Непрерывные распределения вероятностей и их параметры
п.1. Общие свойства непрерывного распределения
Функция \(p(x)\) от значения случайной величины, равная вероятности получения этого значения в испытании, называется плотностью распределения.
Свойства плотности распределения: \begin{gather*} p(x)\geq 0\\ \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)dx=1\ \text{(условие нормировки)} \end{gather*}
Например:
Пусть случайная величина равномерно распределена на отрезке \(x\in [a;b]\), т.е. \(p(x)=c=const\). Из условия нормировки получаем: $$ \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)dx=\int_{a}^{b}c\cdot dx=c\cdot x|_{a}^{b}=c(b-a)=1\Rightarrow c=\frac{1}{b-a} $$ Плотность равномерного непрерывного распределения: $$ p(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a},\ x\in [a;b]\\ 0,\ x\notin [a;b] \end{cases} $$
п.2. Функция распределения непрерывной случайной величины
Для непрерывной случайной величины график \(F(x)\) является монотонно возрастающей гладкой кривой. Область значений \(F(x)\in [0;1]\).
Предел \(F(x)\) слева равен 0, предел справа равен 1: $$ \lim_{x\rightarrow -\infty}F(x)=0;\ \ \lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)=1 $$ Например:
Найдем функцию распределения для равномерного распределения с плотностью: $$ p(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a},\ x\in [a;b]\\ 0,\ x\notin [a;b] \end{cases} $$ Для всех \(x\lt a\) $$ F(x)=\int_{-\infty}^a p(x)dx=\int_{-\infty}^a\cdot dx=0 $$ Для всех \(a\leq x\leq b\) \begin{gather*} F(t)=0+\int_{a}^t p(x)dx=\int_{a}^t\frac{1}{b-a}\cdot dx=\frac{1}{b-a}\cdot x|_{a}^t=\frac{t-a}{b-a}\\ F(x)=\frac{x-a}{b-a} \end{gather*} Для всех \(x\gt b\) \begin{gather*} F(x)=F(b)+\int_{b}^{+\infty} p(x)dx=1+0=1 \end{gather*} Получаем: $$ F(x)= \begin{cases} 0,\ x\lt a\\ \frac{x-a}{b-a},\ x\in [a;b]\\ 1,\ x\gt b \end{cases} $$ Графики плотности распределения и функции распределения для равномерно распределенной непрерывной величины: 
п.3. Числовые характеристики непрерывного распределения
Числовыми характеристиками непрерывного распределения являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО).
Если для дискретных распределений числовые характеристики определяются через суммы (см. §62 данного справочника), то для непрерывных распределений для этого используются интегралы.
Например:
Найдем числовые характеристики равномерного распределения. $$ p(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a},\ x\in [a;b]\\ 0,\ x\notin [a;b] \end{cases} $$ Мат. ожидание: \begin{gather*} M(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot p(x)dx=\int_{a}^{b} x\cdot\frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{x^2}{2}|_{a}^{b}=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\\ =\frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2} \end{gather*} Т.е., среднее значение (центр тяжести) равномерного распределения – это середина отрезка.
Дисперсия: \begin{gather*} D(x)=D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2\cdot p(x)dx-M^2(x)=D(X)=\int_{a}^{b}x^2\cdot\frac{1}{b-a}dx-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\\ =\frac{1}{b-a}\cdot\frac{x^3}{3}|_{a}^{b}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}-\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}-\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}=\\ =\frac{a^2-2ab+b^2}{12}=\frac{(b-a)^2}{12} \end{gather*} СКО: $$ \sigma(x)=\sqrt{D(x)}=\frac{b-a}{2\sqrt{3}} $$
п.4. Таблица непрерывных распределений, их параметров и числовых характеристик
| Название | Принятое обозначение |
Плотность распределения |
Мат. ожидание |
Дисперсия |
| Непрерывное равномерное | \(U(a,b)\) | \begin{gather*} p(x)=\frac{1}{b-a}\\ x\in\left[a;b\right] \end{gather*} | \(\frac{a+b}{2}\) | \(\frac{(b-a)^2}{12}\) |
| Нормальное (Гаусса) | \(N(\mu,\sigma^2)\) | \begin{gather*} p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\\ x\in\mathbb{R} \end{gather*} | \(\mu\) | \(\sigma^2\) |
| Экспоненциальное | \(Exp(\lambda)\) | \begin{gather*} p(x)=\lambda e^{-\lambda x}\\ \lambda\gt 0,\ x\geq 0 \end{gather*} | \(\frac1\lambda\) | \(\frac{1}{\lambda^2}\) |
п.5. Примеры
Пример 1. Непрерывная случайная величина x задана плотностью распределения: $$ p(x)= \begin{cases} Ax^2,\ x\in [0;2]\\ 0,\ x\notin [0;2] \end{cases} $$ Найдите множитель A, функцию распределения, мат. ожидание, дисперсию и СКО случайной величины x. Постройте графики плотности распределения и функции распределения. Чему равна вероятность, что случайная величина окажется в интервале \(\frac12\leq x\leq 1\)?
Находим множитель A из условия нормировки: \begin{gather*} \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)dx=\int_{0}^{2}Ax^2dx=1\\ A\cdot\frac{x^3}{3}|_{0}^{2}=\frac{A}{3}(2^3-0)=\frac{8A}{3}=1\Rightarrow A=\frac38\\ p(x)= \begin{cases} \frac38 x^2,\ x\in [0;2]\\ 0,\ x\notin [0;2] \end{cases} \end{gather*} График плотности распределения:
Функция распределения \(F(x)\) для \(x\lt 0\) равна 0, для \(x\gt 2\) равна 1.
Найдем \(F(x)\) в интервале \(x\in\left[0;2\right]\): \begin{gather*} F(t)=\int_{0}^{t}p(x)dx=\frac38\int_{0}^{t}x^2dx=\frac38\cdot\frac{x^3}{3}|_{0}^{t}=\frac{t^3}{8}\Rightarrow F(x)=\frac{x^3}{8}\\ F(x)= \begin{cases} 0,\ x\lt 0\\ \frac{x^3}{8},\ x\in [0;2]\\ 1,\ x\gt 2 \end{cases} \end{gather*} График функции распределения:
Найдем математическое ожидание: \begin{gather*} M(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot p(x)dx=\int_{0}^{2}x\cdot\frac38 x^2dx=\frac38\int_{0}^{2}x^3dx=\frac38\cdot\frac{x^4}{4}|_{0}^{2}=\frac{3}{32}\cdot 2^4=1,5 \end{gather*} Найдем дисперсию: \begin{gather*} D(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2\cdot p(x)dx-M^2(x)=\int_{0}^{2}x^2\cdot\frac38 x^2dx-1,5^2=\frac38\int_{0}^{2}x^4dx-1,5^2=\\ =\frac38\cdot\frac{x^5}{5}|_{0}^{2}-1,5^2=\frac{3}{40}\cdot 2^5-1,5^2=2,4-2,25=0,15 \end{gather*} Найдем СКО: $$ \sigma(x)=\sqrt{D(x)}=\sqrt{0,15}\approx 0,387 $$ Вероятность для x оказаться в интервале \(\frac12\leq x\leq 1\) равна: $$ P\left(\frac12\leq x\leq 1\right)=F(1)-F\left(\frac12\right)=\frac{1^3}{8}-\frac{\left(\frac12\right)^3}{8}=\frac{7}{64} $$
Пример 2. Непрерывная случайная величина x задана функцией распределения: $$ F(x)= \begin{cases} 0,\ x\lt c\\ \frac{(x+2)^2}{4},\ c\leq x\leq d\\ 1,\ x\gt d \end{cases} $$ Найдите границы интервала c и d, плотность распределения, мат. ожидание, дисперсию и СКО случайной величины x. Постройте графики плотности распределения и функции распределения. Чему равна вероятность, что случайная величина окажется в интервале \(-1\leq x\leq -\frac12\)
Границы интервала ищем из условий: \begin{gather*} F(c)=\frac{(c+2)^2}{4}=0\Rightarrow c=-2\\ F(d)=\frac{(d+2)^2}{4}=1\Rightarrow d=0 \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} F(x)= \begin{cases} 0,\ x\lt -2\\ \frac{(x+2)^2}{4},\ -2\leq x\leq 0\\ 1,\ x\gt 0 \end{cases} \end{gather*} График функции распределения:
Плотность распределения равна производной от функции распределения: $$ p(x)=F'(x) $$ Для \(x\lt -2\cup x\gt 0\) получим \(p(x)=0\), т.к. производная от постоянной равна 0.
На значащем интервале: $$ p(x)=\left(\frac{(x+2)^2}{4}\right)=\frac{2(x+2)}{4}=\frac{x+2}{2} $$ Получаем: \begin{gather*} p(x)= \begin{cases} \frac{x+2}{2},\ -2\leq x\leq 0\\ 0,\ x\lt -2\cup x\gt 0 \end{cases} \end{gather*} График плотности распределения:
Найдем математическое ожидание: \begin{gather*} M(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot p(x)dx=\int_{-2}^{0}x\cdot\frac{x+2}{2}dx=\frac12\int_{-2}^{0}(x^2+2x)dx=\frac12\cdot\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)|_{-2}^{0}=\\ =\frac12\left(0-\left(\frac{-8}{3}+4\right)\right)=-\frac23 \end{gather*} Найдем дисперсию: \begin{gather*} D(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2\cdot p(x)dx-M^2(x)=\int_{-2}^{0}x^2\cdot\frac{x+2}{2}dx-\left(-\frac23\right)^2=\\ =\frac12\int_{-2}^{0}(x^3+2x^2)dx-\frac49=\frac12\cdot\left(\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}\right)|_{-2}^{0}-\frac49=\frac12\left(0-\left(\frac{16}{4}-\frac{2\cdot 8}{3}\right)\right)-\frac49=\\ =\frac23-\frac49=\frac29 \end{gather*} Найдем СКО: $$ \sigma(x)=\sqrt{D(x)}=\frac{\sqrt{2}}{3} $$ Вероятность для x оказаться в интервале \(-1\leq x\leq -\frac12\) равна: $$ P\left(-1\leq x\leq -\frac12\right)=F\left(-\frac12\right)-F(-1)=\frac{\left(-\frac12+2\right)^2}{4}-\frac{(-1+2)^2}{4}=\frac{1,5^2-1^2}{4}=\frac{9}{16} $$
