Непрерывность функции и точки разрыва
п.1. Приращение аргумента и приращение функции
Приращением функции называют соответствующую разность $$ \triangle y=f(x)-f(x_0) $$ Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.
Например:
 |
Пусть \(y=3x-1\) \(x_0=1,\ x=1,1 \) Тогда \begin{gather*} \triangle x=x-x_0=0,1\\ \triangle y=(3x-1)-(3x_0-1)=\\ =3(x-x_0 )=3\triangle x=0,3 \end{gather*} В данном случае приращение функции всегда в 3 три раза больше приращения аргумента. Чем меньше будет \(\triangle x\), тем меньшим будет \(\triangle y\). Если записать через предел: $$ \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\triangle y=0 $$ |
п.2. Непрерывность функции в точке и на промежутке
На «языке ε-δ» определение непрерывности будет следующим:
ε-δ определение непрерывности похоже на ε-δ определение предела функции, с той разницей, что модуль \(|x-x_0|\) может быть равен 0 для непрерывной функции, т.е. сама точка \(x_0\) входит в δ-окрестность.
Проанализируем предел приращения функции: \begin{gather*} \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\triangle y= \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(f(x)-f(x_0)\right)= \lim_{\triangle x\rightarrow 0}f(x)-\lim_{\triangle x\rightarrow 0}f(x_0)=\\ =\lim_{\triangle x\rightarrow 0}f(x)-f(x_0) \end{gather*} т.к. \(f(x_0)\) - величина постоянная и от \(\triangle x\) не зависит.
Для непрерывной функции: $$ \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\triangle y =0 \Leftrightarrow \lim_{\triangle x\rightarrow 0}f(x)-f(x_0)=0\Leftrightarrow \lim_{\triangle x\rightarrow 0}f(x)=f(x_0) $$ Учитывая, что \(\triangle x\rightarrow 0\Leftrightarrow x-x_0\rightarrow 0\Leftrightarrow x\rightarrow x_0\)
получаем \(\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0).\)
Все три представленных определения непрерывности функции в точке эквивалентны.
Существуют и другие эквивалентные определения. Мы дадим ещё одно из них дальше, в этом же параграфе.
п.3. Непрерывность функции на промежутке
Промежуток – это интервал, отрезок, луч и т.п. (см. §16 справочника для 8 класса).
График непрерывной функции – это непрерывная линия.
Кроме непрерывности, эта линия еще и «плавная», без «заломов».
При наличии заломов функция называется кусочно-непрерывной.
 Непрерывная функция |
 Кусочно-непрерывная функция |
п.4. Односторонние пределы
Обозначение односторонних пределов: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow x_0 -0}f(x)=a -\ \text{левый предел}\\ \lim_{x\rightarrow x_0 +0}f(x)=b -\ \text{правый предел} \end{gather*}
Рассмотрим гиперболу \(y=\frac{1}{x-2}\).
 |
У этой гиперболы две асимптоты \(y=0\) и \(x=2\). Точка \(x_0=2\) не входит в область определения. Если мы будем приближаться к \(x_0=2\) слева, начав, например с 1,5, мы будем постепенно опускаться по ветке гиперболы на минус бесконечность. Т.е., левый предел: $$ \lim_{x\rightarrow 2-0}\frac{1}{x-2}=-\infty $$ |
Если же мы будем приближаться к \(x_0=2\) справа, начав, например с 2,5, мы будем постепенно подниматься по ветке гиперболы на плюс бесконечность. Т.е., правый предел: $$ \lim_{x\rightarrow 2+0}\frac{1}{x-2}=+\infty $$ Левый и правый пределы в точке \(x_0=2\) для данной гиперболы не равны: $$ \lim_{x\rightarrow 2-0}\frac{1}{x-2} \ne \lim_{x\rightarrow 2+0}\frac{1}{x-2} $$
Теперь рассмотрим параболу \(y=x^2-2\)
Областью определения параболы является вся числовая прямая \(x\in\mathbb{R}\)
 |
В этом случае, если приближаться к \(x_0=2\) слева, мы получаем: $$ \lim_{x\rightarrow 2-0}(x^2-2)=2 $$ И если приближаться \(x_0=2\) справа, мы тоже получаем: $$ \lim_{x\rightarrow 2+0}(x^2-2)=2 $$ Левый и правый пределы равны: $$ \lim_{x\rightarrow 2-0}(x^2-2) =\lim_{x\rightarrow 2+0}(x^2-2) $$ |
1) точка \(x_0\) принадлежит области определения функции \(x\in D\);
2) левый и правый пределы в точке \(x_0\) равны и конечны: $$ \lim_{x\rightarrow x_0 -0}f(x) =\lim_{x\rightarrow x_0 +0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=a\ne\infty $$ 3) предел функции в точке \(x_0\) равен значению функции в этой точке: $$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) $$
Это еще одно определение непрерывности, которым удобно пользоваться на практике.
п.5. Классификация точек разрыва
1) точка \(x_0\) не принадлежит области определения функции \(x\notin D\);
2) левый и правый пределы в точке \(x_0\) не равны или бесконечны: $$ \lim_{x\rightarrow x_0 -0}f(x) \ne\lim_{x\rightarrow x_0 +0}f(x)\ \text{или}\ \lim_{x\rightarrow x_0 -0}f(x) =\lim_{x\rightarrow x_0 +0}f(x)=\pm\infty $$ 3) предел функции в точке \(x_0\) не совпадает со значением функции в этой точке: $$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\ne f(x_0) $$
| Точки разрыва | 1-го рода Односторонние пределы существуют и конечны |
Устранимые Односторонние пределы равны между собой, но не равны \(f(x_0)\) |
| Неустранимые (скачок) Односторонние пределы не равны между собой |
||
| 2-го рода Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует |
п.6. Точки разрыва первого рода
Устранимые точки разрыва 1-го рода
Левый и правый пределы в точке \(x_0\) равны и конечны: $$ \lim_{x\rightarrow x_0 -0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0 +0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=a\ne\infty $$ НО:
либо точка \(x_0\) НЕ принадлежит области определения функции \(x\notin D\);
либо предел НЕ равен значению функции в точке \(x_0\): \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\ne f(x_0)\)
Например:
 |
\(y=\frac{x^2-4}{x-2}, x_0=2\) Эта функция эквивалентна системе $$ y=\frac{x^2-4}{x-2} \Leftrightarrow \begin{cases} y=x+2\\ x\ne 2 \end{cases} $$ При этом \(\lim_{x\rightarrow 2-0}(x+2)=\lim_{x\rightarrow 2+0}(x+2)=4\) В точке \(x_0=2\notin D\) функция имеет устранимый разрыв. |
Разрыв можно устранить (функцию можно «склеить»), отдельно задав «гладкое» значение в особой точке: $$ y= \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2},\ x\ne 2\\ 4,\ \ x=2 \end{cases} $$ В таком случае система станет эквивалентна всей прямой, т.е. станет непрерывной функцией: $$ y= \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2},\ x\ne 2\\ 4,\ \ x=2 \end{cases} \Leftrightarrow y=x+2 $$
Неустранимые точки разрыва 2-го рода (скачок)
Левый и правый пределы в точке \(x_0\) конечны, но не равны: $$ \begin{cases} \lim_{x\rightarrow x_0 -0}f(x)=a\ne\infty\\ \lim_{x\rightarrow x_0 +0}f(x)=b\ne\infty\\ a\ne b \end{cases} $$ Такой разрыв также называют скачком.
Величина скачка рассчитывается по формуле: $$ \triangle y=\lim_{x\rightarrow x_0 +0}f(x)- \lim_{x\rightarrow x_0 -0}f(x)=b-a $$
Например:
 |
\(y= \begin{cases} x+1,\ x\lt 2\\ 3-x^2,\ x\geq 2 \end{cases} , x_0=2\) Односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 2-0}f(x)= \lim_{x\rightarrow 2-0}(x+1)=3\\ \lim_{x\rightarrow 2+0}f(x)= \lim_{x\rightarrow 2+0}(3-x^2)=-1 \end{gather*} Пределы не равны, но конечны. Функция в точке \(x_0=2\) делает скачок вниз. Величина скачка: $$ \triangle y=-1-3=-4 $$ |
п.7. Точки разрыва второго рода
В точках разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.
Например:
 |
\(y=e^\frac1x, x_0=0\) \(x_0=0\ne D\) - точка не входит в ОДЗ Односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -0}e^\frac1x=e^{\frac{1}{-0}}=e^{-\infty}=0\\ \lim_{x\rightarrow +0}e^\frac1x=e^{\frac{1}{+0}}=e^{+\infty}=+\infty \end{gather*} Пределы не равны между собой, и один и них бесконечен. Точка \(x_0=0\) – точка разрыва второго рода. |
На практике, при моделировании реальных процессов, разрывы 2-го рода в функциональных зависимостях встречаются довольно часто. Их положено заботливо анализировать и тщательно обходить, выбирая рабочие участки характеристических кривых, – чтобы «система не пошла в разнос».
п.8. Алгоритм исследования функции на непрерывность
На входе: функция \(y=f(x)\)
Шаг 1. Найти ОДЗ функции, определить точки и промежутки, не принадлежащие ОДЗ.
Шаг 2. Составить множество точек, в которое входят точки и границы промежутков, не принадлежащие ОДЗ, а также – для кусочно-непрерывных функций – точки сшивания. Полученное множество состоит из точек, подозрительных на разрыв.
Шаг 3. Исследовать каждую из точек, подозрительных на разрыв, с помощью односторонних пределов. Если разрыв обнаружен, определить тип разрыва.
На выходе: список точек разрыва и тип разрыва для каждой точки.
п.9. Примеры
Пример 1. Исследуйте функцию на непрерывность:
a) \( y=\frac{x+3}{x-1} \)
ОДЗ: \(x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1\)
\(x_0=1\notin D\) - точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Найдем односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{x+3}{x-1}=\frac{1-0+3}{1-0-1}=\frac{4}{-0}=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{x+3}{x-1}=\frac{1+0+3}{1+0-1}=\frac{4}{+0}=+\infty \end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка \(x_0=1\) - точка разрыва 2-го рода.
б) \( y=\frac{x}{\sqrt{x+2}-2} \)
ОДЗ: \( \begin{cases} x+2\geq 0\\ \sqrt{x+2}-2\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\geq -2\\ \sqrt{x+2}\ne 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\geq -2\\ x\ne 2 \end{cases} \)
\(x_0=-2\) - левая граница ОДЗ
\(x_1=2\notin D\)- точка не входит в ОДЗ
Точки \(x_0\) и \(x_1\) - подозрительные на разрыв
Исследуем \(x_0=-2\). Найдем односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 2-0}\frac{x}{\sqrt{x+2}-2} - \text{предел не существует}\\ \lim_{x\rightarrow 2+0}\frac{x}{\sqrt{x+2}-2}=\frac{-2+0}{\sqrt{-2+0+2}-2}=\frac{-2}{-2}=1 \end{gather*} Один из односторонних пределов не существует.
Точка \(x_0=-2\) - точка разрыва 2-го рода.
Исследуем \(x_1=2\). Найдем односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 2-0}\frac{x}{\sqrt{x+2}-2} =\frac{2-0}{\sqrt{2-0+2}-2}=\frac{2}{-0}=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow 2+0}\frac{x}{\sqrt{x+2}-2}=\frac{2+0}{\sqrt{2+0+2}-2}=\frac{2}{+0}=+\infty \end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка \(x_1=2\) - точка разрыва 2-го рода.
в) \( y=\frac{tgx}{3x} \)
ОДЗ: \(x\ne 0\)
\(x_0=0\notin D\)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв
Найдем односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -0}\frac{tgx}{3x}=\frac13\lim_{x\rightarrow -0}\frac{tgx}{x}=\frac13\cdot 1=\frac13\\ \lim_{x\rightarrow +0}\frac{tgx}{3x}=\frac13\lim_{x\rightarrow +0}\frac{tgx}{x}=\frac13\cdot 1=\frac13 \end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.
Точка \(x_0=0\) - точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
г) \( y= \begin{cases} x+1,\ x\lt 3\\ x^2+3,\ x\geq 3 \end{cases} \)
ОДЗ: \(x\in\mathbb{R}\)
\(x_0=3\)- точка сшивания, подозрительная на разрыв.
Найдем односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 3-0}y=\lim_{x\rightarrow 3-0}(x+1)=3+1=4\\ \lim_{x\rightarrow 3+0}y=\lim_{x\rightarrow 3+0}(x^2+3)=3^2+3=12 \end{gather*} Односторонние пределы конечны, но неравны.
Точка \(x_0=3\) - точка разрыва 1-го рода, неустранимый разрыв (скачок).
Величина скачка: \(\lim_{x\rightarrow 3+0}y-\lim_{x\rightarrow 3-0}y=12-4=8\)
Пример 2. Доопределите функцию в точке разрыва так, чтобы она стала непрерывной в этой точке:
a) \( y=\frac{2x^3-x^2}{7x} \)
ОДЗ: \(x\ne 0\)
\(x_0=0\notin D\)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Упростим выражение: \(\frac{2x^3-x^2}{7x}=\frac{x^2(2x-1)}{7x}=\frac{x(2x-1)}{7}\) $$ y=\frac{2x^3-x^2}{7x}\Leftrightarrow y= \begin{cases} \frac{x(2x-1)}{7}\\ x\ne 0 \end{cases} $$ Найдем односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -0}\frac{x(2x-1)}{7}=0,\ \ \lim_{x\rightarrow +0}\frac{x(2x-1)}{7}=0 \end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.
Точка \(x_0=0\) - точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: \(y(0)=0\).
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= \begin{cases} \frac{2x^3-x^2}{7x},\ x\ne 0\\ 0,\ \ x=0 \end{cases} $$ б) \( y=\frac{1-cos4x}{x^2} \)
ОДЗ: \(x\ne 0\)
\(x_0=0\notin D\)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Упростим выражение: \(\frac{1-cos4x}{x^2}=\frac{2sin^2 2x}{x^2}=\frac{2sin^2 2x}{\frac{(2x)^2}{4}}=8\left(\frac{sin2x}{2x}\right)^2\) $$ y=\frac{1-cos4x}{x^2}\Leftrightarrow y= \begin{cases} 8\left(\frac{sin2x}{2x}\right)^2\\ x\ne 0 \end{cases} $$ Найдем односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -0}8\left(\frac{sin2x}{2x}\right)^2=8\cdot 1=8,\ \ \lim_{x\rightarrow +0}8\left(\frac{sin2x}{2x}\right)^2=8\cdot 1=8 \end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.
Точка \(x_0=0\) - точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: \(y(0)=8\).
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= \begin{cases} \frac{1-cos4x}{x^2},\ x\ne 0\\ 8,\ \ x=0 \end{cases} $$
