pi9+\frac{2\pi k}{3}\)

п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

При решении уравнений вида \begin{gather*} Asinax+Bsinbx+...+Ccoscx+Dcosdx+...=0 \end{gather*} используются формулы, выведенные в §17 данного справочника.
Затем проводится разложение на множители, и находится решение (см. начало этого параграфа).

Например:
Решим уравнение \(cos3x+sin2x-sin4x=0\)
Заметим, что: $$ sin2x-sin4x=2sin\frac{2x-4x}{2}cos\frac{2x+4x}=2sin(-x)cos3x=-2sinxcos3x $$ Подставляем: \begin{gather*} cos3x-2sinxcos3x=0\\ cos3x(1-2sinx)=0\\ \left[ \begin{array}{l l} cos3x=0\\ 1-2sinx=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} 3x=\frac\pi2+\pi k\\ sinx=\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}\\ x=(-1)^k\frac\pi6+\pi k= \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi6+2\pi k\\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k \end{array} \right. \end{array} \right. \end{gather*} Чтобы было понятней, распишем полученные множества в градусах: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}=30^{\circ}+60^{\circ}k\\ x=\frac\pi6+2\pi k=30^{\circ}+360^{\circ}k\Leftrightarrow x=30^{\circ}+60^{\circ}k=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}\\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k=150^{\circ}+360^{\circ}k \end{array} \right. \end{gather*}

Получаем, что семейства решений \(\frac\pi6+2\pi k\) и \(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\) уже содержатся во множестве \(\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}\).

Ответ: \(\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}\)

п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решении уравнений вида \begin{gather*} sinax\cdot cosbx=sincx\cdot cosdx,\ \ sinax\cdot sinbx=sincx\cdot cosdx\ \ \text{и т.п.} \end{gather*} используются формулы, выведенные в §18 данного справочника.

Например:
Решим уравнение \(sin5xcos3x=sin6xcos2x\)
Заметим, что: \begin{gather*} sin5xcos3x=\frac{sin(5x+3x)-sin(5x-3x)}{2}=\frac{sin8x-sin2x}{2}\\ sin6xcos2x=\frac{sin(6x+2x)-sin(6x-2x)}{2}=\frac{sin8x-sin4x}{2} \end{gather*} Подставляем: \begin{gather*} \frac{sin8x-sin2x}{2}=\frac{sin8x-sin4x}{2}\ |\times 2\\ sin8x-sin2x=sin8x-sin4x\\ sin4x-sin2x=0\\ 2sin2xcos2x-sin2x=0\\ sin2x(2cos2x-1)=0\\ \left[ \begin{array}{l l} sin2x=0\\ 2cos2x-1=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} 2x=\pi k\\ cos2x=\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac{\pi k}{2}\\ 2x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac{\pi k}{2}\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end{array} \right. \end{gather*}

Семейства решений не пересекаются.

Ответ: \(\frac{\pi k}{2},\ \ \pm\frac\pi6+\pi k\)

Примечание: учитывая ответ предыдущего примера, это же множество решений можно записать в виде: \( \left[ \begin{array}{l l} x=\frac{\pi k}{2}\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}\\ x=\pi k \end{array} \right. \)

п.7. Понижение степени

При решении уравнений вида \begin{gather*} sin^2ax+sin^2bx+...+cos^2cx+cos^2dx+...=A \end{gather*} используются формулы понижения степени: \begin{gather*} sin^2x=\frac{1-cos2x}{2},\ \ cos^2x=\frac{1+cos2x}{2} \end{gather*} (см. формулы половинного аргумента, §15 данного справочника).

Например:
Решим уравнение \(sin^2x+sin^22x=1\)
Расписываем квадраты синусов через формулу понижения степени: \begin{gather*} \frac{1-cos2x}{2}+\frac{1-cos4x}{2}=1\\ cos2x+cos4x=0\\ 2cos\frac{2x+4x}{2}cos\frac{2x-4x}{2}=0\\ cos3xcosx=0\\ \left[ \begin{array}{l l} cos3x=0\\ cosx=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} 3x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac\pi2+\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}\\ x=\frac\pi2+\pi k \end{array} \right. \end{gather*}

\(x=\frac\pi2+\pi k\) является подмножеством \(x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}\) Поэтому \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}\\ x=\frac\pi2+\pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3} \end{gather*}

Ответ: \(\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}\)

п.8. Замена переменных

При решении уравнений вида \(f(sinx\pm cosx,\ sinxcosx)=0\) используется замена \begin{gather*} t=cosx\pm sinx \end{gather*}

Например:
Решим уравнение \(sinx+cosx=1+sinxcosx\)
Замена: \(t=sinx+cosx\)
Тогда \(t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosx\Rightarrow sinxcosx=\frac{t^2-1}{2}\)
Подставляем: \begin{gather*} t=1+\frac{t^2-1}{2}\Rightarrow 2(t-1)=t^2-1\Rightarrow t^2-2t+1=0\Rightarrow (t-1)^2=0\Rightarrow t=1\\ sinx+cosx=1\ |\ \times \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ sin\frac\pi4 sinx+cos\frac\pi4 cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ cos\left(x-\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x-\frac\pi4=\pm\frac\pi4 + 2\pi k\Rightarrow \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=2\pi k\\ x=\frac\pi2+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(2\pi k,\ \ \frac\pi2+2\pi k\)

п.9. Использование ограничений области значений функций

Уравнения вида \begin{gather*} \underbrace{sinax+sinbx+...+coscx+cosdx+...=m}_{m\ \text{слагаемых}} \end{gather*} может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно 1.
Поэтому решаем систему: \( \begin{cases} sinax=1\\ sinbx=1\\ ...\\ cosdx=1\\ ... \end{cases} \)
Находим пересечение (!) полученных семейств решений и записываем ответ.

Аналогично, уравнение вида \begin{gather*} \underbrace{sinax+sinbx+...+coscx+cosdx+...=-m}_{m\ \text{слагаемых}} \end{gather*} может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно -1.

Например:
Решим уравнение \(sinx+cos4x=2\)
Для этого нужно решить систему: \begin{gather*} \begin{cases} sinx=1\\ cos4x=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac\pi2+2\pi k\\ 4x=2\pi k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac\pi2+2\pi k\\ x=\frac{\pi k}{2} \end{cases} \end{gather*}

Пересечением двух семейств решений будет только \(\frac\pi2+2\pi k\). Поэтому \begin{gather*} \begin{cases} x=\frac\pi2+2\pi k\\ x=\frac{\pi k}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x=\frac\pi2+2\pi k \end{gather*}

Ответ: \(\frac\pi2+2\pi k\)

п.10. Примеры

Пример 1. Используя различные методы, решите уравнения:
a) \(4sin\left(\frac\pi2\right)+5sin^2x=4\)
Приводим уравнение к квадратному:
\(5sin^x+4cosx-4=0\)
\(5(1-cos^2x)+4cosx-4=0\)
\(-5cos^2x+4cosx+1=0\)
\(5cos^2x-4cosx-1=0\)
Замена: \(t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1\) \begin{gather*} 5t^2-4t-1=0\Rightarrow (5t+1)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t_1=-\frac15\\ t_2=1 \end{array} \right. \end{gather*} Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} cosx=-\frac15\\ cosx=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pm arccos\left(-\frac15\right)+2\pi k\\ x=2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(\pm arccos\left(-\frac15\right)+2\pi k,\ \ 2\pi k\)

б) \(6sinxcosx=5cos2x\)
\(6sinxcosx=3\cdot 2sinxcosx=3sin2x\)
Приводим уравнение к однородному 1-й степени:
\(3sin2x=5cos2x\ |\ :\ cos2x\)
\(3tg2x=5\Rightarrow tg2x=\frac53\Rightarrow 2x=arctg\frac53+\pi k\Rightarrow x=\frac12 arctg\frac53+\frac{\pi k}{2}\)
Ответ: \(\frac12 arctg\frac53+\frac{\pi k}{2}\)

в) \(9cos^2x-5sin2x=-sin^2x\)
\(5sin2x=5\cdot 2sinxcosx=10sinxcosx\)
Приводим уравнение к однородному 2-й степени:
\(sin^2x-10sinxcosx+9cos^2x=0\ |:\ cos^2x\)
\(tg^2x-10tgx+9=0\)
Замена: \(t=tgx\) \begin{gather*} t^2-10+9=0\Rightarrow (t-1)(t-9)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t_1=1\\ t_2=9 \end{array} \right. \end{gather*} Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} tgx=1\\ tgx=9 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi4+\pi k\\ x=arctg9+\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(\frac\pi4+\pi k,\ \ arctg9+\pi k\)

г) \(cos3x-1=cos6x\)
Косинус двойного угла: \(cos6x=2cos^2 3x-1\)
Подставляем и раскладываем на множители:
\(cos3x-1=2cos^2 3x-1\)
\(cos3x-2cos^2 3x=0\)
\(cos3x(1-2cos3x)=0\) \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} cos3x=0\\ 1-2cos3x=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} 3x=\frac\pi2+\pi k\\ cos3x=\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}\\ 3x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}\\ x=\pm\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3} \end{array} \right. \end{gather*} Чтобы проверить пересечения, распишем семейства решений через градусы: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}=30^{\circ}+60^{\circ}k={...,-90^{\circ},-30^{\circ},30^{\circ},90^{\circ},150^{\circ},...}\\ x=\pm\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3}= \left[ \begin{array}{l l} -20^{\circ}+120^{\circ}k={...,-140^{\circ},-20^{\circ},100^{\circ},...}\\ 20^{\circ}+120^{\circ}k={...,-100^{\circ},20^{\circ},140^{\circ},...} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{gather*} Семейства не пересекаются.
Ответ: \(\frac\pi6+\frac{\pi k}{3},\ \ \pm\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3}\)

д) \(\sqrt{3}sin2x-cos2x=-\sqrt{3}\)
Разделим на \(p=\sqrt{3+1}\) и введем дополнительный угол:
\(\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac12 cos2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac12cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(cos\left(2x-\frac\pi3\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(2x-\frac\pi3=\pm\frac\pi6+2\pi k\)
\(2x=\frac\pi3\pm\frac\pi6+2\pi k= \left[ \begin{array}{l l} -\frac{\pi}{6}+2\pi k\\ \frac\pi2+2\pi k \end{array} \right. \)
\( \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac{\pi}{12}+\pi k\\ x=\frac\pi4+\pi k \end{array} \right. \) Семейства решений не пересекаются.
Ответ: \(-\frac{\pi}{12}+\pi k,\ \ \frac\pi4+\pi k\)

е) \(cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x\)
Формула понижения степени: \(cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}\)
Подставляем: \begin{gather*} \frac{1+cos2x}{2}+\frac{1+cos4x}{2}=\frac{1+cos6x}{2}+\frac{1+cos8x}{2}\\ cos2x+cos4x=cos6x+cos8x\\ 2cos\frac{2x+4x}{2}cos\frac{2x-4x}{2}=2cos\frac{6x+8x}{2}cos\frac{6x-8x}{2}\ |:\ 2\\ cos3xcosx=cos7xcosx=0\\ cos3xcosx-cos7xcosx=0\\ cosx(cos3x-cos7x)=0\\ cosx\left(-2sin\frac{3x+7x}{2}sin\frac{3x-7x}{2}\right)=0\\ -2cosxsin5xsin(-2x)=0\\ 2cosxsin5xsin2x=0\\ cosxsin5xsin2x=0\\ \left[ \begin{array}{l l} cosx=0\\ sin5x=0\\ sin2x=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi2+\pi k\\ 5x=\pi k\\ 2x=\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac{\pi k}{5}\\ x=\frac{\pi k}{2} \end{array} \right. \end{gather*} Семейство решений \(x=\frac\pi2+\pi k\) (базовые точки 90°, 270° на числовой окружности) является подмножеством для \(x=\frac{\pi k}{2}\) (базовые точки 0°, 90°, 180°, 270°). Поэтому: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac{\pi k}{5}\\ x=\frac{\pi k}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac{\pi k}{5}\\ x=\frac{\pi k}{2} \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(\frac{\pi k}{5},\ \ \frac{\pi k}{2}\)

Пример 2*.Решите уравнения:
a) \begin{gather*} \frac{4}{tgx+3}-\frac{18}{tg^2x-9}+\frac{sinx}{sinx-3cosx}=0 \end{gather*} ОДЗ: \(tgx\ne \pm 3\)
1) Если \(cosx\ne 0\), то последнее слагаемое \(\frac{sinx}{sinx-3cosx}=\frac{\frac{sinx}{cosx}}{\frac{sinx-3cosx}{cosx}}=\frac{tgx}{tgx-3}\)
Получаем: \begin{gather*} \frac{4}{tgx+3}-\frac{18}{tg^2x-9}+\frac{tgx}{tgx-3}=0\\ \frac{4(tgx-3)-18+tgx(tgx+3)}{(tgx+3)(tgx-3)}=0\\ \frac{tg^2x+7tgx-30}{(tgx+3)(tgx-3)}=0\\ \end{gather*} Замена: \(t=tgx\) \begin{gather*} \frac{t^2+7t-30=0}{(t+3)(t-3)}\Rightarrow \begin{cases} t^2+7t-30=0\\ t\ne\pm3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (t+10)(t-3)=0\\ t\ne\pm3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} t=-10\\ t=3 \end{array} \right.\\ t\ne\pm3 \end{cases} \Rightarrow\\ t=-10 \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} tgx=-10\\ x=arctg(-10)+\pi k=-arctg10+\pi k \end{gather*}
2) Проверим, является ли \(cosx=0\) решением.
При \(cosx=0,\ x=\frac\pi2+\pi k,\ tgx\rightarrow\infty\). Первое слагаемое \(\frac{4}{tgx+3}\rightarrow\frac{4}{\infty}\rightarrow 0\)
Второе слагаемое \(\frac{18}{tg^2x-9}\rightarrow\frac{18}{\infty}\rightarrow 0\)
Третье слагаемое \(\frac{sinx}{sinx-3cosx}\rightarrow\frac{1}{1-0}=1\ne 0\)
Сумма слагаемых в пределе \(tgx\rightarrow\infty\) равна \(0+0+1=1\ne 0\)
\(cosx=0\) решением не является.
Ответ: \(-arctg10+\pi k\)

б) \(\frac{3}{cos^2x}+1=7\frac{sinx}{|cosx|}\)
ОДЗ: \(cosx\ne 0,\ x\ne\frac\pi2+\pi k\) \begin{gather*} |cosx|= \begin{cases} cosx,\ -\frac\pi2+2\pi k\leq x\lt \frac\pi2+2\pi k\\ -cosx,\ \frac\pi2+2\pi k\leq x\lt \frac{3\pi2}{2}+2\pi k \end{cases} \end{gather*} 1) Решаем для положительного косинуса (1-я и 4-я четверти) \begin{gather*} \frac{3}{cos^2x}+1=7\frac{sinx}{cosx}\\ 3(1+tg^2x)+1-7tgx=0\\ 3tg^2-7tgx+4=0\\ (3tgx-4)(tgx-1)=0\\ \left[ \begin{array}{l l} tgx=\frac43\\ tgx=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=arctg\frac43+\pi k\\ x=\frac\pi4+\pi k \end{array} \right. \end{gather*}

Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: \(\frac\pi4,\ arctg\frac43,\ \frac{5\pi}{4}\) и \(\pi+arctg\frac43\), которые находятся в 1-й и 3-й четвертях. Выбираем только точки в 1-й четверти: \(\frac\pi4\) и \(arctg\frac43\). Это означает, что в записи решения период будет не \(\pi k\), а \(2\pi k\). \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac\pi4+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*}

2) Решаем для отрицательного косинуса (2-я и 3-я четверти) \begin{gather*} \frac{3}{cos^2x}+1=-7\frac{sinx}{cosx}\\ 3(1+tg^2x)+1+7tgx=0\\ 3tg^2x+7tgx+4=0\\ (3tgx+4)(tgx+1)=0\\ \left[ \begin{array}{l l} tgx=-\frac43\\ tgx=-1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=-arctg\frac43+\pi k\\ x=-\frac\pi4+\pi k \end{array} \right. \end{gather*}

Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: \(-\frac\pi4,\ -arctg\frac43,\ \frac{3\pi}{4}\) и \(\pi-arctg\frac43\), которые находятся в 2-й и 4-й четвертях. Выбираем только точки вo 2-й четверти: \(\frac{3\pi}{4}\) и \(\pi-arctg\frac43\). Это означает, что в записи решения будут выбранные точки с периодом \(2\pi k\). \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=\pi-arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*}

3) Объединяем полученные решения: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac\pi4+2\pi k\\ x=\pi-arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*}

По аналогии с записью арксинуса можно объединить симметричные относительно оси синусов точки: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=arctg\frac43+2\pi k\\ x=\pi-arctg\frac43+2\pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k arctg\frac43+\pi k\\ \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi4+2\pi k\\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k \frac\pi4+\pi k\\ \end{gather*}

Окончательно получаем: \( \left[ \begin{array}{l l} x=(-1)^k arctg\frac43+\pi k\\ x=(-1)^k \frac\pi4+\pi k \end{array} \right. \).
Ответ: \((-1)^k arctg\frac43+\pi k,\ \ (-1)^k \frac\pi4+\pi k\)

в) \(sin^42x+sin^4\left(2x-\frac{3\pi}{4}\right)=\frac14\)
Используем формулу понижения четвертой степени (см. §16 данного справочника): $$ sin^4\alpha=\frac{3-4cos2\alpha+cos4\alpha}{8} $$ Подставляем: \begin{gather*} \frac{3-4cos4x+cos8x}{8}+\frac{3-4cos\left(2\left(2x-\frac{3\pi}{4}\right)\right)+cos\left(4\left(2x-\frac{3\pi}{4}\right)\right)}{8}=\frac14\\ \frac{3-4cos4x+cos8x}{8}+\frac{3-4cos\left(4x-\frac{3\pi}{2}\right)+cos(8x-3\pi)}{8}=\frac14\\ \frac{3-4cos4x+cos8x}{8}+\frac{3+4sin4x-cos8x}{8}=\frac14\\ \frac34+\frac12(sin4x-cos4x)=\frac14\\ sin4x-cos4x=-1\ |\times\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}sin4x-\frac{\sqrt{2}}{2}cos4x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ cos\frac\pi4cos4x-sin\frac\pi4sin4x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ cos\left(4x+\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 4x+\frac\pi4=\pm\frac\pi4+2\pi k\\ 4x=-\frac\pi4\pm\frac\pi4+2\pi k= \left[ \begin{array}{l l} -\frac\pi2+2\pi k\\ 2\pi k \end{array} \right. \\ x= \left[ \begin{array}{l l} -\frac\pi8+\frac{\pi k}{2}\\ \frac{\pi k}{2} \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(-\frac\pi8+\frac{\pi k}{2},\ \ \frac{\pi k}{2}\)

г) \(3sinx-4cosx=5\)
Способ 1. Вводим дополнительный угол:
\(p=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
\(\frac35sinx-\frac45 cosx=1\)
\(sin\alpha=\frac35,\ cos\alpha=\frac45\)
\(sin\alpha sinx-cos\alpha cosx=1\)
\(cos\alpha cosx-sin\alpha sinx=-1\)
\(cos(x+\alpha)=-1\)
\(x+\alpha=\pi+2\pi k\)
\(x=-\alpha+\pi+2\pi k=-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\)

Способ 2. Делаем универсальную подстановку: \begin{gather*} sin\alpha=\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac\alpha2},\ \ cos\alpha=\frac{1-tg^2\frac\alpha2}{1+tg^2\frac\alpha2}\\ 3\cdot \frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}-4\cdot\frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}=5\\ \frac{6tg\frac{x}{2}-4\left(1-tg^2\frac{x}{2}\right)-5\left(1+tg^2\frac{x}{2}\right)}{1+tg^2\frac{x}{2}}=0 \end{gather*} \(1=tg^2\frac{x}{2}\geq 1\), знаменатель никогда не превращается в 0, отбрасываем его и работаем с числителем: \begin{gather*} -tg^2\frac{x}{2}+6tg\frac{x}{2}-9=0\Rightarrow tg^2\frac{x}{2}-6tg\frac{x}{2}+9=0\Rightarrow\left(tg\frac{x}{2}-3\right)^2=0\Rightarrow tg\frac{x}{2}=3\\ \frac{x}{2}=arctg3+\pi k\Rightarrow x= 2arctg3+2\pi k \end{gather*}

Докажем, что полученные ответы: $$ x=-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\ \ \text{и}\ x=2arctg3+2\pi k $$ равнозначны, т.е. \(-arcsin\frac35+\pi=2arctg3\), и равны углы: $$ arcsin\frac35=\pi-2arctg3\ \ (*) $$ Пусть в правой части равенства (*) \(2arctg3=\varphi\). Тогда \(arctg3=\frac\varphi2\) и \(tg\frac\varphi2=3\).
А в левой части равенства (*) \(arcsin\frac35=\alpha\) и \(sin\alpha=\frac35\)
Угол \(0\lt arcsin\frac35\lt \frac\pi2\) расположен в 1-й четверти.
Угол \(\varphi=2arctg3\) расположен во 2-й четверти \((cos\varphi\lt 0,\ sin\varphi\gt 0)\). $$ cos\varphi=\frac{1-tg^2\frac\varphi2}{1+tg^2\frac\varphi2}=\frac{1-3^2}{1+3^2}=-\frac45,\ \ sin\varphi=\frac{2tg\frac\varphi2}{1+tg^2\frac\varphi2}=\frac{2\cdot 3}{1+3^2}=\frac35 $$ Получаем, что для угла \(\alpha:\ sin\alpha=\frac35,\ cos\alpha=\frac45\)
Для угла \(\varphi:\ sin\varphi=\frac35,\ cos\varphi=-\frac45\)
Откуда следует, что \(\alpha=\pi-\varphi\). Что и требовалось доказать.
Ответ: \(-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\) или \(2arctg3+2\pi k\) (т.к. \(-arcsin\frac35+\pi=2arctg3)\)