Десятичные и натуральные логарифмы

п.1. Десятичный логарифм и его свойства

Основание десятичных логарифмов \(10\gt 1\), поэтому они обладают всеми свойствами логарифмов с основанием больше единицы (см. §30 данного справочника).

Но у десятичных логарифмов есть также целых ряд дополнительных свойств, благодаря которым в докомпьютерную эпоху они широко использовались для трудоемких вычислений. Роль калькулятора тогда выполняли логарифмическая таблица и логарифмическая линейка.

О стандартном виде числа, см. §41 справочника для 8 класса.

Например:

\(\lg 4,2\approx 0.623\)

Если использовать унифицированную запись, как в представленной таблице, то мантисса всегда лежит в промежутке \(0\lt \lg a\lt 1\). У чисел, отличающихся только порядком, мантисса одинакова. Можно составить таблицы мантисс и пользоваться ими для умножения и деления, «разбавляя» их несложным сложением и вычитанием целых характеристик по необходимости.

Первые таблицы логарифмов были изданы в 1617 году оксфордским математиком Бригсом. Таблицы пересчитывались, дополнялись и переиздавались вплоть до 70-х гг. ХХ века, когда на столах стали появляться калькуляторы.
Таблицы Брадиса, которыми по традиции пользуются наши школьники с 1921 года, издаются до сих пор и постепенно перекочевывают в Интернет.

Непосредственная связь десятичных логарифмов с десятичной системой исчисления делает их удобным инструментом для оценки порядка числа и сравнения чисел.

В практике приближенных вычислений используется следующая оценочная таблица:

Относительная погрешность этих приближений (кроме \(\lg 3)\) \(\delta\sim 0,5\text{%}\)

Например:
Сравним \(\log_23\) и \(log_5⁡8\)
Сравнивая с помощью оценки, получаем: \begin{gather*} \log_23=\frac{\lg 3}{\lg 2}\approx\frac{0,5}{0,3}=\frac53,\ \ \log_58=\frac{\lg 8}{\lg 5}\approx\frac{0,9}{0,7}=\frac97\\ \frac{35}{21}\gt \frac{27}{21}\Rightarrow \frac53\gt \frac97\Rightarrow\log_23\gt\log_58 \end{gather*}

п.2. Натуральный логарифм и его свойства

Число e≈2,71828… - это математическая константа, число иррациональное и трансцендентное, которое появляется при описании моделей нашего мира ничуть не реже числа \(\pi\). Мы познакомимся с ним подробней, изучая пределы и производные.

Основание натуральных логарифмов e>1, поэтому они обладают всеми свойствами логарифмов с основанием больше единицы (см. §30 данного справочника).

Для приближенного вычисления значения натурального логарифма используется «ряд Меркатора»:

Например:
С точностью до первого слагаемого: \(\ln 1,3=\ln(1+0,3)\approx 0,3\)
До второго слагаемого: \(\ln 0,3\approx 0,3-\frac{0,3^2}{2}=0,255\)
До третьего слагаемого: \(\ln 0,3\approx 0,3-\frac{0,3^2}{2}+\frac{0,3^3}{3}=0,264\) и т.д.

Натуральные логарифмы настолько распространены в различных областях научных исследований, что когда вообще речь заходит «логарифмах», по умолчанию подразумевают именно их. Если же у вас в работе какие-то другие «логарифмы» (по основанию 2 или 10, например), это нужно уточнять.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите \(x\):
a) \( \lg x=2\lg a+\lg 7 \)
\(\lg x=\lg a^2+\lg 7=\lg(7a^2)\)
\(x=7a^2\)

б) \( \lg x=2\lg(a+c)-3\lg(a-c) \)
\(\lg x =\lg(a+c)^2-\lg(a-c)^3=\lg\frac{(a+c)^2}{(a-c)^3}\)
\(x=\frac{(a+c)^2}{(a-c)^3}\)

в) \( \lg x=\frac13\lg 54+\lg 5-\frac13\lg 16 \) \( \lg x=\lg 54^{\frac13}+\lg 5-\lg 16^{\frac13}=\lg\frac{54^{\frac13}\cdot 5}{16^3}= \lg\frac{(27\cdot 2)^{\frac13}\cdot 5}{(2^4)^{\frac13}} = \lg\frac{3\cdot 2^{\frac13}\cdot 5}{2^{\frac43}} = \lg\frac{15}{2} =\lg 7,5 \)
\(x=7,5\)

г) \( \lg x=\lg\sqrt[{3}]{2-\sqrt{3}}+\lg\sqrt[6]{7+4\sqrt{3}} \)
\(\lg\left(\sqrt[{3}]{2-\sqrt{3}}\cdot \sqrt[6]{7+4\sqrt{3}}\right)\)
Преобразуем выражение в скобках: \begin{gather*} \sqrt[{3}]{2-\sqrt{3}}\cdot \sqrt[6]{7+4\sqrt{3}} = \sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2(7+4\sqrt{3})} = \sqrt[6]{(4-4\sqrt{3}+3)(7+4\sqrt{3})} = \\ =\sqrt[6]{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} = \sqrt[6]{7^2-(4\sqrt{3})^2}=\sqrt[6]{49-48}=1 \end{gather*} \(\lg x=\lg 1\)
\(x=1\)

Пример 2. Прологарифмируйте по основанию 10:
a) \(x=\frac{3a^2\sqrt[3]{b^7}}{c^5(a-b)}\) \begin{gather*} \lg x=\lg\frac{3a^2\sqrt[3]{b^7}}{c^5(a-b)}=\lg 3+\lg a^2+\lg\sqrt[3]{b^7}-\lg c^5-\lg(a-b)=\\ =\lg 3+2\lg a+\frac73\lg b-5\lg c-\lg(a-b) \end{gather*}

б*) \(x=\frac{\sqrt[3]{100\sqrt{10a\sqrt[4]{0,1a^2}}}}{10\sqrt{0,1a}}\) \begin{gather*} \lg x=\lg\frac{\sqrt[3]{100\sqrt{10a\sqrt[4]{0,1a^2}}}}{10\sqrt{0,1a}} = \lg\sqrt[3]{100\sqrt{10a\sqrt[4]{0,1a^2}}} - \lg 10\sqrt{0,1a}=\\ =\frac13\lg\left(100\sqrt{10a\sqrt[4]{0,1a^2}}\right)-(\lg 10+\lg\sqrt{0,1a})=\frac13\left(\lg 100+\lg\sqrt{10a\sqrt[4]{0,1a^2}}\right)-\\ -\left(1+\frac12\lg(0,1a)\right)=\frac13\left(2+\frac12\lg(10a\sqrt[4]{0,1a^2})\right)-\left(1+\frac12(\lg 0,1+\lg a)\right)=\\ =\frac23+\frac32\left(\lg 10+\lg a+\lg\sqrt[4]{0,1a^2}\right)-1-\frac12\cdot(-1)-\frac12\lg a=\\ =\left(\frac23+\frac32-1+\frac12\right)+\left(\frac32-\frac12\right)\lg a+\frac32\cdot \frac14(\lg 0,1+\lg a^2)=\\ =\frac53+\lg a+\frac38\cdot(-1)+\frac38\cdot 2\lg a=\left(\frac53-\frac38\right) + \left(1+\frac34\right)\lg a=\frac{31}{24}+\frac74\lg a \end{gather*} Заметим, что попутно мы получили упрощенное выражение для \(x=10^{\frac{31}{24}}\cdot a^{\frac74}.\)
Логарифмирование удобно для ‘сборки» запутанных степеней.

Пример 3. Найдите значение выражения:
a) \(\log_{\sqrt{\sqrt{3}+2}}(4\sqrt{3}+7)^{\frac13}\)
Заметим, что \((\sqrt{3}+2)^2=3+4\sqrt{3}+4=4\sqrt{3}+7\)
Тогда \(\sqrt{\sqrt{3}+2}=(\sqrt{3}+2)^{\frac12}=\left(\sqrt{4\sqrt{3}+7}\right)^{\frac12}=(4\sqrt{3}+7)^{\frac14}\)
Перейдем к десятичному основанию: \begin{gather*} \log_{\sqrt{\sqrt{3}+2}}(4\sqrt{3}+7)^{\frac13} = \frac{\lg(4\sqrt{3}+7)^{\frac13}}{\lg\sqrt{\sqrt{3}+2}} = \frac{\frac13\lg(4\sqrt{3}+7)}{\lg(4\sqrt{3}+7)^{\frac14}} = \frac{\frac13\lg(4\sqrt{3}+7)}{\frac14\lg(4\sqrt{3}+7)}=\frac43 \end{gather*} Ответ: \(\frac43\)

б) \(\log_{\sqrt{2}+1}(5\sqrt{2}-7)\)
Заметим, что: \((\sqrt{2}-1)^3=2\sqrt{2}-3\cdot 2+3\sqrt{2}-1=5\sqrt{2}-7\) $$ (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1\Rightarrow \sqrt{2}+1=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=(\sqrt{2}-1)^{-1} $$ Перейдем к десятичному основанию: $$ \log_{\sqrt{2}+1}(5\sqrt{2}-7)=\lg\frac{(5\sqrt{2}-7)}{\lg(\sqrt{2}+1)}=\frac{\lg(\sqrt{2}-1)^3}{\lg(\sqrt{2}-1)^{-1}}= \frac{3\lg(\sqrt{2}-1)-1}{-\lg(\sqrt{2}-1)}=-3 $$ Ответ: -3
Заметим, что переход к десятичному основанию в этих примерах не обязателен.
Но он значительно упрощает запись и облегчает решение.

Пример 4*. Постройте (с помощью какого-либо математического приложения или собственной программы) в одной системе координат для \(-1\lt x\leq 1\) график \(y=\ln⁡(1+x)\) и его приближения по ряду Меркатора: $$ y=x,\ \ y=x-\frac{x^2}{2},\ \ y=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} $$ Сделайте выводы.

Чем больше слагаемых в ряду, тем ближе соответствующая кривая к графику логарифма, тем точнее результат. В данном случае ближе всего к кривой \(y=\ln⁡(1+x)\) расположена кубическая парабола \(y=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\).
Чем меньше модуль \(|x|\), тем точнее приближение. Визуально, уже в окрестности \(|x|\lt 0,2\) квадратичная и кубическая парабола дают хорошую точность приближения.
Приближение 1-го порядка \((\ln(1+x)\approx x)\) довольно грубое, но может использоваться для предварительной оценки.

Расчет относительной погрешности приближения на границах окрестностей \(|x|\lt 0,1\) и \(|x|\lt 0,2\) представлен в таблице: