Функция y = cos x, её свойства и график
п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла
Развертка абсциссы движения точки по числовой окружности в функцию от угла (см. §2 данного справочника).
Рассмотрим, как изменяется косинус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=cosx на этом отрезке.
Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривая продолжится влево.
В результате получаем график y=cosx для любого \(x\in\mathbb{R}\).
Часть косинусоиды для –π≤x≤π называют волной косинусоиды.
Часть косинусоиды для \(-\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2\) называют полуволной или аркой косинусоиды.
Заметим, что термин «косинусоида» используется достаточно редко. Обычно, и в случае косинуса, говорят о «синусоиде».
п.2. Свойства функции y=cosx
1. Область определения \(x\in\mathbb{R}\) - множество действительных чисел.
2. Функция ограничена сверху и снизу $$ -1\leq cosx\leq 1 $$ Область значений \(y\in[-1;1]\)
3. Функция чётная $$ cos(-x)=cosx $$
4. Функция периодическая с периодом 2π $$ cos(x+2\pi k)=cosx $$
5. Максимальные значения \(y_{max}=1\) достигаются в точках $$ x=2\pi k $$ Минимальные значения \(y_{min}=-1\) достигаются в точках $$ x=\pi+2\pi k $$ Нули функции \(y_{0}=cosx_0=0\) достигаются в точках \(x=\frac\pi2 +\pi k\)
6. Функция возрастает на отрезках $$ -\pi+2\pi k\leq x\leq 2\pi k $$ Функция убывает на отрезках $$ 2\pi k\leq x\leq\pi+2\pi k $$
7. Функция непрерывна.
п.3. Примеры
Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=cosx на отрезке:
a) \(\left[\frac\pi6; \frac{3\pi}{4}\right]\) $$ y_{min}=cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\ \ y_{max}=cos\left(\frac\pi6\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} $$ б) \(\left[\frac{5\pi}{6}; \frac{5\pi}{3}\right]\) $$ y_{min}=cos(\pi)=-1,\ \ y_{max}=cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac12 $$
Пример 2. Решите уравнение графически:
a) \(cosx=\frac\pi2-x\)
Один корень: \(x=\frac\pi2\)
б) \(cosx-x=1\)
\(cosx=x+1\)
Один корень: x = 0
в) \(cosx-x^2=1\)
\(cosx=x^2+1\) 
Один корень: x = 0
г*) \(cosx-x^2+\frac{\pi^2}{4}=0\)
\(cosx=x^2-\frac{\pi^2}{4}\)
\(y=x^2-\frac{\pi^2}{4}\) – парабола ветками вверх, с осью симметрии \(x_0=0\) (ось OY) и вершиной \(\left(0; -\frac{\pi^2}{4}\right)\) (см. §29 справочника для 8 класса)
Два корня: \(x_{1,2}=\pm\frac\pi2\)
Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx,\ \ y=-cosx,\ \ y=2cosx,\ \ y=cosx-2 $$ 
\(y=-cosx\) – отражение исходной функции \(y=cosx\) относительно оси OX. Область значений \(y\in[-1;1]\).
\(y=2cosx\) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений \(y\in[-2;2]\).
\(y=cosx-2\) - исходная функция опускается вниз на 2. Область значений \(y\in[-3;-1]\).
Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx,\ \ y=cos2x,\ \ y=cos\frac{x}{2} $$ 
Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений \(y\in[-1;1]\).
Множитель под косинусом изменяет период колебаний.
\(y=cosx\) – главная арка косинуса соответствует отрезку \(-\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2\)
\(y=cos2x\) - период уменьшается в 2 раза, главная арка укладывается в отрезок \(-\frac\pi4\leq x\leq\frac\pi4\).
\(y=cos\frac{x}{2}\) - период увеличивается в 2 раза, главная арка растягивается в отрезок \(-\pi \leq x\leq \pi\).
