Функция y = ctg x, её свойства и график

п.1. Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности на горизонтальной касательной, проведенной через точку (0;1), отображаются значения котангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется котангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=ctgx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривые продолжатся влево.

В результате получаем график y=ctgx для для всех x из области допустимых значений.

п.2. Свойства функции y=ctgx⁡

1. Область определения \(x\ne\pi k\) - множество действительных чисел, кроме точек, в которых \(sinx=0\).

2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений \(y\in\mathbb{R}\)

3. Функция нечётная $$ ctg(-x)=-ctgx $$

4. Функция периодическая с периодом π $$ ctg(x+\pi k)=ctgx $$

5. Функция стремится к \(-\infty\) при приближении слева к точкам \(x=\pi k\).
Приближение к точке a слева записывается как \(x\rightarrow a-0\) $$ \lim_{x\rightarrow \pi k-0} ctgx=-\infty $$ Функция стремится к \(+\infty\) при приближении справа к точкам \(x=\pi k\).
Приближение к точке a справа записывается как \(x\rightarrow a+0\) $$ \lim_{x\rightarrow \pi k+0} ctgx=+\infty $$ Нули функции \(y_{0}=0\) достигаются в точках \(x_0=\frac\pi2+\pi k\)

6. Функция убывает на всей области определения.

7. Функция имеет разрывы в точках \(x=\pi k\), через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами \((\pi k;\ \pi+\pi k)\) функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=ctgx на заданном промежутке:

a) \(\left[\frac{2\pi}{3}; \pi\right)\) $$ y_{min}=\lim_{x\rightarrow\pi-0}ctgx=-\infty,\ \ y_{max}=ctg\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}} $$ б) \(\left(0; \frac{\pi}{4}\right]\) $$ y_{min}=ctg\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\ \ y_{max}=\lim_{x\rightarrow +0}ctgx=+\infty $$ в) \(\left[\frac{7\pi}{6}; \frac{7\pi}{4}\right]\) $$ y_{min}=ctg\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-1,\ \ y_{max}=ctg\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\sqrt{3} $$

Пример 2. Решите уравнение:
a) \(ctgx=-\sqrt{3}\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac{5\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)

б) \(ctg\left(x+\frac\pi2\right)=0\)
\(x+\frac\pi2=\frac\pi2+\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)

в) \(ctg(2x)=1\)
\(2x=\frac\pi4+\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}\)

г) \(ctg\left(\frac{x}{3}-1\right)=-1\)
\(\frac{x}{3}-1=-\frac{\pi}{4}+\pi k\)
\(\frac{x}{3}=1-\frac{\pi}{4}+\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=3-\frac{3\pi}{4}+3\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)

Пример 3. Постройте графики функций: a) \(y(x)=x^2-2tgx\cdot ctgx\)

Произведение \(tgx\cdot ctgx=1\). При этом ограничивается область определения функции \(y(x)\), т.к. \(tgx\) и \(ctgx\) имеют разрывы. Точки разрыва отмечены на числовой окружности: \(x\ne\frac{\pi k}{2}\).

Получаем: $$ \begin{cases} x^2-2\\ x\ne\frac{\pi k}{2},\ \ k\in\mathbb{Z} \end{cases} $$ Строим график параболы и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.


б) \(y(x)=sin^2(tgx)+cos^2(tgx)-x\)

Сумма \(sin^2(tgx)+cos^2(tgx)=1\). При этом ограничивается область определения функции \(y(x)\), т.к. \(tgx\) имеeт разрывы. Точки разрыва отмечены на числовой окружности: \(x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k\).

Получаем: $$ \begin{cases} 1-x\\ x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \ k\in\mathbb{Z} \end{cases} $$ Строим график прямой и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.