Логарифмические уравнения и системы

п.1. Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение уравнений вида \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\)

Неравенства \( \begin{cases} f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для \(x\) в явном виде;
2) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

Однако, если выражения \(f(x)\) и \(g(x)\) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для \(f(x)\) и \(g(x)\), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(\lg(2x+3)+\lg(x+4)=\lg(1-2x)\)
Найдем ОДЗ в явном виде:
\( \begin{cases} 2x+3\gt 0\\ x+4\gt 0\\ 1-2x\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt-\frac32\\ x\gt-4\\ x\lt\frac12 \end{cases} \Rightarrow -\frac32\lt x\lt\frac12\Rightarrow x\in\left(-\frac32;\frac12\right) \)
Решаем уравнение:
\(\lg\left((2x+3)(x+4)\right)=\lg(1-2x)\)
\((2x+3)(x+4)=1-2x\)
\(2x^2+11x+12-1+2x=0\)
\(2x^2+13x+11=0\)
\((2x+11)(x+1)=0\)
\( \left[ \begin{array}{l l} x_1=-5,5\\ x_2=-1 \end{array} \right. \)
Корень \(x_1=-5,5\notin \left(-\frac32;\frac12\right),\) т.е. не подходит.
Корень \(x_2=-1\in \left(-\frac32;\frac12\right)\) - искомое решение.
Ответ: -1

п.3. Решение уравнений вида \(\log_{a(x)} f(x)=\log_{a(x)} g(x)\)

Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

Например:
Решим уравнение \(\log_{x+5}(x^2-4)=\log_{x+5}(2-x)\)
Найдем ОДЗ в явном виде:
\( \begin{cases} x^2-4\gt 0\\ 2-x\gt 0\\ x+5\gt 0\\ x+5\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt -2\cup x\gt 2\\ x\lt 2\\ x\gt -5\\ x\ne -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -5\lt x\lt -2\\ x\ne -4 \end{cases} \Rightarrow x\in (-5;-4)\cup(-4;-2) \)
Решаем уравнение:
\(x^2-4=2-x\)
\(x^2+x-6=0\)
\((x+3)(x-2)=0\)
\( \left[ \begin{array}{l l} x_1=-3\\ x_2=2 - \ \text{не подходит} \end{array} \right. \)
Ответ: -3

Например:
Решим уравнение \(\log_{2}(x+1)=\log_{4}(x+3)\)
Основания \(2\ne 4\), и нельзя сразу написать \(x+1=x+3\).
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
\(\log_2(x+1)=\log_{2^2}(x+1)^2=\log_4(x+1)^2\)
Тогда исходное уравнение примет вид: \(\log_4(x+1)^2=\log_4(x+3)\)
И теперь: \((x+1)^2=x+3\)
\(x^2+x-2=0\)
\((x+2)(x-1)=0\)
\( \left[ \begin{array}{l l} x_1=-2\\ x_2=1 \end{array} \right. \)
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
\( \begin{cases} x+1\gt 0\\ x+3\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt -1\\ x\gt -3 \end{cases} \Rightarrow x\gt -1 \)
Корень \(x_1=-2\lt -1\) - не подходит.
Ответ: 1

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнения:
a) \( \log_2(x+1)-\log_2(x-1)=1 \)
ОДЗ: \( \begin{cases} x+1\gt 0\\ x-1\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt -1\\ x\gt 1 \end{cases} \Rightarrow x\gt 1 \)
\(\log_2\left((x+1)(x-1)\right)=\log_22\)
\(x^2-1=2\Rightarrow x^2 =3\)
\( \left[ \begin{array}{l l} x_1=-\sqrt{3}\lt 2 - \text{не подходит}\\ x_2=\sqrt{3} \end{array} \right. \)
Ответ: \(\sqrt{3}\)

б) \( 2\log_5(x-1)=\log_5(1,5x+1) \)
ОДЗ: \( \begin{cases} x-1\gt 0\\ 1,5x+1\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 1\\ x\gt-\frac23 \end{cases} \Rightarrow x\gt 1 \)
Преобразуем: \(2\log_5(x-1)=\log_5(x-1)^2\)
Получаем: \(\log_5(x-1)^2=\log_5(1,5x+1)\)
\((x-1)^2=1,5x+1\)
\(x^2-2x+1-1,5x-1=0\Rightarrow x^2-3,5x=0\Rightarrow x(x-3,5)=0\)
\( \left[ \begin{array}{l l} x_1=0\lt 1 - \text{не подходит}\\ x_2=3,5 \end{array} \right. \)
Ответ: 3,5

в) \( \log_3(3-x)+\log_3(4-x)=1+2\log_3 2 \)
ОДЗ: \( \begin{cases} 3-x\gt 0\\ 4-x\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt 3\\ x\lt 4 \end{cases} \Rightarrow x\lt 3 \)
Преобразуем: \(1+2\log_3 2=\log_3 3+\log_3 2^2=\log_3(3\cdot 4)=\log_3 12\)
Получаем: \(\log_3\left((3-x)(4-x)\right)=\log_3 12\)
\((3-x)(4-x)=12\Rightarrow 12-7x+x^2=12\Rightarrow x(x-7)=0\)
\( \left[ \begin{array}{l l} x_1=0\\ x_2=7\gt 3 - \text{не подходит} \end{array} \right. \)
Ответ: 0

г) \( \log_2^2x+\log_2 x^2+1=0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
\(\log_2x^2=2\log_2x\)
Получаем: \(\log_2^2x+2\log_2x+1=0\)
Замена: \(t=\log_2 x\)
\(t^2+2t+1=0\Rightarrow(t+1)^2=0\Rightarrow t=-1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(\log_2x=-1\)
\(x=2^{-1}=\frac12\)
Ответ: \(\frac12\)

д) \( x^{\lg x}=10 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg ⁡x\). Тогда \(x=10^t\)
Подставляем:
\((10^t)^t=10\Rightarrow 10^{t^2}=10^1\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm 1\)
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin{array}{l l} \lg x=-1\\ \lg x=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=10^{-1}\\ x=10 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x_1=0,1\\ x_2=10 \end{array} \right. \)
Оба корня подходят.
Ответ: {0,1; 10}

e) \( \sqrt{x}\cdot \log_5(x+3)=0 \)
ОДЗ: \( \begin{cases} x\geq 0\\ x+3\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\geq 0\\ x\gt -3 \end{cases} \Rightarrow x\geq 0 \)
\( \left[ \begin{array}{l l} \sqrt{x}=0\\ \log_5(x+3)=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=0\\ x+3=5^0=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x_1=0\\ x_2=-2\lt 0 - \text{не подходит} \end{array} \right. \)
Ответ: 0

ж) \( \log_{5x-2}2+2\log_{5x-2}x=\log_{5x-2}(x+1) \)
ОДЗ: \( \begin{cases} x\gt 0\\ x+1\gt 0\\ 5x-2\gt 0\\ 5x-2\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ x\gt -1\\ x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end{cases} \)
Преобразуем: \(\log_{5x-2}2+2\log_{5x-2}x=\log_{5x-2}(2x^2)\)
Подставляем: \(\log_{5x-2}(2x^2)=\log_{5x-2}(x+1)\)
\( 2x^2=x+1\Rightarrow 2x^2-x-1=0\Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x_1=-\frac12 - \text{не подходит}\\ x_2=1 \end{array} \right. \)
Ответ: 1

Пример 2*. Решите уравнения:
a) \( \log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12 \)
ОДЗ: \( \begin{cases} 2x-1\gt 0\\ \log_3(2x-1)\gt 0\\ \log_2\log_3(2x-1)\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt\frac12\\ 2x-1\gt 3^0\\ \log_3(2x-1)\gt 2^0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ 2x-1\gt 3^1 \end{cases} \Rightarrow \)
\( \Rightarrow \begin{cases} x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ x\gt 2 \end{cases} \Rightarrow x\gt 2 \)
Решаем:
\(\log_2\log_3(2x-1)=4^{1/2}=2\)
\(\log_3(2x-1)=2^2=4\)
\(2x-1=3^4=81\)
\(2x=82\)
\(x=41\)
Ответ: 41

б) \( \log_2(9-2^x)=25^{\log_5\sqrt{3-x}} \)
ОДЗ: \( \begin{cases} 9-2x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2^x\lt 9\\ x\lt 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt\log_2 9\\ x\lt 3 \end{cases} \Rightarrow x\lt 3 \)
Преобразуем: \(25^{\log_5\sqrt{3-x}}=25^{\log_{5^2}(\sqrt{3-x})^2}=25^{\log_{25}(3-x)}=3-x\)
Подставляем: \(\log_2(9-2^x)=3-x\)
\(9-2^x=2^{3-x}\)
\(9-2^x-\frac{8}{2^x}=0\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\)
\( 9-t-\frac8t=0\Rightarrow \frac{-t^2+9t-8}{t}=0\Rightarrow \begin{cases} t^2-9t+8\gt 0\\ t\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (t-1)(t-8)=0\\ t\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t_1=1\\ t_2=8 \end{array} \right. \)
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin{array}{l l} 2^x=1\\ 2^x=8 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} 2^x=2^0\\ 2^x=2^3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x_1=0\\ x_2=3 \end{array} \right. \)
По ОДЗ \(x\lt 3\), второй корень не подходит.
Ответ: 0

в) \( \lg\sqrt{x-5}+\lg\sqrt{2x-3}+1=\lg 30 \)
ОДЗ: \( \begin{cases} x-5\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 5\\ x\gt\frac32 \end{cases} \Rightarrow x\gt 5 \)
Преобразуем: \(\lg 30-1=\lg 30-\lg 10=\lg\frac{30}{10}=\lg 3\)
Подставляем: \(\lg\sqrt{x-5}+\lg\sqrt{2x-3}=\lg 3\)
\(\frac12\lg(x-5)+\frac12\lg(2x-3)=\lg 3\ |\cdot 2\)
\(\lg(x-4)+\lg(2x-3)=2\lg 3\)
\(\lg\left((x-5)(2x-3)\right)=\lg 3^2\)
\((x-5)(2x-3)=9\Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 \Rightarrow 2x^2-13x+6=0\)
\( (2x-1)(x-6)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x_1=\frac12\lt 5 - \ \text{не подходит}\\ x_2=6 \end{array} \right. \)
Ответ: 6

г) \( \frac{1}{\lg x}+\frac{1}{\lg 10x}+\frac{3}{\lg 100x}=0 \)
ОДЗ: \( \begin{cases} x\gt 0\\ \lg x\ne 0\\ \lg 10x\ne 0\\ \lg 100x\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ x\ne 1\\ 10x\ne 1\\ 100x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ x\ne\left\{\frac{1}{100};\frac{1}{10};1\right\} \end{cases} \)
Преобразуем: \(\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+\lg 10\)
\(\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x\)
Подставляем: \(\frac{1}{\lg x}+\frac{1}{1+\lg x}+\frac{3}{2+\lg x}=0\)
Замена: \(t=\lg x\)
\begin{gather*} \frac1t+\frac{1}{1+t}+\frac{3}{2+t}=0\Rightarrow \frac1t+\frac{1}{1+t}=-\frac{3}{2+t}\Rightarrow \frac{1+t+t}{t(1+t)}=-\frac{3}{2+t}\Rightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2\Rightarrow 5t^2+8t+2=0\\ D=8^2-4\cdot 5\cdot 2=24,\ \ t=\frac{-8\pm 2\sqrt{6}}{10}=\frac{-4\pm \sqrt{6}}{5} \end{gather*} Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin{array}{l l} \lg x=\frac{-4- \sqrt{6}}{5}\\ \lg x=\frac{-4+ \sqrt{6}}{5} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=10\frac{-4- \sqrt{6}}{5}\\ x=10\frac{-4+ \sqrt{6}}{5} \end{array} \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: \(\left\{10\frac{-4\pm\sqrt{6}}{5}\right\}\)

д) \( 2\log_x3+\log_{3x}3+3\log_{9x}3=0 \)
ОДЗ: \( \begin{cases} x\gt 0\\ x\ne 1\\ 3x\ne 1\\ 9x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ x\ne\left\{\frac{1}{9};\frac{1}{3};1\right\} \end{cases} \)
\(\frac{2}{\log_3x}+\frac{1}{\log_3(3x)}+\frac{3}{\log_3(9x)}=0\)
\(\frac{2}{\log_3x}+\frac{1}{1+\log_3x}+\frac{3}{2+\log_3x}=0\)
Замена: \(t=\log_3x\)
\begin{gather*} \frac2t+\frac{1}{1+t}+\frac{3}{2+t}=0\Rightarrow \frac2t+\frac{1}{1+t}=-\frac{3}{2+t}\Rightarrow \frac{2+2t+t}{t(1+t)}=-\frac{3}{2+t}\Rightarrow (2+3t)(2+t)=-3t(1+t)\\ 4+8t+3t^2=-3t-3t^2\Rightarrow 6t^2+11t+4=0\Rightarrow (3t+4)(2t+1)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t_1=-\frac43\\ t_2=-\frac12 \end{array} \right. \end{gather*} Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin{array}{l l} \log_3x=-\frac43\\ \log_3x=-\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=3^{-\frac43}=\frac{1}{3\sqrt[3]{3}}\\ x=3^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: \(\left\{\frac{1}{3\sqrt[3]{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}\right\}\)

e) \( x^{\frac{\lg x+7}{4}}=10^{\lg x+1} \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg x.\) Тогда \(x=10^t\)
Подставляем: \begin{gather*} (10^t)^{\frac{t+7}{4}}=10^{t+1}\\ \frac{t(t+7)}{4}=t+1\Rightarrow t(t+7)=4(t+1)\Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\\ t^2+3t-4=0\Rightarrow (t+4)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t_1=-4\\ t_2=1 \end{array} \right. \end{gather*} Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin{array}{l l} \lg x=-4\\ \lg x=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=10^{-4}\\ x=10 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x_1=0,0001\\ x_2=10 \end{array} \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: \(\left\{0,0001;\ 10\right\}\)

ж) \( 4^{\log_3(1-x)}=(2x^2+2x+5)^{\log_3 2} \)
ОДЗ: \( \begin{cases} 1-x\gt 0\\ 2x^2+2x+5\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt 1\\ D\lt 0,\ x\in\mathbb{R} \end{cases} \Rightarrow x\lt 1 \)
По условию: \begin{gather*} \log_3(1-x)=\log_4\left((2x^2+2x+5)^{\log_32}\right)\\ \log_3(1-x)=\log_32\cdot\log_4(2x^2+2x+5) \end{gather*} Перейдем к другому основанию: $$ \frac{\lg(1-x)}{\lg 3}=\frac{\lg 2}{\lg 3}\cdot\frac{\lg(2x^2+2x+5)}{\lg 4}\ |\cdot\ \lg 3 $$ \(\frac{\lg 2}{\lg 4}=\frac{\lg 2}{\lg 2^2}=\frac{\lg 2}{2\lg 2}=\frac12\) \begin{gather*} \lg(1-x)=\frac12\cdot\lg(2x^2+2x+5)\ |\cdot 2\\ 2\lg(1-x)=\lg(2x^2+2x+5)\\ \lg(1-x)^2=\lg(2x^2+2x+5)\\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\\ x^2+4x+4=0\\ (x+2)^2=0\\ x=-2 \end{gather*} Ответ: -2

Пример 3. Решите систему уравнений:
a) \( \begin{cases} \lg x+\lg y=\lg 2\\ x^2+y^2=5 \end{cases} \)
ОДЗ: \( \begin{cases} x\gt 0\\ y\gt 0 \end{cases} \)
Из первого уравнения: \(\lg(xy)=\lg 2\Rightarrow xy=2\)
Получаем: \( \begin{cases} xy=2\\ x^2+y^2=5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=\frac2x\\ x^2+\left(\frac2x\right)^2-5=0 \end{cases} \)
Решаем биквадратное уравнение: \begin{gather*} x^2+\frac{4}{x^2}-5=0\Rightarrow\frac{x^4-5x^2+4}{x^2}=0\Rightarrow \begin{cases} x^4-5x^2+4=0\\ x\ne 0 \end{cases} \\ (x^2-4)(x^2-1)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x^2=4\\ x^2=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pm 2\\ x=\pm 1 \end{array} \right. \end{gather*} Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
Получаем две пары решений: \( \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x=1\\ y=\frac2x=2 \end{cases} \\ \begin{cases} x=2\\ y=\frac22=1 \end{cases} \end{array} \right. \)
Ответ: \(\left\{(1;2),(2,1)\right\}\)

б) \( \begin{cases} x^{y+1}=27\\ x^{2y-5}=\frac13 \end{cases} \)
ОДЗ: \(x\gt 0,\ x\ne 1\)
Логарифмируем: \( \begin{cases} y+1=\log_x27=\log_x3^3=3\log_x3\\ 2y-5=\log_x\frac13=\log_x3^{-1}=-\log_x3 \end{cases} \)
Замена: \(z=\log_x3\) \begin{gather*} \begin{cases} y+1=3z\\ 2y-5=-z\ |\cdot 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y+1=3z\\ 6y-15=-3z \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 7y-14=0\\ z=5-2y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=2\\ z=1 \end{cases} \end{gather*} Возвращаемся к исходной переменной: $$ \begin{cases} y=2\\ \log_x3=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^1=3\\ y=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=3\\ y=2 \end{cases} $$
Ответ: (3;2)

в*) \( \begin{cases} 3(\log_y x-\log_x y)=8\\ xy=16 \end{cases} \)
ОДЗ: \( \begin{cases} x\gt 0,\ x\ne 1\\ y\gt 0,\ y\ne 1 \end{cases} \)
Сделаем замену \(t=\log_x y\). Тогда \(\log_y x=\frac{1}{\log_x y}=\frac1t\)
Подставим в первое уравнение и решим его: \begin{gather*} 3\left(\frac1t-t\right)=8\Rightarrow\frac{1-t^2}{t}=\frac83\Rightarrow \begin{cases} 3(1-t^2)=8t\\ t\ne 0 \end{cases}\\ 3t^2+8t-3=0\Rightarrow (3t-1)(t+3)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} t_1=\frac13\\ t_2=-3 \end{array} \right. \end{gather*} Прологарифмируем второе уравнение по \(x\): $$ \log_x(xy)=\log_x16\Rightarrow 1+\log_x y=\log_x16\Rightarrow 1+t=\log_x 16 $$ Получаем: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} t=\frac13\\ \log_x16=1+t=\frac43 \end{cases} \\ \begin{cases} t=-3\\ \log_x16=1+t=-2 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} t=\frac13\\ x^{\frac43}=16 \end{cases} \\ \begin{cases} t=-3\\ x^{-2}=16 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} t=\frac13\\ x=(2^4)^{\frac34}=2^3=8 \end{cases} \\ \begin{cases} t=-3\\ x=(16)^{-\frac12}=\frac14 \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*} Возвращаемся к исходной переменной: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x=8\\ \log_x y=\frac13 \end{cases} \\ \begin{cases} x=\frac14\\ \log_x y=-3 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x=8\\ y=8^{\frac13}=2 \end{cases} \\ \begin{cases} x=\frac14\\ y=\left(\frac14\right)^{-3}=64 \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*}
Ответ: \(\left\{(8;2),\left(\frac14; 64\right)\right\}\)

г*) \( \begin{cases} (x+y)\cdot 3^{y-x}=\frac{5}{27}\\ 3\log_5(x+y)=x-y \end{cases} \)
ОДЗ: \(x+y\gt 0\)
Прологарифмируем первое уравнение по 3: \begin{gather*} \log_3\left((x+y)\cdot 3^{y-x}\right)=\log_3\frac{5}{27}\\ \log_3(x+y)+(y-x)=\log_3\frac{5}{27}\\ \log_3(x+y)-\log_3\frac{5}{27}=x-y \end{gather*} Получаем:\(x-y=3\log_5(x+y)=\log_3(x+y)-\log_3\frac{5}{27}\)
Решим последнее уравнение относительно \(t=x+y\) \begin{gather*} 3\log_5 t=\log_3 t-\log_3\frac{5}{27}\\ 3\cdot\frac{\log_3t}{\log_35}-\log_3t=-\log_3\frac{5}{27}\\ \log_3t\cdot\left(\frac{3}{\log_35}-1\right)=-\log_3\frac{5}{27}\\ \log_3t=-\frac{\log_3\frac{5}{27}}{\frac{3}{\log_35}-1}=-\frac{(\log_35-3)\log_35}{3-\log_35}=\log_35\\ t=5 \end{gather*} Тогда: \(x-y=3\log_5t=3\log_55=3\)
Получаем систему линейных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} x+y=5\\ x-y=3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x=5+3\\ 2y=5-3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=4\\ y=1 \end{cases} \end{gather*} Требование ОДЗ \(x+y=4+1\gt 0\) выполняется.
Ответ: (4;1)