Общая схема исследования и построения графика функции

п.1. Алгоритм исследования и построения графика функции

1. Найти область определения функции, классифицировать точки разрыва
2. Исследовать функцию на четность и периодичность
3. Провести анализ асимптотического поведения функции (наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот) (см. §41 данного справочника)
4. Взять первую производную. Определить критические точки, интервалы монотонности, точки экстремума
5. Взять вторую производную. Определить критические точки 2-го порядка, интервалы выпуклости и точки перегиба
6. Найти точки пересечения функции с осями координат (если уравнение \(f(x)=0\) не имеет аналитического решения, указать количество точек пересечения с осью OX)
7. Построить график функции

п.2. Примеры

Пример 1. Постройте график функции \(y=2x^3-6x^2-18x+7\)
1) Область определения \(x\in\mathbb{R}\)
Точек разрыва нет

2) Четность \begin{gather*} f(-x)=2(-x)^3-6(-x)^2-18(-x)+7\ne \left[ \begin{array}{l} f(x)\\ -f(x) \end{array} \right. \end{gather*} Функция ни четная, ни нечетная.
Периодичность: функция не периодическая

3) Асимптоты
1. Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные асимптоты: \begin{gather*} b_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}2x^3-6x^2-18x+7=-\infty\\ b_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}2x^3-6x^2-18x+7=+\infty\\ \end{gather*} Пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
3. Наклонные асимптоты: \begin{gather*} k_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^3-6x^2-18x+7}{x}=+\infty\\ k_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x^3-6x^2-18x+7}{x}=+\infty\\ \end{gather*} Пределы бесконечны, наклонных асимптот нет.

4) Первая производная \begin{gather*} f'(x)=2\cdot 3x^2-6\cdot 2x-18\cdot 1+0=6x^2-12x-18=6(x^2-2x-3)=\\ =6(x-3)(x+1)\\ f'(x)=0\ \text{при}\ \left[ \begin{array}{l} x=3\\ x=-1 \end{array} \right. \end{gather*} Критические точки: \(x=-1\) и \(x=3\)
Составляем таблицу:

Функция возрастает при \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\)
Функция убывает при \(x\in(-1;3)\)
Точка максимума \(x=-1;\ y_{max}=f(-1)=-2-6+18+7=17\)
Точка минимума \(x=3;\ y_{min}=f(3)=54-54-54+7=-47\)

5) Вторая производная: \begin{gather*} f''(x)=(6x^2-12x-18)'=6\cdot 2x-12\cdot 1-0=12x-12=12(x-1)\\ f''(x)=0\ \text{при}\ x=1 \end{gather*} Критическая точка 2-го порядка: \(x=1\)
Составляем таблицу:

Функция выпуклая вверх при \(x\in(-\infty;1)\)
Функция выпуклая вниз при \(x\in(1;+\infty)\)
Точка перегиба \(x=1;\ f(1)=2-6-18+7=-15\)

6) Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью OY: \(x=0,\ y=7\)
Пересечение с осью OX: $$ 2x^3-6x^2-18x+7=0 $$ У кубической параболы точка максимума (-1;17), точка минимума (3;-47).
Т.к. \(y_{max}\gt 0,\ y_{min}\lt 0\) кубическая парабола пересекает ось OX в трех точках: $$ x_1\lt -1,\ \ -1\lt x_2\lt 3,\ \ x_3\gt 3 $$
7) График

Пример 2. Постройте график функции \(y=\frac3x+\frac x3\)
1) Область определения
ОДЗ: \(x\ne 0\)
\(x=0\) - точка разрыва. Исследуем односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -0}\left(\frac 3x+\frac x3\right)=\frac{3}{-0}+0=-\infty,\ \ \lim_{x\rightarrow +0}\left(\frac 3x+\frac x3\right)=\frac{3}{+0}+0=+\infty \end{gather*} Пределы не равны и бесконечны. \(x=0\) - точка разрыва 2-го рода.

2) Четность $$ f(-x)=\frac{3}{-x}+\frac{-x}{3}=-\left(\frac 3x+\frac x3\right)=-f(x) $$ Функция нечётная.
Периодов нет. Функция не периодическая.

3) Асимптоты
1. Вертикальная асимптота \(x=0\) – точка разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные асимптоты \begin{gather*} b_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac 3x+\frac x3\right)=0+(-\infty)=-\infty\\ b_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac 3x+\frac x3\right)=0+(+\infty)=+\infty \end{gather*} Пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
3. Наклонные асимптоты: \begin{gather*} k_1=\frac1x \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac 3x+\frac x3\right)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\left({3}{x^2}+\frac13\right)=0+\frac13=\frac13\\ k_1=\frac1x \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac 3x+\frac x3\right)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left({3}{x^2}+\frac13\right)=0+\frac13=\frac13\\ k=k_1=k_2=\frac13 \end{gather*} Ищем b: $$ b=\lim_{x\rightarrow \infty}(y-kx)=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac3x+\frac x3-\frac x3\right)=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac 3x=0 $$ Есть одна наклонная асимптота \(y=\frac 3x\)
Кривая стремится к ней на минус и плюс бесконечности.

4) Первая производная: \begin{gather*} f'(x)=-\frac{3}{x^2}+\frac13=\frac{x^2-9}{3x^2}=\frac{(x+3)(x-3)}{3x^2}\\ f'(x)=0\ \text{при}\ x=\pm 3 \end{gather*} Критические точки: \(x=\left\{0;\pm 3\right\}\)
Составляем таблицу:

Функция возрастает при \(x\in(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)\)
Функция убывает при \(x\in(-3;0)\cup(0;3)\)
Точка максимума \(x=-3;\ y_{max}=f(-3)=-1-1=-2\)
Точка минимума \(x=3;\ y_{min}=f(3)=1+1=2\)

5) Вторая производная: \begin{gather*} f''(x)=\frac13\left(1-\frac{9}{x^2}\right)'=\frac13\left(0+\frac{9\cdot 2}{x^3}\right)=\frac{6}{x^3} \end{gather*} Вторая производная нулей не имеет.
Критическая точка 2-го порядка: \(x=0\)
Составляем таблицу:

Функция выпуклая вверх при \(x\in(-\infty;0)\)
Функция выпуклая вниз при \(x\in(0;+\infty)\)
Точек перегиба нет.

6) Точки пересечения с осями
Пересечение с осью OY: \(x=0\notin D\) - не входит в ОДЗ, пересечений с OY нет
Пересечение с осью OX:
\(\frac3x+\frac x3=0\Rightarrow \frac{9+x^2}{3x}=0\Rightarrow x\in \varnothing\) - решений нет, пересечений с OX нет

7) График

Пример 3*. Постройте график функции \(y=\frac{x^3-4}{(x-1)^3}\)
Сколько корней имеет уравнение \(\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=a\)?

1) Область определения
ОДЗ: \(x\ne 1\)
\(x=1\) - точка разрыва. Исследуем односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=\frac{1-4}{(1-0-1)^3}=\frac{-3}{-0}=+\infty\\ \lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=\frac{1-4}{(1+0-1)^3}=\frac{-3}{+0}=-\infty \end{gather*} Пределы не равны и бесконечны. \(x=1\) - точка разрыва 2-го рода.

2) Четность $$ f(-x)=\frac{(-x)^3-4}{(-x-1)^3}\ne \left[ \begin{array}{l} f(x)\\ -f(x) \end{array} \right. $$ Функция ни четная, ни нечетная.
Периодичность: функция не периодическая

3) Асимптоты
1. Вертикальная асимптота \(x=1\) – точка разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные асимптоты \begin{gather*} b_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^3\left(1-\frac{4}{x^3}\right)}{x^3\left(1-\frac{1}{x^3}^3\right)}=\frac{1-0}{(1-0)^3}=1\\ b_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^3\left(1-\frac{4}{x^3}\right)}{x^3\left(1-\frac{1}{x^3}^3\right)}=\frac{1-0}{(1-0)^3}=1\\ b=b_1=b_2=1 \end{gather*} Одна горизонтальная асимптота: \(y=1\)
Функция стремится к ней на минус и плюс бесконечности.

3. Наклонные асимптоты: \begin{gather*} k_1=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^3-4}{x(x-1)^3}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^4\left(\frac1x-\frac{4}{x^4}\right)}{x^4\left(1-\frac{1}{x^3}^3\right)}=\frac{0-0}{(1-0)^3}=0 \end{gather*} Угловой коэффициент \(k=0\). Наклонных асимптот нет.

4) Первая производная: \begin{gather*} f'(x)=\left(\frac{x^3-4}{(x-1)^3}\right)'=\frac{3x^2(x-1)^3-(x^3-4)\cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6}=\frac{3x^2(x-1)-3(x^3-4)}{(x-1)^4}=\\ =\frac{3x^3-3x^2-3x^3+12}{(x-1)^4}=\frac{-3(x^2-4)}{(x-1)^4}=\frac{-3(x-2)(x+2)}{(x-1)^4}\\ f'(x)=0\ \text{при}\ x=\pm 2 \end{gather*} Критические точки: \(x=\left\{1;\pm 2\right\}\)
Составляем таблицу:

Функция возрастает при \(x\in(-2;1)\cup(1;2)\)
Функция убывает при \(x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)\)
Точка максимума \(x=2;\ y_{max}=f(2)=\frac{2^3-4}{(2-1)^3}=4\)
Точка минимума \(x=-2;\ y_{min}=f(-2)=\frac{(-2)^3-4}{(-2-1)^3}=\frac{-12}{-27}=\frac49\)

5) Вторая производная: \begin{gather*} f''(x)=\left(\frac{-3(x^2-4)}{(x-1)^4}\right)'=-3\left(\frac{2x(x-1)^4-(x^2-4)\cdot 4(x-1)^3}{(x-1)^8}\right)=\\ =-3\left(\frac{2x(x-1)-4(x^2-4)}{(x-1)^5}\right)=-3\left(\frac{2x^2-2x-4x^2+16}{(x-1)^5}\right)=\\ =-3\left(\frac{-2x^2-2x+16}{(x-1)^5}\right)=\frac{6(x^2+x-8)}{(x-1)^5}=\frac{6(x-x_1)(x-x_2)}{(x-1)^5}\\ D=1^2-4\cdot (-8)=33,\ \ x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{33}}{2}= \left[ \begin{array}{l} \approx -3,37\\ \approx 2,37 \end{array} \right.\\ f''(x)=0,\ \text{при}\ x=x_{1,2} \end{gather*} Критические точки 2-го порядка: \(x=\left\{1;\frac{-1\pm \sqrt{33}}{2}\right\}\)

Функция выпуклая вверх при \(x\in(-\infty;x_1)\cup(1;x_2)\)
Функция выпуклая вниз при \(x\in(x_1;1)\cup (x_2;++\infty)\)
Точки перегиба: $$ \begin{cases} x=\frac{-1-\sqrt{33}}{2}\approx -3,37\\ y\approx 0,51 \end{cases},\ \ \begin{cases} x=\frac{-1+\sqrt{33}}{2}\approx 2,37\\ y\approx 3,62 \end{cases} $$
6) Точки пересечения с осями
Пересечение с OY: \(x=0,\ y=\frac{0^3-4}{(0-1)^3}=4\)
Пересечение с осью OX:
\(\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{4},\ y=0\)

7) График


Чтобы узнать количество корней уравнения \(\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=a\), нужно снизу вверх двигать горизонталь \(y=a\) и считать количество точек её пересечения с графиком функции.
Последовательно, получаем:
\(a\lt\frac{12}{27}\) - один корень
\(a=\frac49\) – два корня
\(\frac49\lt a\lt 1\) - три корня
\(a=1\) – два корня
\(1\lt a\lt 4\) – три корня
\(a=4\) - два корня
\(a\gt 4\) - один корень

Ответ:
\(a\lt\frac49\cup a\gt 4\), один корень
\(a=\left\{\frac49;1;4\right\}\), два корня
\(\frac{12}{27}\lt 1\lt 1\cup 1\lt a\lt 4\), три корня

Пример 4*. Постройте график функции \(y=sin^4⁡x+cos^4⁡x\), используя правила преобразования тригонометрических функций и с помощью стандартной процедуры исследования функции

1) Область определения \(x\in\mathbb{R}\)

2) Четность $$ f(-x)=sin^4(-x)+cos^4(-x)=sin^4x+cos^4x=f(x) $$ Функция четная.

Чтобы найти период, преобразуем тригонометрическое выражение, применяя формулы понижения степени (см. §15 данного справочника): \begin{gather*} sin^4x+cos^4x=\left(\frac{1-cos2x}{2}\right)^2+\left(\frac{1+cos2x}{2}\right)^2=\\ =\frac14(1-2cos2x+cos^2 2x+1+2cos2x+cos^2 2x)=\frac{1+cos^2 2x}{2}=\\ =\frac12\left(1+\frac{1+cos4x}{2}\right)=\frac{3+cos4x}{4} \end{gather*} Функция периодическая с периодом \(T=\frac{2\pi}{4}=\frac \pi 2\)
Исходя из полученного выражения и применяя правила преобразования графиков тригонометрических функций (см. §8 данного справочника), можно сразу получить результат. $$ y=\frac{3+cos4x}{4}=\frac34+\frac14 cos4x $$ Цепочка преобразований: $$ x \xrightarrow1 4x\xrightarrow2 cos4x \xrightarrow3 \frac14\xrightarrow4 \frac34+\frac14 cos4x $$ Пошагово получаем:
1. Умножение аргумента на 4 приводит к уменьшению периода в 4 раза \(T=\frac\pi 2\)
2. Косинус – функция четная, при \(x=0,\ cos⁡4x=1\), остальные единицы будут через период: \(x=\frac{\pi k}{2},\ cos⁡4x=1\). Соответственно: \(x=\frac\pi 4+\frac{\pi k}{2}0\ ,cos⁡4x=-1\).
Нули функции: \(x=\frac\pi 8+\frac{\pi k}{4},\ cos⁡4x=0\).
3. Умножение на \(\frac14\) уменьшает амплитуду косинусоиды в 4 раза: \(-\frac14\leq\frac14 cos4x\leq \frac14\)
4. Прибавление \(\frac34\) перемещает график на \(\frac34\) вверх: \(\frac12\leq\frac34+\frac14 cos4x\leq 1\)

Получаем график:

Продолжим стандартное исследование функции.

3) Асимптоты
1. Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва 2-го рода.
2. Горизонтальных асимптот нет, т.к. нет пределов на бесконечности.
3. Наклонных асимптот нет, т.к. на бесконечности отношение ограниченной тригонометрической функции к бесконечному x дает \(k=0\).

4) Первая производная:
Исследуем промежуток, равный одному периоду \(T=\frac\pi 2,\ 0\leq x\leq\frac\pi 2\) \begin{gather*} f'(x)=(sin^4 x+cos^4 x)'=\left(\frac{3+cos4x}{4}\right)'=0-\frac14\cdot 4\cdot sin4x=-sin4x\\ sin4x=0\Rightarrow 4x=\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi k}{4} \end{gather*} Критические точки: \(x=\frac{\pi k}{4}\). На периоде \(T=\frac\pi 2\) получаем три точки \(x=\left\{0;\frac\pi 4;\frac\pi 2\right\}\)

Функция убывает при \(x\in\left(\frac{\pi k}{2};\frac\pi 4+\frac{\pi k}{2}\right)\)
Функция возрастает при \(x\in\left(\frac\pi 4+\frac{\pi k}{2};\frac\pi 2+\frac{\pi k}{2}\right)\)
Точки минимума \(x=\frac\pi 4+\frac{\pi k}{2};\ y_{min}=\frac12\)
Точки максимума \(x=\frac{\pi k}{2};\ y_{max}=1\)

5) Вторая производная: \begin{gather*} f''(x)=(-sin4x)'=-4cos4x\\ cos4x=0\Rightarrow 4x=\frac\pi 2+\pi k\Rightarrow x=\frac\pi 8+\frac{\pi k}{4} \end{gather*} Критические точки 2-го порядка: \(x=\frac\pi 8+\frac{\pi k}{4}\).
На периоде \(T=\frac\pi 2\) получаем две точки \(x=\left\{\frac\pi 8;\frac{3\pi}{8}\right\}\)

Функция выпуклая вниз при \(x\in\left(\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2};\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}\right)\)
Функция выпуклая вверх при \(x\in\left(-\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2};\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2}\right)\)
Точки перегиба: \( x=\frac\pi 8+\frac{\pi k}{4},\ y=\frac{3+cos4\cdot \left(\frac\pi 8+\frac{\pi k}{4}\right)}{4}=\frac{3+0}{4}=\frac34 \)

6) Точки пересечения с осями
Пересечение с OY: \(x=0,\ y_{max}=1\)
Пересечение с осью OX: т.к. функция ограничена \(\frac12\leq y\leq 1\), пересечений с OX нет.

7) График

График тот же, что и полученный с помощью правил преобразований графиков тригонометрических функций. Добавились только точки перегиба.