Формулы двойного и половинного аргумента. Универсальная подстановка

п.1. Формулы двойного аргумента

Выведем формулы двойного аргумента, исходя из формул суммы (см. §13 и §14 данного справочника)

\begin{gather*} sin2\alpha=sin(\alpha+\alpha)=sin\alpha cos\alpha+cos\alpha sin\alpha=2sin\alpha cos\alpha\\ cos2\alpha=cos(\alpha+\alpha)=cos\alpha cos\alpha-sin\alpha sin\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha\\ tg2\alpha=tg(\alpha+\alpha)=\frac{tg\alpha+tg\alpha}{1-tg\alpha\cdot tg\alpha}=\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha} \end{gather*}

Умножим полученное выражение на котангенс вверху и внизу дроби, и получим еще одно полезное выражение:

\begin{gather*} tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}=\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}\cdot{ctg\alpha}{ctg\alpha}=\frac{2}{ctg\alpha-tg\alpha}\\ ctg2\alpha=ctg(\alpha+\alpha)=\frac{ctg\alpha\cdot ctg\alpha-1}{ctg\alpha+ctg\alpha}=\frac{ctg^2\alpha-1}{2ctg\alpha}=\frac{ctg\alpha-tg\alpha}{2} \end{gather*}

Например:
Найдем \(sin2\alpha\) и \(tg2\alpha\), если \(sin\alpha=0,8,\ \frac\pi2\lt\alpha\lt\pi\)
Угол \(\alpha\) во 2-й четверти, косинус отрицательный:
\(cos\alpha=-\sqrt{1-sin^2\alpha}=-\sqrt{1-0,8^2}=-0,6\)
\(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{0,8}{-0,6}=-\frac43\)
Синус двойного угла: \(sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha=2\cdot 0,8\cdot(-0,6)=-0,96\)
Тангенс двойного угла: \(tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}=\frac{2\cdot \left(-\frac43\right)}{1-\left(-\frac43\right)^2}=\frac{-\frac83}{1-\frac{16}{9}}=\frac83 : \frac79=\frac83\cdot\frac97=\frac{24}{7}=3\frac37\)

п.2. Формулы половинного аргумента

По формуле двойного аргумента для косинуса: \(cos2\alpha=2cos^2\alpha-1\)
Заменим слева угол \(2\alpha\rightarrow \alpha\), а справа угол \(\alpha\rightarrow\frac{\alpha}{2}\).
Получаем: \begin{gather*} cos\alpha=2cos^2\frac{\alpha}{2}-1\Rightarrow 2cos^2\frac{\alpha}{2}=1+cos\alpha\Rightarrow cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos\alpha}{2} \end{gather*} Из другой формулы двойного аргумента для косинуса: \(cos2\alpha=1-2sin^2\alpha\), получаем: \begin{gather*} cos\alpha=1-2sin^2\frac{\alpha}{2}\Rightarrow 2sin^2\frac{\alpha}{2}=1-cos\alpha\Rightarrow sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{2} \end{gather*} Для квадрата тангенса и котангенса половинного угла: \begin{gather*} tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{sin^2\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha},\ \ \ ctg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{tg^2\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+cos\alpha}{1-cos\alpha} \end{gather*}

Например:
Найдем \(cos\frac{\alpha}{2}\) и \(ctg\frac{\alpha}{2}\), если \(sin\alpha=-\frac{-\sqrt{3}}{2},\ \pi\lt\alpha\lt\frac{3\pi}{2}\)
Угол \(\alpha\) в 3-й четверти, косинус отрицательный: \(cos\alpha=-\frac12\)
Половинный угол \(\frac\pi2\lt\frac{\alpha}{2}\lt\frac{3\pi}{4}\) во 2-й четверти, косинус отрицательный:
\(cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac12}{2}}=-\frac12\)
Котангенс тоже отрицательный:
\(ctg\frac{\alpha}{2}=-sqrt{\frac{1+cos\alpha}{1-cos\alpha}}=-\sqrt{\frac{1-\frac12}{1+\frac12}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

п.3. Формулы универсальной подстановки

Для тангенса формула универсальной подстановки получается из формулы двойного угла: $$ tg\alpha=\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1-tg^2\frac{\alpha}{2}} $$ Тогда котангенс через тангенс половинного угла: $$ ctg\alpha=\frac{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}{2tg\frac{\alpha}{2}} $$ Для синуса: $$ sin\alpha=2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}=2\frac{sin\frac{\alpha}{2}}{cos\frac{\alpha}{2}}cos^2\frac{\alpha}{2}=2tg\frac{\alpha}{2}cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}} $$ Для косинуса: $$ cos\alpha=\frac{sin\alpha}{tg\alpha}=\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}} : \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}} $$

Универсальная подстановка эффективна при решении тригонометрических уравнений, а также интегрировании.

п.4. Примеры

Пример 1. Вычислите:
a) \begin{gather*} 2cos\frac{\pi}{8}sin\frac{7\pi}{8}=2cos\frac{\pi}{8}sin\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)=2cos\frac{\pi}{8}sin\frac{\pi}{8}=sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{gather*}
б) \begin{gather*} 6cos^2\frac{\pi}{12}-3=3\left(2cos^2\frac{\pi}{12}-1\right)=3\cdot cos\frac{\pi}{6}=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{gather*}
в) \begin{gather*} cos^4\frac{23\pi}{12}-sin^4\frac{13\pi}{12}=cos^4\left(2\pi-\frac{\pi}{12}\right)-sin^4\left(\pi+\frac{\pi}{12}\right)=cos^4\frac{\pi}{12}-sin^4\frac{\pi}{12}=\\ =\left(cos^2\frac{\pi}{12}-sin^2\frac{\pi}{12}\right)\underbrace{\left(cos^2\frac{\pi}{12}+sin^2\frac{\pi}{12}\right)}_{=1}=cos^2\frac{\pi}{12}-sin^2\frac{\pi}{12}=cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gather*}
г) \begin{gather*} ctg\frac{7\pi}{8}+tg\frac{7\pi}{8}=ctg\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)+tg\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)=-ctg\frac{\pi}{8}-tg\frac{\pi}{8}=\\ =-\left(\frac{cos\frac{\pi}{8}}{sin\frac{\pi}{8}}+\frac{sin\frac{\pi}{8}}{cos\frac{\pi}{8}}\right)=-\frac{cos^2\frac{\pi}{8}+sin^2\frac{\pi}{8}}{sin\frac{\pi}{8}\cdot cos\frac{\pi}{8}}=-\frac{1}{\frac12 sin\frac{\pi}{4}}=-\frac{1}{\frac12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{4}{\sqrt{2}}=-2\sqrt{2} \end{gather*}
д) \begin{gather*} \frac{1+ctg15^{\circ}}{1-ctg15^{\circ}}=\frac{1+ctg15^{\circ}}{1-ctg15^{\circ}}\cdot \frac{sin15^{\circ}}{sin15^{\circ}}=\frac{sin15^{\circ}+cos15^{\circ}}{sin15^{\circ}-cos15^{\circ}}=\\ =\frac{(sin15^{\circ}+cos15^{\circ})^2}{(sin15^{\circ}-cos15^{\circ})(sin15^{\circ}+cos15^{\circ})}=\frac{sin^2 15^{\circ}+2sin15^{\circ}cos15^{\circ}+cos^2 15^{\circ}}{sin^2 15^{\circ}-cos^2 15^{\circ}}=\\ =-\frac{1+2sin15^{\circ}cos15^{\circ}}{cos^2 15^{\circ}-sin^2 15^{\circ}}=-\frac{1+sin30^{\circ}}{cos30^{\circ}}=-\frac{1+\frac12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3} \end{gather*}
e*) \begin{gather*} sin\frac{\pi}{10}sin\frac{3\pi}{10}=\frac{2cos\frac{\pi}{10}}{2cos\frac{\pi}{10}}\cdot sin\frac{\pi}{10}sin\frac{3\pi}{10}=\frac{\left(2cos\frac{\pi}{10}sin\frac{\pi}{10}\right)}{2cos\frac{\pi}{10}}sin\frac{3\pi}{10}=\\ =\frac{sin\frac{\pi}{5}}{2cos\frac{\pi}{10}}sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)=\frac{sin\frac{\pi}{5}cos\frac{\pi}{5}}{2cos\frac{\pi}{10}}=\frac{sin\frac{2\pi}{5}}{4cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{5}\right)}=\frac{sin\frac{2\pi}{5}}{4sin\frac{2\pi}{5}}=\frac14 \end{gather*}

Пример 2.Упростите выражение:
a) \begin{gather*} \frac{1-tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}=\frac{1-tg^2\alpha}{\frac{1}{cos^2\alpha}}=(1-tg^2\alpha)cos^2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=cos2\alpha \end{gather*}
б) \begin{gather*} cos^4\left(2\alpha+\frac{5\pi}{2}\right)-sin^4\left(2\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)=cos^4\left(2\alpha+2\pi+\frac{\pi}{2}\right)-sin^4\left(2\alpha-2\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\\ =cos^4\left(2\alpha+\frac{\pi}{2}\right)-sin^4\left(2\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=sin^4 2\alpha-cos^4 2\alpha=\\ =(sin^2 2\alpha-cos^2 2\alpha)\underbrace{(sin^2 2\alpha+cos^2 2\alpha)}_{=1}=sin^2 2\alpha-cos^2 2\alpha=-cos4\alpha \end{gather*}
в) \begin{gather*} sin2\alpha+2sin^2\left(\alpha-\frac{5\pi}{4}\right)=sin2\alpha+1-cos\left(2\left(\alpha-\frac{5\pi}{4}\right)\right)=\\ =sin2\alpha+1-cos\left(2\alpha-\frac{5\pi}{2}\right)=sin2\alpha+1-cos\left(2\alpha-2\pi-\frac\pi2\right)=\\ =sin2\alpha+1-cos\left(2\alpha-\frac\pi2\right)=sin2\alpha+1-sin2\alpha=1 \end{gather*}
г) \begin{gather*} \frac{ctg\alpha(sin2\alpha-sin\alpha)}{cos2\alpha-cos\alpha+1}=\frac{\frac{cos\alpha}{sin\alpha}(2sin\alpha cos\alpha-sin\alpha)}{cos2\alpha-cos \alpha+1}=\frac{cos\alpha(2cos\alpha-1)}{cos2\alpha-cos\alpha+1}=\\ =\frac{2cos^2\alpha-cos\alpha}{2cos^2\alpha-1-cos\alpha+1}=\frac{2cos^2\alpha-cos\alpha}{2cos^2\alpha-cos\alpha}=1 \end{gather*}
д) \begin{gather*} \frac{tg^2\left(2\alpha-\frac\pi4\right)-1}{tg^2\left(2\alpha-\frac{5\pi}{4}\right)+1}=\frac{tg^2\left(2\alpha-\frac\pi4\right)-1}{tg^2\left(2\alpha-\frac\pi4-\pi\right)+1}=\frac{tg^2\left(2\alpha-\frac\pi4\right)-1}{tg^2\left(2\alpha-\frac\pi4\right)+1}=\\ =\left(tg^2\left(2\alpha-\frac\pi4\right)-1\right)cos^2\left(2\alpha-\frac\pi4\right)=sin^2\left(2\alpha-\frac\pi4\right)-cos^2\left(2\alpha-\frac\pi4\right)=\\ =-cos2\left(2\alpha-\frac\pi4\right)=-cos\left(4\alpha-\frac\pi2\right)=-sin4\alpha \end{gather*}

Пример 3.Найдите:
a) \(sin2\alpha\) и \(ctg2\alpha\), если \(cos\alpha=\frac{12}{13},\ -\frac\pi2\lt\alpha\lt 0\)
Угол \(\alpha\) в 4-й четверти, синус отрицательный: \(sin\alpha=-\sqrt{1-cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=-\frac{5}{13}\)
Котангенс: \(ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{12}{13} : \left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{12}{5}=-2,4\)
Синус двойного угла: \(sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha=2\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)\cdot \frac{12}{13}=-\frac{120}{169}\)
Котангенс двойного угла: \(ctg2\alpha=\frac{ctg^2\alpha-1}{2ctg\alpha}=\frac{\left(-\frac{12}{5}\right)^2-1}{2\cdot\left(-\frac{12}{5}\right)}=\frac{144-25}{25} : \left(-\frac{24}{5}\right)=-\frac{119}{5\cdot 24}=-\frac{119}{120}\)
Ответ: \(-\frac{120}{169}\) и \(-\frac{119}{120}\)

б) \(tg^2\left(\frac\pi4+\alpha\right)\), если \(sin2\alpha=\frac15\) \begin{gather*} tg^2\left(\frac\pi4+alpha\right)=\left(tg\left(\frac\pi4+alpha\right)\right)^2=\left(\frac{tg\frac\pi4+tg\alpha}{1-tg\frac\pi4\cdot tg\alpha}\right)^2=\left(\frac{1+tg\alpha}{1-tg\alpha}\right)^2=\\ =\left(\frac{1+tg\alpha}{1-tg\alpha}\cdot \frac{cos\alpha}{cos\alpha}\right)^2=\left(\frac{cos\alpha+sin\alpha}{cos\alpha-sin\alpha}\right)^2=\frac{cos^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha+sin^2\alpha}{cos^2\alpha-2sin\alpha cos\alpha+sin^2\alpha}=\\ =\frac{1+2sin\alpha cos\alpha}{1-2sin\alpha cos\alpha}=\frac{1+sin2\alpha}{1-sin2\alpha} \end{gather*} Подставляем:
\(tg^2\left(\frac\pi4+\alpha\right)=\frac{1+\frac15}{1-\frac15}=\frac64=1,5\)
Ответ: 1,5

в) \( \frac{sin(60^{\circ}+\alpha)}{4sin\left(15^{\circ}+\frac\alpha4\right)sin\left(75^{\circ}-\frac\alpha4\right)}\), если \(sin\left(30^{\circ}+\frac\alpha2\right)=0,8,\ \ 0^{\circ}\lt\alpha\lt 90^{\circ}\) \begin{gather*} \frac{sin(60^{\circ}+\alpha)}{4sin\left(15^{\circ}+\frac\alpha4\right)sin\left(75^{\circ}-\frac\alpha4\right)}=\frac{sin(60^{\circ}+\alpha)}{4sin\left(15^{\circ}+\frac\alpha4\right)sin\left(90^{\circ}-\left(15^{\circ}+\frac\alpha4\right)\right)}=\\ =\frac{sin(60^{\circ}+\alpha)}{4sin\left(15^{\circ}+\frac\alpha4\right)cos\left(15^{\circ}+\frac\alpha4\right)}=\frac{sin(60^{\circ}+\alpha)}{2sin\left(2\left(15^{\circ}+\frac\alpha4\right)\right)}=\frac{sin(60^{\circ}+\alpha)}{2sin\left(30^{\circ}+\frac\alpha2\right)}=\\ =\frac{2sin\left(30^{\circ}+\frac\alpha2\right)cos\left(30^{\circ}+\frac\alpha2\right)}{2sin\left(30^{\circ}+\frac\alpha2\right)}=cos\left(30^{\circ}+\frac\alpha2\right) \end{gather*} Нужно найти косинус при известном синусе. $$ 0^{\circ}\lt\alpha\lt 90^{\circ}\Rightarrow\ 0^{\circ}\lt\frac\alpha2\lt 45^{\circ}\Rightarrow\ 30^{\circ}+\frac\alpha2\lt 75^{\circ} $$ Угол \(\left(30^{\circ}+\frac\alpha2\right)\) в 1-й четверти, косинус положительный:
$$ cos\left(30^{\circ}+\frac\alpha2\right)=\sqrt{1-sin^2\left(30^{\circ}+\frac\alpha2\right)}=\sqrt{1-0,8^2}=0,6 $$ Ответ: 0,6

г) \( sin2\alpha\), если \(\frac{2cos\alpha+3\sin\alpha}{3cos\alpha-2sin\alpha}=-2\) \begin{gather*} \frac{2cos\alpha+3\sin\alpha}{3cos\alpha-2sin\alpha}=\frac{\frac{2cos\alpha+3\sin\alpha}{cos\alpha}}{\frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{cos\alpha}}=\frac{2+3tg\alpha}{3-2tg\alpha}=-2\\ 2+3tg\alpha=-2(3-2tg\alpha)\\ 3tg\alpha-4tg\alpha=-6-2\\ tg\alpha=8\\ sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha=2\frac{sin\alpha}{cos\alpha}cos^2\alpha=2tg\alpha\cdot cos^2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1+tg^2\alpha} \end{gather*} Подставляем: \(sin2\alpha=\frac{2\cdot 8}{1+8^2}=\frac{16}{65}\)
Ответ: \(\frac{16}{65}\)

Пример 4*.Упростите:
a) \( cos\frac{\pi}{33}cos\frac{2\pi}{33}cos\frac{4\pi}{33}cos\frac{8\pi}{33}cos\frac{16\pi}{33} \)
Умножим и разделим на \(sin\frac{\pi}{33}\): \begin{gather*} \frac{sin\frac{\pi}{33}cos\frac{\pi}{33}}{sin\frac{\pi}{33}}cos\frac{2\pi}{33}cos\frac{4\pi}{33}cos\frac{8\pi}{33}cos\frac{16\pi}{33}=\frac{sin\frac{2\pi}{33}cos\frac{2\pi}{33}}{2sin\frac{\pi}{33}}cos\frac{4\pi}{33}cos\frac{8\pi}{33}cos\frac{16\pi}{33}=\\ =\frac{sin\frac{4\pi}{33}cos\frac{4\pi}{33}}{4sin\frac{\pi}{33}}cos\frac{8\pi}{33}cos\frac{16\pi}{33}=\frac{sin\frac{8\pi}{33}cos\frac{8\pi}{33}}{8sin\frac{\pi}{33}}cos\frac{16\pi}{33}=\frac{sin\frac{16\pi}{33}cos\frac{16\pi}{33}}{16sin\frac{\pi}{33}}=\\ =\frac{sin\frac{32\pi}{33}}{32sin\frac{\pi}{33}}=\frac{sin\left(\pi-\frac{\pi}{33}\right)}{32sin\frac{\pi}{33}}=\frac{sin\frac{\pi}{33}}{32sin\frac{\pi}{33}}=\frac{1}{32} \end{gather*} Ответ: \(\frac{1}{32}\)

б) \( sin18^{\circ}sin54^{\circ} \) \begin{gather*} sin18^{\circ}sin54^{\circ}=sin18^{\circ}sin(90^{\circ}-36^{\circ})=sin18^{\circ}cos36^{\circ}=\frac{sin18^{\circ}cos18^{\circ}cos36^{\circ}}{cos18^{\circ}}=\\ =\frac{sin36^{\circ}cos36^{\circ}}{2cos18^{\circ}}=\frac{sin72^{\circ}}{4cos18^{\circ}}=\frac{sin72^{\circ}}{4cos18^{\circ}}=\frac{sin(90^{\circ}-18^{\circ})}{4cos18^{\circ}}=\frac{cos18^{\circ}}{4cos18^{\circ}}=\frac14 \end{gather*} Ответ: \(\frac14\)

в) \( \sqrt{2+\sqrt{2+2cos4\alpha}} \), где \(0\le \alpha\le\frac\pi2\) \begin{gather*} \sqrt{2+\sqrt{2+2cos4\alpha}}=\sqrt{2+\sqrt{2(1+cos4\alpha)}}=\sqrt{2+\sqrt{2\cdot 2cos^2 2\alpha}}=\\ =\sqrt{2+2\cdot |cos2\alpha|}=\sqrt{2(1+|cos2\alpha|)}= \left[ \begin{array} {l l} \sqrt{2(1+cos2\alpha)},\ \ cos2\alpha\geq 0\\ \sqrt{2(1-cos2\alpha)},\ \ cos2\alpha\lt 0 \end{array} \right. =\\ = \left[ \begin{array} {l l} \sqrt{2\cdot 2cos^2\alpha},\ \ 0\leq 2\alpha\leq\frac\pi2\\ \sqrt{2\cdot 2sin^2\alpha},\ \ \frac\pi2\lt 2\alpha\leq \pi \end{array} \right. = \left[ \begin{array} {l l} 2cos\alpha,\ \ 0\leq \alpha\leq\frac\pi4\\ 2sin\alpha,\ \ \frac\pi4\lt \alpha\leq \frac\pi2 \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(2cos\alpha\) при \(0\leq \alpha\leq\frac\pi4;\ \ 2sin\alpha\) при \(\frac\pi4\lt \alpha\leq \frac\pi2\)
г) \( 4(sin^4x+cos^4x)-4(sin^6x+cos^6x)-1 \)
Основное тригонометрическое тождество: \(sin^2x+cos^2x=1\)
Возведём в квадрат: \begin{gather*} (sin^2x+cos^2x)^2=sin^4x+cos^4x+2sin^2x cos^2x=1\\ sin^4x+cos^4x=1-\frac{(2sinx cosx)^2}{2}=1-\frac{sin^2 2x}{2} \end{gather*} Возведём в куб: \begin{gather*} (sin^2x+cos^2x)^3=sin^6x+cos^6x+3sin2x cos^4x+3sin^4x cos^2x=1\\ sin^6x+cos^6x = 1-3sin^2x cos^2x\underbrace{(cos^2x+sin^2x)}_{=1}=\\ =1-\frac34(2sinx cosx)^2=1-\frac{3sin^2 2x}{4} \end{gather*}

Подставляем: \begin{gather*} 4\left(1-\frac{sin^2 2x}{2}\right)-4\left(1-\frac{3sin^2 2x}{4}\right)=1=4-2sin^2 2x-4+3sin^2 2x-1=\\ =sin^2 2x-1=-cos^2 2x \end{gather*} Ответ: \(-cos^2 2x\)