Функция y = tg x, её свойства и график

п.1. Развертка тангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности на вертикальной касательной, проведенной через точку (1;0), отображаются значения тангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется тангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=tgx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривые продолжатся влево.

В результате получаем график y=tgx для для всех x из области допустимых значений.

п.2. Свойства функции y=tgx⁡

1. Область определения \(x\ne\frac\pi2+\pi k\) - множество действительных чисел, кроме точек, в которых \(cosx=0\).

2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений \(y\in\mathbb{R}\)

3. Функция нечётная $$ tg(-x)=-tgx $$

4. Функция периодическая с периодом π $$ tg(x+\pi k)=tgx $$

5. Функция стремится к \(+\infty\) при приближении слева к точкам \(x=\frac\pi2+\pi k\).
Приближение к точке a слева записывается как \(x\rightarrow a-0\) $$ \lim_{x\rightarrow\frac\pi2+\pi k-0} tgx=+\infty $$ Функция стремится к \(-\infty\) при приближении справа к точкам \(x=\frac\pi2+\pi k\).
Приближение к точке a справа записывается как \(x\rightarrow a+0\) $$ \lim_{x\rightarrow\frac\pi2+\pi k+0} tgx=-\infty $$ Нули функции \(y_{0}=0\) достигаются в точках \(x_0=\pi k\)

6. Функция возрастает на всей области определения.

7. Функция имеет разрывы в точках \(x=\frac\pi2+\pi k\), через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами \(\left(-\frac\pi2+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right)\) функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=tgx на заданном промежутке:

a) \(\left[\frac{2\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}\right)\) $$ y_{min}=tg\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\sqrt{3},\ \ y_{max}=\lim_{x\rightarrow\frac{3\pi}{2}-0}tgx=+\infty $$ б) \(\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right]\) $$ y_{min}=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}+0}tgx=-\infty,\ \ y_{max}=tg(\pi)=0 $$ в) \(\left[\frac{3\pi}{4}; \frac{7\pi}{6}\right]\) $$ y_{min}=tg\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1,\ \ y_{max}=tg\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

Пример 2. Решите уравнение:
a) \(tgx=-\sqrt{3}\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac{2\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)

б) \(tg\left(x-\frac\pi2\right)=0\)
\(x-\frac\pi2=\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)

в) \(tg(2x)=1\)
\(2x=\frac\pi4+\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}\)

г) \(tg\left(\frac{x}{3}-1\right)=-1\)
\(\frac{x}{3}-1=-\frac{\pi}{4}+\pi k\)
\(\frac{x}{3}=1-\frac{\pi}{4}+\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=3-\frac{3\pi}{4}+3\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)

Пример 3. Определите чётность функции: a) \(y(x)=4tgx+5sinx\)
$$ y(-x)=4tg(-x)+5sin(-x)=-4tgx-5sinx=-(4tgx+5sinx)=-y(x) $$ Функция нечётная.

б) \(y(x)=tgx-2cosx\)
$$ y(-x)=tg(-x)-2cos(-x)=-tgx-2cosx=-(tgx+2cosx)\ne \left[ \begin{array} -y(x)\\ y(x) \end{array} \right. $$ Функция ни чётная, ни нечётная.

в) \(y(x)=tg^2x+cos5x\)
$$ y(-x)=tg^2(-x)+cos(-5x)=(-tgx)^2+cos5x=tg^2x+cos5x)=y(x) $$ Функция чётная.

г) \(y(x)=x^2-tgx\)
$$ y(-x)=(-x)^2-tg(-x)=x^2+tgx\ne \left[ \begin{array} -y(x)\\ y(x) \end{array} \right. $$ Функция ни чётная, ни нечётная.

Пример 4. Если \(tg(7\pi-x)=\frac34\), то чему равны \(tgx,\ \ ctgx\)?
Т.к. период тангенса равен π, получаем: \begin{gather*} tg(7\pi-x)=tg(-x)=-tgx=\frac34\Rightarrow tgx=-\frac34\\ ctgx=\frac{1}{tgx}=-\frac43 \end{gather*} Ответ: \(-\frac34,\ \ -\frac43\)