Логарифм, его свойства и график

п.1. Определение логарифма

Например:
\( \log_2 8=3,\ \text{т.к.}\ 2^3=8\)
\( \log_{\frac13} 81=9,\ \text{т.к.}\ \left(\frac13\right)^{-4}=81\)
\( \log_{50} 1=0,\ \text{т.к.}\ 50^0=1 \)

п.2. Функция \(y=\log_a x\)

Рассмотрим функции \(f(x)=\log_2x\) и \(g(x)=\log_{\frac12}x\).
Составим таблицу и построим графики:

Мы видим, что:

• возрастание или убывание логарифма зависит от величины основания \(a\);
• оба графика проходят через точку \((1;0)\);
• оба графика ограничены слева осью \(OY:\ x\gt 0\).

п.4 График и свойства логарифма при \(a\gt 1\)

\begin{gather*} \\ y=\log_ax,\ a\gt 1 \end{gather*} 1. Область определения \(x\gt 0\)
2. Область значений \(y\in\mathbb{R}\)
3. \(y(1)=\log_a1=0\) - пересекает ось \(OX\) в точке (1;0)
4. Функция возрастающая $$ \log_aq\gt \log_as\Leftrightarrow q\gt s $$ 5. При \(0\lt x\lt 1,\ y\lt 0\)
При \(x\gt 1,\ y\gt 0\)
При \(x\rightarrow +0,\ y\rightarrow -\infty\)- не ограничена снизу
При \(x\rightarrow +\infty,\ y\rightarrow +\infty\) - не ограничена сверху
6. Функция непрерывная на всей области определения
7. Функция ни четная, ни нечетная

п.5. График и свойства логарифма при \(0\lt a\lt 1\)

\begin{gather*} \\ y=\log_ax,\ 0\lt a\lt 1 \end{gather*} 1. Область определения \(x\gt 0\)
2. Область значений \(y\in\mathbb{R}\)
3. \(y(1)=\log_a1=0\) - пересекает ось \(OX\) в точке (1;0)
4. Функция убывающая $$ \log_aq\gt \log_as\Leftrightarrow q\lt s $$ 5. При \(0\lt x\lt 1,\ y\gt 0\)
При \(x\gt 1,\ y\lt 0\)
При \(x\rightarrow +0,\ y\rightarrow +\infty\)- не ограничена сверху
При \(x\rightarrow +\infty,\ y\rightarrow -\infty\) - не ограничена снизу
6. Функция непрерывная на всей области определения
7. Функция ни четная, ни нечетная

п.1. Примеры

Пример 1. Постройте в одной системе координат графики функций. Сделайте выводы.
a) \(y=3^x,\ y=\log_3x\)

Показательная функция \(y=3^x\) и логарифм \(y=\log_3x\) симметричны относительно оси \(y=x\).
Эти функции являются взаимно обратными (см. §2 справочника для 9 класса).
Функции не пересекаются.

б) \(y=\left(\frac12\right)^x,\ y=\log_{\frac12}x\)

Показательная функция \(y=\left(\frac12\right)^x\) и логарифм \(y=\log_{\frac12}x\) симметричны относительно оси \(y=x\).
Эти функции являются взаимно обратными.
Функции пересекаются.

в) \(y=\log_2x,\ y=\log_3x,\ y=log_5x\)

При \(a\gt 1\) все логарифмы являются возрастающими функциями.
Все графики пересекают ось \(OX\) в точке (1;0).
Чем больше \(a\), тем медленнее функция падает в \(-\infty\) при приближении к \(x\rightarrow +0\);
а также, тем медленнее функция стремится к \(+\infty\) при \(x\rightarrow +\infty\).

г) \(y=\log_{\frac12}x,\ y=\log_{\frac13}x,\ y=\log_{\frac15}x\)

При \(0\lt a\lt 1\) все логарифмы являются убывающими функциями.
Все графики пересекают ось \(OX\) в точке (1;0).
Чем меньше \(a\), тем медленнее функция растет к \(+\infty\) при приближении к \(x\rightarrow +0\);
а также, тем медленнее функция стремится к \(-\infty\) при \(x\rightarrow +\infty\).

Пример 2. Решите уравнение графически:
a) \(\log_3x=\frac{x-1}{2}\)

Ответ: \(x_1=1,\ x_2=3\)

б) \(\log_{\frac13}x=x^2-1\)

Ответ: \(x=1\)

Пример 3. Решите неравенства графически:
a) \(\log_3x\leq\frac{x-1}{2}\)

ОДЗ логарифма \(x\gt 0\)
Кривая логарифма расположена под прямой и пересекается с ней на промежутках:
\(0\lt x\leq 1\cup x\geq 3\)
Точки пересечения включаем, т.к. неравенство нестрогое.
Ответ: \(x\in\left.\left(0;1\right.\right]\cup\left.\left[3;+\infty\right.\right)\)

б) \(\log_{\frac13}x\gt x^2-1\)

ОДЗ логарифма \(x\gt 0\)
Кривая логарифма расположена над прямой на промежутке \(0\lt x\lt 1\).
Точку пересечения не включаем, т.к. неравенство строгое.
Ответ: \(x\in(0;1)\)

Пример 4*. Постройте график функции: $$ y=log_{cos2x}\left(\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}\right) $$ Упростим выражение в скобках: $$ \sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{3}=1+\sqrt{3}-\sqrt{3}=1 $$ Получаем: \begin{gather*} y=log_{cos2x}1\Leftrightarrow \begin{cases} y=0\\ cos2x\gt 0\\ cos2x\ne 1 \end{cases} \\ cos2x\gt 0\Rightarrow-\frac\pi2+2\pi n\lt 2x\lt\frac\pi2+2\pi n\Rightarrow-\frac\pi4+\pi n\lt x\lt\frac\pi4+\pi n\\ cos2x\ne 1\Rightarrow 2x\ne 2\pi n\Rightarrow x\ne\pi n \end{gather*} Функция: \( \begin{cases} y=0\\ -\frac\pi4+\pi n\lt x\lt\frac\pi4+\pi n,\ x\ne\pi n \end{cases} \)