Функция y = sin x, её свойства и график
п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла
При движении точки по числовой окружности её ордината является синусом соответствующего угла (см. §2 данного справочника).
Рассмотрим, как изменяется синус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=sinx на этом отрезке.
Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривая продолжится влево.
В результате получаем график y=sinx для любого \(x\in\mathbb{R}\).
Часть синусоиды для 0≤x≤2π называют волной синусоиды.
Часть синусоиды для 0≤x≤π называют полуволной или аркой синусоиды.
п.2. Свойства функции y=sinx
1. Область определения \(x\in\mathbb{R}\) - множество действительных чисел.
2. Функция ограничена сверху и снизу
$$ -1\leq sinx\leq 1 $$Область значений \(y\in[-1;1]\)
3. Функция нечётная
$$ sin(-x)=-sinx $$4. Функция периодическая с периодом 2π
$$ sin(x+2\pi k)=sinx $$5. Максимальные значения \(y_{max}=1\) достигаются в точках
$$ x=\frac\pi2+2\pi k $$Минимальные значения \(y_{min}=-1\) достигаются в точках
$$ x=-\frac\pi2+2\pi k $$Нули функции \(y_{0}=sinx_0=0\) достигаются в точках \(x_0=\pi k\)
6. Функция возрастает на отрезках
$$ -\frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac\pi2+2\pi k $$Функция убывает на отрезках
$$ \frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac{3\pi}{2}+2\pi k $$7. Функция непрерывна.
п.3. Примеры
Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=sinx на отрезке:
a) \(\left[\frac\pi6; \frac{3\pi}{4}\right]\) $$ y_{min}=sin\left(\frac\pi6\right)=\frac12,\ \ y_{max}=sin\left(\frac\pi2\right)=1 $$ б) \(\left[\frac{5\pi}{6}; \frac{5\pi}{3}\right]\) $$ y_{min}=sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,\ \ y_{max}=sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac12 $$
Пример 2. Решите уравнение графически:
a) \(sinx=3x\)
Один корень: x = 0
б) \(sinx=2x-2\pi\)
Один корень: x = π
в) \(sinx-\sqrt{x-\pi}=0\)
\(sinx=\sqrt{x-\pi}\) 
Один корень: x = π
г*) \(sinx=\left(x-\frac\pi2\right)^2-\frac{\pi^2}{4}\)
\(y=\left(x-\frac\pi2\right)^2-\frac{\pi^2}{4}\) – парабола ветками вверх, с осью симметрии \(x_0=\frac\pi2\) и вершиной \(\left(\frac\pi2; -\frac{\pi^2}{4}\right)\) (см. §29 справочника для 8 класса)
Два корня: \(x_1=0,\ \ x_2=\pi\)
Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx,\ \ y=-sinx,\ \ y=2sinx,\ \ y=sinx+2 $$ 
\(y=-sinx\) – отражение исходной функции \(y=sinx\) относительно оси OX. Область значений \(y\in[-1;1]\).
\(y=2sinx\) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений \(y\in[-2;2]\).
\(y=sinx+2\) - исходная функция поднимается вверх на 2. Область значений \(y\in[1;3]\).
Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx,\ \ y=sin2x,\ \ y=sin\frac{x}{2} $$ 
Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений \(y\in[-1;1]\).
Множитель под синусом изменяет период колебаний.
\(y=sin2x\) - период уменьшается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок \(0\leq x\leq \pi\).
\(y=sin\frac{x}{2}\) - период увеличивается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок \(0\leq x\leq 4\pi\).
