Логарифмические неравенства и системы
п.1. Методы решения логарифмических неравенств
При решении логарифмических неравенств используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического неравенства к равносильному неравенству между \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.
п.2. Решение неравенств вида \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\)
Если \(0\lt a\lt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin{gather*} \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \end{gather*} Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) меняется на противоположный.
Неравенства \( \begin{cases} f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.
Например:
Решим неравенство \(\log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\)
\begin{gather*} \log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\Leftrightarrow \begin{cases} 3x-1\gt 2-5x\\ 3x-1\gt 0\\ 2-5x=\gt 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 8x\gt 3\\ 3x\gt 1\\ 5x\lt 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt\frac38\\ x\gt\frac13\\ x\lt\frac25 \end{cases} \Rightarrow\frac38\lt x\lt \frac25 \end{gather*} Ответ: \(x\in\left(\frac38;\frac25\right)\)
Внимание!
Система \( \begin{cases} f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\gt g(x)\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \Leftrightarrow f(x)\gt g(x)\gt 0 \)
т.е., можно опустить второе неравенство.
Система \( \begin{cases} f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0\lt f(x)\lt g(x) \)
т.е., можно опустить третье неравенство.
Научитесь отбрасывать лишнее неравенство: при решении сложных систем этот навык очень пригодится.
п.3. Решение неравенств вида \(\log_{a(x)} f(x)\gt \log_{a(x)} g(x)\)
Например:
Решим неравенство \(\log_{2x-3}x\gt 1\)
\(\log_{2x-3}x\gt\log_{2x-3}(2x-3)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} 2x-3\gt 1\\ x\gt 2x-3\gt 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt 2x-3\lt 1\\ -\lt x\lt 2x-3 \end{cases} \end{array} \right. \) $$ \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} 2x\gt 4\\ 2x\gt 3\\ x\gt 2x-3 \end{cases} \\ \begin{cases} 3\lt 2x\lt 4\\ 0\lt x\\ x\lt 2x-3 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\gt 2\\ x\gt 1,5\\ x\lt 3 \end{cases} \\ \begin{cases} 1,5\lt x\lt 2\\ x\gt 0\\ x\gt 3 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} 2\lt x\lt 3\\ \varnothing \end{array} \right. \Rightarrow 2\lt x\lt 3 $$ Ответ: \(x\in(2;3)\)
п.4. Сравнение логарифмов с разными основаниями от одного аргумента
Для \(\log_a x\) и \(\log_bx\) с разными основаниями и одним аргументом справедливы следующие соотношения:
| \(a\gt b\gt 1\) | \(1\gt a\gt b\gt 0\) |
 |
 |
| \begin{gather*} \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end{gather*} | \begin{gather*} \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end{gather*} |
п.5. Примеры
Пример 1. Сравните числа:
a) \( a=\log_5\frac78,\ b=\log_6\frac78 \)
Аналитический метод:
\begin{gather*} a=\frac{\lg\frac78}{\lg 5}=\frac{\lg 7-\lg 8}{\lg 5}\lt 0,\ \ b=\frac{\lg\frac78}{\lg 6}=\frac{\lg 7-\lg 8}{\lg 6}\lt 0\\ a-b=\frac{\lg 7-\lg 8}{\lg 5}-\frac{\lg 7\lg 8}{\lg 6}=(\lg 7-\lg 8)\left(\frac{1}{\lg 5}-\frac{1}{\lg 6}\right)\\ a-b=\frac{\overbrace{(\lg 7-\lg8)}^{\lt 0}\overbrace{(\lg 6-\lg 5)}^{\gt 0}}{\underbrace{\lg 5\cdot\lg 6}_{\gt 0}}\lt 0\\ a\lt b \end{gather*} Графический метод:
\(0\lt\frac78\lt 1\)
При \(0\lt x\lt 1\) кривая \(\log_6x\gt\log_5x\)
Значит, \(b\gt a\)
б) \( a=\log_5 11,\ b=\log_6 11 \)
Аналитический метод:
\begin{gather*} a=\frac{\lg 11}{\lg 5},\ \ b=\frac{\lg 11}{\lg 6}\\ a-b=\lg 11\left(\frac{1}{\lg 5}-\frac{1}{\lg 6}\right)= \frac{\overbrace{\lg 11}^{\gt 0}\overbrace{(\lg 6-\lg 5)}^{\gt 0}}{\underbrace{\lg 5\cdot\lg 6}_{\gt 0}}\gt 0\\ a\gt b \end{gather*} Графический метод:
\(11\gt 1\)
При \(x\gt 1\) кривая \(\log_5x\gt\log_6x\)
Значит, \(a\gt b\)
в) \( a=\log_4 5,\ \ b=\log_{\frac{1}{16}}\frac{1}{25} \)
\( b=\log_{\frac{1}{16}}\frac{1}{25}=\log_{16}25=\log_{4^2}5^2=\log_4 5 \)
\(a=b\)
г*) \( a=\log_4 26,\ \ b=\log_6 17 \)
Решим аналитически.
Пусть \(c=\log_6 26\). Тогда \(log_6 26\gt\log_6 17,\ c\gt b\)
Сравним \(a\) и \(c\) \begin{gather*} a=\frac{\lg 26}{\lg 4},\ \ c=\frac{\lg 26}{\lg 6}\\ a-c=\frac{\lg 26}{\lg 4}-\frac{\lg 26}{\lg 6}=\lg 26\left(\frac{1}{\lg 4}-\frac{1}{\lg 6}\right)= \frac{\underbrace{\lg 26}^{\gt 0}\cdot\overbrace{(\lg 6-\lg 4)}^{\gt 0}}{\underbrace{\lg 4\cdot \lg 6}_{\gt 0}}\gt 0\\ a\gt c\ \text{и}\ c\gt b\Rightarrow a\gt b \end{gather*}
д*) \( a=\log_2 3,\ b=\log_5 8 \)
Преобразуем и решим графически: $$ a=\log_2 3=\log_4 9\gt\log_4 8\gt\log_5 8=b $$ 
$$ a\gt b $$
Пример 2*. Решите неравенство:
a) \( \log_{0,5}(x^2-7x)\geq\log_{0,5}(3x+11) \) \begin{gather*} \begin{cases} x^2-7x\leq 3x+11\\ x^2-7x\gt 0\\ 3x+11\gt 0 \end{cases} \Rightarrow 0\lt x^2-7x\leq 3x+11 \Rightarrow \begin{cases} x^2-7x\leq 3x+11\\ x^2-7x\gt \end{cases} \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin{cases} x^2-10x-11\leq 0\\ x(x-7)\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x+1)(x-11)\leq 0\\ x(x-7)\gt 0 \end{cases} \end{gather*} 
\(-1\leq x\leq 0\cup 7\lt x\leq 11\)
Ответ: \(x\in\left.\left[-1;0\right.\right)\cup\left.\left(7;11\right.\right]\)
б) \( \log_3x+\log_3(x-8)\geq 2 \) \begin{gather*} \log_3\left(x(x-8)\right)\geq \log_39\\ \begin{cases} x(x-8)\geq 9\\ x\gt 0\\ x-8\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2-8x-9\geq 0\\ x\gt 0\\ x\gt 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x+1)(x-9)\geq 0\\ x\gt 8 \end{cases} \end{gather*} 
\(8\lt x\leq 9\)
Ответ: \(x\in\left.\left(8;9\right.\right]\)
в) \( \frac{2x+3}{\log_7 x}\gt 0 \)
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют один знак.
Получаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} 2x+3\gt 0\\ \log_7 x\gt 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 2x+3\lt 0\\ \log_7x\lt 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\gt-1,5\\ x\gt 1\\ x\gt 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\lt -1,5\\ x\lt 1\\ x\gt 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x\gt 1\\ \varnothing \end{array} \right. \Rightarrow x\gt 1 \end{gather*} Ответ: \(x\in(1;+\infty)\)
г) \( 4^{\log_4(4-9x)}\lt 16 \)
Преобразуем: \(4^{\log_4(4-9x)}=4-9x\)
Подставляем в исходное неравенство, дописываем ОДЗ: \begin{gather*} \begin{cases} 4-9x\lt 16\\ 4-9x\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -9x\lt 12\\ -9x\gt -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt -\frac43\\ x\lt\frac49 \end{cases} \Rightarrow -\frac43\lt x\lt \frac49 \end{gather*} Ответ: \(x\in(-\frac43;\frac49)\)
д) \( \lg^2x+\lg x\gt 2 \)
ОДЗ: \(x\lt 0\)
Замена: \(t=\lg x\)
\(t^2+t-2\gt 0\Rightarrow (t+2)(t-1)\gt 0\)
\(t\lt -2\cup t\gt 1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \begin{gather*} \lg x\lt -2\cup\lg x\gt 1\Rightarrow \begin{cases} x\lt 10^{-2}\cup x\gt 10\\ x\gt 0 \end{cases} \Rightarrow 0\lt x\lt 0,01\cup x\gt 10 \end{gather*} Ответ: \(x\in(0;0,01)\cup(10;+\infty)\)
e) \( 4-x\lt\log_2(6+2^x) \)
Перейдем к показательному неравенству: \(2^{4-x}\lt 2^{\log_2(6+2^x)}\)
Получаем:\( \begin{cases} 2^{4-x}\lt 6+2^x\\ 6+2^x\gt 0 \end{cases} \)
Требование ОДЗ \(6+2^x\gt 0\) выполняется при любом \(x\in\mathbb{R}\)
Решаем основное неравенство: \(\frac{2^4}{2^x}\lt 6+2^x\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\) \begin{gather*} \begin{cases} \frac{16}{t}-6-t\lt 0\\ t\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{16-6t-t^2}{t}\lt 0\\ t\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{t^2+6t-16}{t}\gt 0\\ t\gt 0 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} t^2+6t-16\gt 0\\ t\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (t+8)(t-2)\gt 0\\ t\gt 0 \end{cases} \end{gather*} 
\(t\gt 2\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(2^x\gt 2\Rightarrow x\gt 1\)
Ответ: \(x\in(1;+\infty)\)
ж) \( \log_{0,5}(3-x^2)+1\lt\log_{0,5}(0,5x+0,5) \)
\begin{gather*} \log_{0,5}(3-x^2)+1\lt\log_{0,5}0,5(x+1)\\ \log_{0,5}(3-x^2)+1\lt\underbrace{\log_{0,5}0,5}_{=1}+\log_{0,5}(x+1)\\ \log_{0,5}(3-x^2)\lt\log_{0,5}(x+1)\\ \begin{cases} 3-x^2\gt x+1\\ 3-x^2\gt 0\\ x+1\gt 0 \end{cases} \Rightarrow 3-x^2\gt x+1\gt 0\Rightarrow \begin{cases} 3-x^2\gt x+1\\ x+1\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2+x-2\lt 0\\ x\gt -1 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} (x+2)(x-1)\lt 0\\ x\gt -1 \end{cases} \end{gather*} 
\(-1\lt x\lt 1\)
Ответ: \(x\in(-1;1)\)
Пример 3*. Решите неравенство:
a) \( \log_{\frac1x}7\gt\log_{\frac{1}{2x-1}}7 \)
Если оба логарифма одного знака и 7>1, основание справа должно быть больше: \begin{gather*} \begin{cases} \frac{1}{2x-1}\gt\frac1x\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ 2x-1\gt 0,2x-1\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 2x-1\gt 0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 2x-1\\ 2x\gt 1\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt 1\\ x\gt\frac12\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac12\lt x\lt 1 \end{gather*} Если логарифмы разных знаков, то: \begin{gather*} \begin{cases} \log_{\frac17}\gt 0\\ \log_{\frac{1}{2x-1}}7\lt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_7\frac1x\gt 0\\ x\ne 1\\ \log_7\frac{1}{2x-1}\lt 0\\ 2x-1\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac1x\gt 1\\ 0\lt\frac{1}{2x-1}\lt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt 1\\ 2x-1\gt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt 1\\ x\gt 1 \end{cases} \Rightarrow \varnothing \end{gather*} Существует только решение для одинаковых знаков.
Ответ: \(x\in\left(\frac12; 1\right)\)
б) \( \frac{1}{\log_2x}\leq\frac{1}{\log_2\sqrt{x+2}} \)
Если оба логарифма одного знака и 2>1, основание слева должно быть больше: \begin{gather*} \begin{cases} x\leq\sqrt{x+2}\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ \sqrt{x+2}\gt 0,\ \sqrt{x+2}\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ x^2\geq x+2\\ x\ne 1\\ x\gt-2,\ x\ne -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ x^2-x-2\geq 0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow x\geq 2 \end{gather*} Еще одно множество решений, если логарифм слева отрицательный, а справа – положительный. \begin{gather*} \begin{cases} \log_x2\leq 0\\ \log_{x+2}\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_2x\leq 0\\ \log_2\sqrt{x+2}\geq 0 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} 0\lt x\leq 1,\ x\ne 1\\ \sqrt{x+2}\geq 1,\ \sqrt{x+2}\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ x+2\gt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ x\gt -1 \end{cases} \Rightarrow 0\lt x\lt 1 \end{gather*} Объединяем полученные множества: \(0\lt x\lt 1\cup x\geq 2\)
Ответ: \(x\in(0;1)\cup\left.\left[2;+\infty\right.\right)\)
в) \( \log_{2x+1}0,8\lt\log_{4x-1}0,8 \)
Если оба логарифма одного знака и 0,8>1, основание справа должно быть больше: \begin{gather*} \begin{cases} 4x-1\gt 2x+1\\ 4x-1\gt 0,4x-1\ne 1\\ 2x+1\gt 0,2x+1\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x-1\gt 2x+1\gt 0\\ x\ne\left\{0;\frac12\right\} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x\gt 2\\ 2x\gt -1\\ x\ne\left\{0;\frac12\right\} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 1\\ x\gt -\frac12\\ x\ne\left\{0;\frac12\right\} \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow x\gt 1 \end{gather*} Если логарифмы разных знаков: \begin{gather*} \begin{cases} \log_{2x+1}0,8\lt 0\\ \log_{4x_1}0,8\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_{0,8}(2x+1)\lt 0\\ \log_{0,8}(4x-1)\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x+1\gt 1\\ 0\lt 4x-1\lt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ 1\lt 4x\lt 2 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ \frac14\lt x\lt\frac12 \end{cases} \Rightarrow \frac14\lt x\lt\frac12 \end{gather*} Объединяем полученные множества: \(\frac14\lt x\lt\frac12\cup x\gt 1\)
Ответ: \(x\in\left(\frac14;\frac12\right)\cup(1;+\infty)\)
Пример 4*. Решите неравенство:
a) \( \log_{0,5}\log_4\frac{2x-1}{x+1}\lt 1 \) \begin{gather*} \log_{0,5}\log_4\frac{2x-1}{x+1}\lt \log_{0,5}0,5\\ \begin{cases} \log_4\frac{2x-1}{x+1}\gt 0,5\\ \log_4\frac{2x-1}{x+1}\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \log_4\frac{2x-1}{x+1}\gt 0,5 \Rightarrow \log_4\frac{2x-1}{x+1}\gt\log_4 2 \Rightarrow \begin{cases} \frac{2x-1}{x+1}\gt 2\\ \frac{2x-1}{x+1}\gt 0 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \frac{2x-1}{x+1}\gt 2 \Rightarrow \frac{2x-1}{x+1}-2\gt 0 \Rightarrow \frac{2x-1-2x-2}{x+1}\gt 0\Rightarrow \\ \Rightarrow -\frac{3}{x+1}\gt 0\Rightarrow x+1\lt 0\Rightarrow x\lt -1 \end{gather*} Ответ: \(x\in(-\infty;-1)\)
б) \( \log_{x^2}(3x+4)\gt 1 \)
\(\log_{x^2}(3x+4)\gt \log_{x^2}x^2\) \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x^2\gt 1\\ 3x+4\gt x^2\gt 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt x^2\lt 1\\ 0\lt 3x+4\lt x^2 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} (x-1)(x+1)\gt 0\\ x^2-3x-4\lt 0\\ x^2\gt 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x^2\gt 0\\ (x-1)(x+1)\lt 0\\ 3x+4\gt 0\\ x^2-3x-4\gt 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\lt -1\cup x\gt 1\\ (x+1)(x-4)\lt 0\\ x\ne 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ (x+1)(x-4)\gt 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\lt -1\cup x\gt 1\\ -1\lt x\lt 4\\ x\ne 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ x\lt -1\cup x\gt 4 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} 1\lt x\lt 4\\ \varnothing \end{array} \right. \Rightarrow 1\lt x\lt 4 \end{gather*} Ответ: \(x\in(1;4)\)
в) \( \frac{1+\log_{x+1}(x-3)}{\log_{x+1}2}\log_2(2x-3) \)
Найдем сразу ОДЗ: \( \begin{cases} x+1\gt 0,\ x+1\ne 1\\ x-3\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt -1,\ x\ne 0\\ x\gt 3\\ x\gt 1,5 \end{cases} \Rightarrow x\gt 3 \)
Приведем выражение слева к логарифму с основанием 2: \begin{gather*} \frac{1+\log_{x+1}(x-3)}{\log_{x+1}2}= \frac{1+\frac{\log_2(x-3)}{\log_2(x+1)}}{\frac{1}{\log_2(x+1)}}= \log_2(x+1)+\log_2(x-3)=\\ =\log_2\left((x+1)(x-3)\right) \end{gather*} Подставляем: \(\log_2\left((x+1)(x-3)\right)\geq \log_2(2x-3)\)
ОДЗ мы уже нашли. Решаем основное неравенство:
\((x+1)(x-3)\geq 2x-3\)
\(x^2-2x-3\geq 2x-3\)
\(x^2-4x\geq 0\)
\(x(x-4)\geq 0\)
С учетом ОДЗ: \( \begin{cases} x(x-4)\geq 0\\ x\gt 3 \end{cases} \)
\(x\geq 4\)
Ответ: \(x\in\left.\left[4;+\infty\right.\right)\)
г) \( \log_2x\cdot \log_3 2x+\log_3x\cdot\log_2 3x\geq 0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Преобразуем: $$ \log_3 x\cdot\log_2 3x=\frac{\lg x}{\lg 3}\cdot\frac{\lg 3x}{\lg 2}=\frac{\lg x}{\lg 2}\cdot \frac{\lg 3x}{\lg 3}=\log_2 x\cdot \log_3 3x $$ Подставляем: \begin{gather*} \log_2x\cdot\log_3 2x+\log_2x\cdot\log_33x\geq 0\\ \log_2x\cdot(\log_32x+\log_3 3x)\geq 0 \end{gather*} Получаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} \log_2x\geq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\geq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} \log_2 x\leq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\leq 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} \log_2 x\geq \log_2 1\\ \log_3 2x\geq -\log_3 3x \end{cases} \\ \begin{cases} \log_2x\leq \log_2 1\\ \log_32x\leq-\log_3 3x \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\geq 1\\ 2x\geq \frac{1}{3x} \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt x\leq 1\\ 2x\leq \frac{1}{3x} \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\geq 1\\ \frac{6x^2-1}{3x}\geq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt x\leq 1\\ \frac{6x^2-1}{3x}\leq 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\geq 1\\ 6x^2-1\geq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt x\leq 1\\ 6x^2-1\leq 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\geq 1\\ x\leq-\frac{1}{\sqrt{6}}\cup x\geq \frac{1}{\sqrt{6}} \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt x\leq 1\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}\leq x\leq\frac{1}{\sqrt{6}} \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x\geq 1\\ 0\lt x\leq\frac{1}{\sqrt{6}} \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(x\in\left.\left(0;\frac{1}{\sqrt{6}}\right.\right]\cup\left.\left[1;+\infty\right.\right)\)
Пример 5. Решите систему:
a) \( \begin{cases} \log_3(x+21)-\log_3(x-4)\geq 1\\ 9^{x+1}\lt 3^{4x+2} \end{cases} \) \begin{gather*} \begin{cases} \log_3\frac{x+21}{x-4}\geq\log_3 3\\ x+21\gt 0\\ x-4\gt 0\\ 9^{x+1}\lt 3^{2(2x+1)} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{x+21}{x-4}\geq 3\\ x\gt -21\\ x\gt 4\\ 9^{x+1}\lt 9^{2x+1} \end{cases} \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin{cases} \frac{x+21-3(x-4)}{x-4}\geq 0\\ x\gt 4\\ x+1\lt 2x+1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{-2x+33}{x-4}\geq 0\\ x\gt 4\\ x\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2x+33\geq 0\\ x\gt 4 \end{cases} \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin{cases} x\leq 16,5\\ x\gt 4 \end{cases} \Rightarrow 4\lt x\leq 16,5 \end{gather*} Ответ: \(x\in\left.\left(4;16,5\right.\right]\)
б) \( \begin{cases} \log_{\frac13}(12+x)+\log_3(3-x)\lt\log_9\frac14\\ 0,7^{-x}\leq 0,7^{\sqrt{x+2}} \end{cases} \)
\( \log_{\frac13}(12+x)=\log_{3^{-1}}(12+x)=-\log_3(12+x),\ \ \log_9\frac14=\log_3\frac12 \) $$ \begin{cases} -\log_3(12+x)+\log_3(3-x)\lt \log_3\frac12\\ -x\geq\sqrt{x+2} \end{cases} $$ Решаем логарифмическое неравенство c ОДЗ условия: \begin{gather*} \begin{cases} \log_3\frac{3-x}{12+x}\lt\log_3\frac12\\ 12+x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{3-x}{12+x}\lt\frac12\\ x\gt -12\\ x\lt 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{2(3-x)-(12+x)}{12+x}\lt 0\\ x\gt -12\\ x\lt 3 \end{cases} \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin{cases} \frac{-3x-6}{x+12}\lt 0\\ -12\lt x\lt 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3x-6\lt 0\\ -12\lt x\lt 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt -2\\ -12\lt x\lt 3 \end{cases} \Rightarrow -2\lt x\lt 3 \end{gather*} Решаем иррациональное неравенство: \begin{gather*} \sqrt{x+2}\leq -x\Rightarrow \begin{cases} -x\geq 0\\ x+2\geq 0\\ x+2\leq(-x)^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\leq 0\\ x\geq -2\\ x^2-x-2\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2\leq x\leq 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin{cases} -2\leq x\leq 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2 \end{cases} \Rightarrow -2\leq x\leq -1 \end{gather*} Получаем систему решений: \begin{gather*} \begin{cases} -2\lt x\lt 3\\ -2\leq x\leq -1 \end{cases} \Rightarrow -2\leq x\leq -1 \end{gather*} Ответ: \(x\in\left.\left(-2;-1\right.\right]\)
в) \( \begin{cases} \log_{\sqrt{5}}\sqrt{x^2-6x+9}\leq 0\\ \left(\frac12\right)^{1-4x}\gt 32 \end{cases} \)
Здесь важно не потерять модуль: \(\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|\)
ОДЗ: \(|x-3|\gt 0\Rightarrow x\ne 3\) \begin{gather*} \begin{cases} \log_{\sqrt{5}}|x-3|\leq 0\\ 2^{-1(1-4x)}\gt 2^5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} |x-3|\leq 1\\ 4x\gt 6\\ x\ne 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -1\leq x-3\leq 1\\ x\gt 1,5\\ x\ne 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2\leq x\leq 4\\ x\gt 1,5\\ x\ne 3 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow 2\leq x\lt 3\cup 3\lt x\leq 4 \end{gather*}Ответ: \(x\in\left.\left[2;3\right.\right)\cup \left.\left(3;4\right.\right]\)
г*) \( \begin{cases} 11^{\sqrt{2x^2+x-6}}\gt \sqrt{11}^{2x}\\ \log_{3x-1}27 \lt 2 \end{cases} \)
Решаем показательное неравенство:
\( \sqrt{11}^{2x}=11^x \)
\(11^{\sqrt{2x^2+x-6}}\gt 11^x\) \begin{gather*} \sqrt{2x^2+x-6}\gt x\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\lt 0\\ 2x^2+x-6\geq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\geq 0\\ 2x^2+x-6\gt x^2 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\lt 0\\ (2x-3)(x+2)\geq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\geq 0\\ x^2+x-6\gt 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\lt 0\\ x\leq -2\cup x\geq 1,5 \end{cases} \\ \begin{cases} x\geq 0\\ (x+3)(x-2)\gt 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x\leq -2 \\ \begin{cases} x\geq 0\\ x\lt -3\cup x\gt 2 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow x\leq -2\cup x\gt 2 \end{gather*} Решаем логарифмическое неравенство: \begin{gather*} \log_{3x-1}27\lt 2\Rightarrow \log_{3x-1}27\lt\log_{3x-1}(3x-1)^2\\ \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} 3x-1\gt 1\\ 27\lt(3x-1)^2 \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt 3x-1\lt 1\\ 27\gt(3x-1)^2 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} 3x\gt 2\\ 27\lt 9x^2-6x+1 \end{cases} \\ \begin{cases} 1\lt 3x\lt 2\\ 27\gt 9x^2-6x+1 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\gt\frac23\\ 9x^2-6x-26\gt 0 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac13\lt x\lt \frac23\\ 9x^2-6x-26\lt 0 \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*} Исследуем параболу \(f(x)=9x^2-6x-26\)
\(D=(-6)^2-4\cdot 9\cdot (-26)=36(1+26)=36\cdot 27\)
\(\sqrt{D}=6\cdot 3\sqrt{3}=18\sqrt{3}\)
\(x_{1,2}=\frac{6\pm 18\sqrt{3}}{18}=\frac13\pm\sqrt{3}\)
\(f(x)\gt 0\) при \(x\lt x_1\cup x\gt x_2\)
\(f(x)\lt 0\) при \(x_1\lt x\lt x_2\)
Подставляем в совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\gt \frac23\\ x\lt\frac13-\sqrt{3}\cup x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \\ \begin{cases} \frac13\lt x\frac23\\ \frac13-\sqrt{3}\lt x\lt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x\gt\frac13+\sqrt{3}\\ \frac13\lt x\lt\frac23 \end{array} \right. \Rightarrow \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{gather*} Получаем систему решений: \begin{gather*} \begin{cases} x\leq -2\cup x\gt 2\\ \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \end{gather*} Сравним 2 и \(\frac13+\sqrt{3}\)
\(2-\frac13\ ?\ \sqrt{3}\)
\(\frac53\ ?\ \sqrt{3}\)
\(\frac{25}{9}\lt 3\Rightarrow 2\lt\frac13+\sqrt{3}\)
Значит, из \( \begin{cases} x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow x\gt\frac13+\sqrt{3} \)
Ответ: \(x\in\left(\frac13+\sqrt{3};+\infty\right)\)
