Формулы тройного и четырехкратного аргументов. Формулы понижения для куба и четвёртой степени

п.1. Формулы тройного аргумента

Выведем формулы тройного аргумента, исходя из формул суммы (см.§13 и §14 данного справочника) и двойного аргумента (см. §15 данного справочника).

\begin{gather*} sin3\alpha=sin(2\alpha+\alpha)=sin2\alpha cos\alpha+cos2\alpha sin\alpha=\\ =2sin\alpha cos^2\alpha+(cos^2\alpha-sin^2\alpha)sin\alpha=3sin\alpha cos^2\alpha-sin^3\alpha=\\ =3sin\alpha(1-sin^2\alpha)-sin^3\alpha=3sin\alpha-4sin^3\alpha\\ \\ cos3\alpha=cos(2\alpha+\alpha)=cos2\alpha cos\alpha-sin2\alpha sin\alpha=\\ =(cos^2\alpha-sin^2\alpha)cos\alpha-2sin^2\alpha cos\alpha=cos^3\alpha-3sin^2\alpha cos\alpha=\\ =cos^3\alpha-3(1-cos^2\alpha)cos\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha\\ \\ tg3\alpha=\frac{sin3\alpha}{cos3\alpha}=\frac{3sin\alpha cos^2\alpha-sin^3\alpha}{cos^3\alpha-3sin^2\alpha cos\alpha}=\frac{{3sin\alpha cos^2\alpha-sin^3\alpha}{cos^3\alpha}}{\frac{cos^3\alpha-3sin^2\alpha cos\alpha}{cos^3\alpha}}=\\ =\frac{3tg\alpha-tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}=\frac{tg\alpha(3-tg^2\alpha)}{1-3tg^2\alpha}\\ \\ ctg3\alpha=\frac{cos3\alpha}{sin3\alpha}=\frac{cos^3\alpha-3sin^2\alpha cos\alpha}{3sin\alpha cos^2\alpha-sin^3\alpha}=\frac{\frac{cos^3\alpha-3sin^2\alpha cos\alpha}{sin^3\alpha}}{\frac{3sin\alpha cos^2\alpha-sin^3\alpha}{sin^3\alpha}}=\\ =\frac{ctg^3\alpha-3ctg\alpha}{3ctg^2\alpha-1}=\frac{ctg\alpha(ctg^2\alpha-3)}{3ctg^2\alpha-1} \end{gather*}

п.2. Формулы понижения для куба

Из формулы для синуса тройного аргумента получаем: \begin{gather*} 4sin^3\alpha=3sin\alpha-sin3\alpha\\ sin^3\alpha=\frac{3sin\alpha-sin3\alpha}{4} \end{gather*} Из формулы для косинуса тройного аргумента получаем: \begin{gather*} 4cos^3\alpha=3cos\alpha+cos3\alpha\\ cos^3\alpha=\frac{3cos\alpha+cos3\alpha}{4} \end{gather*}

п.3. Формулы четырехкратного аргумента

\begin{gather*} sin4\alpha=2sin2\alpha cos2\alpha=4sin\alpha cos\alpha(cos^2\alpha-sin^2\alpha)\\ \\ cos4\alpha=2cos^2 2\alpha-1=2(2cos^2\alpha-1)^2-1=2(4cos^4\alpha-4cos^2\alpha+1)-1=\\ =8cos^4\alpha-8cos^2\alpha+1\\ \\ tg4\alpha=\frac{sin4\alpha}{cos4\alpha}=\frac{4sin\alpha cos\alpha(cos^2\alpha-sin^2\alpha)}{8cos^4\alpha-8cos^2\alpha+1}=\frac{\frac{4sin\alpha cos\alpha(cos^2\alpha-sin^2\alpha)}{cos^4\alpha}}{\frac{8cos^4\alpha-8cos^2\alpha+1}{cos^4\alpha}}=\\ =\frac{4tg\alpha(1-tg^2\alpha)}{8-\frac{8}{cos^2\alpha}+\frac{1}{cos^4\alpha}}=\frac{4tg\alpha(1-tg^2\alpha)}{8-8(1+tg^2\alpha)+(1+tg^2\alpha)^2}=\\ =\frac{4tg\alpha(1-tg^2\alpha)}{-8tg^2\alpha+1+2tg^2\alpha+tg^4\alpha}=\frac{4tg\alpha(1-tg^2\alpha)}{tg^4\alpha-6tg^2\alpha+1} \end{gather*} Умножим дробь вверху и внизу на котангенс в квадрате, чтобы получить более удобное для практики соотношение: \begin{gather*} 4tg\alpha=\frac{4tg\alpha(1-tg^2\alpha)}{tg^4\alpha-6tg^2\alpha+1}\cdot\frac{ctg^2\alpha}{ctg^2\alpha}=\frac{4(ctg\alpha-tg\alpha)}{tg^2\alpha+ctg^2\alpha-6} \end{gather*}

п.4. Формулы понижения для четвертой степени

Первый способ вывода
Из формулы для косинуса четырехкратного аргумента: \begin{gather*} 8cos^4\alpha=8cos^2\alpha-1+cos4\alpha=8\cdot\frac{1+cos2\alpha}{2}-1+cos4\alpha=3+4cos2\alpha+cos4\alpha\\ cos^4\alpha=\frac{3+4cos2\alpha+cos4\alpha}{8} \end{gather*} Из той же формулы: \begin{gather*} 8cos^4\alpha=8(1-sin^2\alpha)^2=3+4cos2\alpha+cos4\alpha\\ 8(1-2sin^2\alpha+sin^4\alpha)=3+4cos2\alpha+cos4\alpha\\ 8sin^4\alpha=3+4cos2\alpha+cos4\alpha-8+8(1-cos2\alpha)=3-4cos2\alpha+cos4\alpha\\ sin^2\alpha=\frac{3-4cos2\alpha+cos4\alpha}{8} \end{gather*}

Второй способ вывода
Из формул половинного аргумента: \begin{gather*} sin^4\alpha=(sin^2\alpha)^2=\left(\frac{1-cos2\alpha}{2}\right)^2=\frac{1-2cos2\alpha+cos^2 2\alpha}{4}=\\ =\frac{1-2cos2\alpha+\frac{1+cos4\alpha}{2}}{4}=\frac{2-4cos2\alpha+1+cos4\alpha}{8}=\frac{3-4cos2\alpha+cos4\alpha}{8}\\ cos^4\alpha=(cos^2\alpha)^2=\left(\frac{1+cos2\alpha}{2}\right)^2=\frac{1+2cos2\alpha+cos^2 2\alpha}{4}=\\ \frac{1+2cos2\alpha+\frac{1+cos4\alpha}{2}}{4}=\frac{2+4cos2\alpha+1+cos4\alpha}{8}=\frac{3+4cos2\alpha+cos4\alpha}{8} \end{gather*}

Формулы понижения степени полезны при решении тригонометрических уравнений, а также при интегрировании.

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите:
a) \(sin3\alpha\) и \(tg3\alpha\), если \(sin\alpha=\frac35,\ 0\lt\alpha\lt\frac\pi2\)
Угол α в 1-й четверти, косинус положительный: \(cos\alpha=\sqrt{1-sin^2\alpha}=\frac45\)
Тангенс тоже положительный: \(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac35 : \frac45=\frac34\)
Синус тройного угла: \begin{gather*} sin3\alpha=3sin\alpha-4sin^3\alpha=3\cdot\frac35-4\left(\frac35\right)^3=\frac{9\cdot 25-4\cdot 27}{125}=\frac{117}{125} \end{gather*} Тангенс тройного угла: \begin{gather*} tg3\alpha=\frac{3tg\alpha-tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}=\frac{3\cdot\frac34-\left(\frac34\right)^3}{1-3\cdot\left(\frac34\right)^2}=\frac{\frac{9\cdot 16-27}{64}}{1-\frac{27}{16}}=-\frac{117\cdot 11}{4}=-\frac{1287}{4} \end{gather*} Ответ: \(\frac{117}{125};\ \ -\frac{1287}{4}\)

б) \(cos4\alpha\) и \(ctg4\alpha\), если \(cos\alpha=-\frac13,\ \frac\pi2\lt\pi\)
Угол \(\alpha\) во 2-й четверти, синус положительный: \(sin\alpha=\sqrt{1-cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac19}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Тангенс: \(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{3} : \left(-\frac13\right)=-2\sqrt{2}\)
Косинус четырехкратного угла: \begin{gather*} cos4\alpha=8cos^4\alpha-8cos^2\alpha+1=8\cdot\left(-\frac13\right)^4-8\cdot\left(-\frac13\right)^2+1=\frac{8}{81}-\frac89+1=\\ =\frac{8-72+81}{81}=\frac{17}{81} \end{gather*} Котангенс четырехкратного угла: \begin{gather*} ctg4\alpha=\frac{tg^2\alpha+ctg^2\alpha-6}{4(ctg\alpha-tg\alpha)}=\frac{(-2\sqrt{2})^2+\left(\frac{1}{-2\sqrt{2}}\right)^2-6}{4\left(\frac{1}{-2\sqrt{2}}+2\sqrt{2}\right)}=\frac{8+\frac18-6}{\frac{-4(8-1)}{2\sqrt{2}}}=\\ =-\frac{17}{8} : \frac{14}{\sqrt{2}}=-\frac{17\sqrt{2}}{112} \end{gather*} Ответ: \(\frac{17}{81};\ \ -\frac{17\sqrt{2}}{112}\)

в) \(cos2\alpha\), если \(2cos3\alpha=cos\alpha\)
Решим уравнение: \begin{gather*} 2cos3\alpha=cos\alpha\Rightarrow 2(4cos^3\alpha-3cos\alpha)=cos\alpha\\ cos\alpha(8cos^2\alpha-7)=0\\ \left[ \begin{array}{l l} cos\alpha=0\\ 8cos^2\alpha-7=0 \end{array} \right. \end{gather*} В первом случае, если \(cos\alpha=0,\ sin\alpha=\pm1\). Косинус двойного угла: $$ cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=0-1=-1 $$ Во втором случае: \begin{gather*} 8cos^2\alpha-7=0\\ 8\cdot\frac{1+cos2\alpha}{2}-7=0\\ 4+4cos2\alpha-7=0\\ cos2\alpha=\frac34 \end{gather*} Получаем два варианта \(cos2\alpha=-1\) и \(cos2\alpha=\frac34\)
Ответ: \(\left\{-1;\ \frac34\right\}\)

Пример 2.Упростите выражение:
a) \begin{gather*} \frac{3-4cos2\alpha+cos4\alpha}{3+4cos2\alpha+cos4\alpha}=\frac{\frac{3-4cos2\alpha+cos4\alpha}{8}}{\frac{3+4cos2\alpha+cos4\alpha}{8}}=\frac{sin^4\alpha}{cos^4\alpha}=tg^2\alpha \end{gather*}
б) \begin{gather*} 4(sin^3\alpha-cos^3\alpha)-3(sin\alpha-cos\alpha)+sin3\alpha+cos3\alpha=\\ 4\left(\frac{3sin\alpha-sin3\alpha}{4}-\frac{3cos\alpha+cos3\alpha}{4}\right)-3(sin\alpha-cos\alpha)+sin3\alpha+cos3\alpha=\\ =3sin\alpha-sin3\alpha-3cos\alpha-cos3\alpha-3sin\alpha+3cos\alpha+sin3\alpha+cos3\alpha=0 \end{gather*}

Пример 3*.Найдите \(sin18^{\circ}\) и \(sin54^{\circ}\)
Найдем произведение \(sin18^{\circ}sin54^{\circ}\) \begin{gather*} sin18^{\circ}sin54^{\circ}=sin18^{\circ}sin(90^{\circ}-36^{\circ})=sin18^{\circ}cos36^{\circ}=\frac{sin18^{\circ}cos18^{\circ}cos36^{\circ}}{cos18^{\circ}}=\\ =\frac{sin36^{\circ}cos36^{\circ}}{2cos18^{\circ}}=\frac{sin72^{\circ}}{4cos18^{\circ}}=\frac{sin(90^{\circ}-18^{\circ})}{4cos18^{\circ}}=\frac{cos18^{\circ}}{4cos18^{\circ}}=\frac14 \end{gather*} С другой стороны \(54^{\circ}=3\cdot 18^{\circ}\) - тройной угол \begin{gather*} sin3\alpha=3sin\alpha cos^2\alpha-sin^3\alpha=3sin\alpha(1-sin^2\alpha)-sin^3\alpha=\\ =3sin\alpha-4sin^3\alpha \end{gather*} Обозначим \(t=sin18^{\circ}\). Получаем уравнение: \begin{gather*} t(3t-4t^3)=\frac14\Rightarrow 4t^4-3t^2+\frac14=0\\ D=(-3)^2-4\cdot 4\cdot\frac14=5\\ t^2=\frac{3\pm\sqrt{5}}{8} \end{gather*} По условию \(0\lt t\lt 1\). Подходят два корня: \(t_1=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{8}},\ \ t_2=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}}\) \begin{gather*} \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{8}}=\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{16}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\ \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}}=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{16}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}}{4}=\frac{\sqrt{5}+1}{4} \end{gather*} Для первого корня \(sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\) \begin{gather*} sin54^{\circ}=3\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}-4\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^3=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\left(3-4\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2\right)=\\ =\frac{\sqrt{5}-1}{4}\left(3-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\cdot\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{6\sqrt{5}-6+10-2\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\ sin54^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\gt sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \end{gather*} Для второго корня \(sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\) \begin{gather*} sin54^{\circ}=3\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{4}-4\left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^3=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\left(3-4\left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2\right)=\\ =\frac{\sqrt{5}+1}{4}\left(3-\frac{6+2\sqrt{5}}{4}\right)=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\cdot\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{6\sqrt{5}+6-10-2\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\ sin54^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\lt sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4} \end{gather*} Но синус возрастает в 1-й четверти, и \(sin54^{\circ}\gt sin18^{\circ}\). Поэтому второй корень не подходит.

Значит: \begin{gather*} sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4},\ \ sin54^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4} \end{gather*}