Число e. Замечательные пределы

п.1. Первый замечательный предел

Исследуем поведение функции \(f(x)=\frac{sinx}{x}\) вблизи \(x_0=0\).
Построим график.

Заполним таблицу со значениями \(f(x)\) непосредственно вблизи \(x_0=0\).

В самой точке 0 возникает неопределенность \(\left[\frac00\right]\), но при приближении к ней с обеих сторон значение функции стремится к 1. Можем записать: $$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1 $$ Это равенство называют первым замечательным пределом.

п.2. Раскрытие неопределенностей \(\left[\frac00\right]\) с тригонометрическими функциями

Из первого замечательного предела с помощью тригонометрических преобразований можно получить другие пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tgx}{x}=1,\ \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{arctgx}{x}=1\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx}{x}=1,\ \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{\frac{x^2}{2}}=1 \end{gather*} Все полученные формулы используются для раскрытия неопределенностей [0/0] при поиске пределов функций с тригонометрическими компонентами.

Например:
Найдем предел \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos4x}{x^2}\) \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos4x}{x^2} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^2 2x}{x^2}= 2\lim_{x\rightarrow 0}\left(\left(\frac{sin2x}{x}\right)\cdot\left(\frac{sin2x}{x}\right)\right)=\\ =2\cdot 4\lim_{x\rightarrow 0}\left(\left(\frac{sin2x}{2x}\right)\cdot\left(\frac{sin2x}{2x}\right)\right)= 8\cdot\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin2x}{2x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin2x}{2x}=8\cdot 1\cdot 1=8 \end{gather*} Ответ: 8

п.3. Второй замечательный предел

Исследуем поведение функции \(f(x)=\left(1+\frac1x\right)^x\) при \(x\rightarrow\pm\infty\)
Построим график.

Заполним таблицу со значениями \(f(x)\) для больших по модулю x.

На бесконечностях функция стремится к одному и тому же значению \begin{gather*} e=2,7182818284\\ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e \end{gather*} Это равенство называют вторым замечательным пределом.
Число e часто называют числом Эйлера.
Бесконечность пишется без знаков, т.к. равенство справедливо как при \(x\rightarrow -\infty\), так и при \(x\rightarrow +\infty\).

п.4. Раскрытие неопределенности \(\left[1^{\infty}\right]\)

Если учесть, что \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1x=0\), тогда второй замечательный предел $$ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=\left[1^{\infty}\right]=e $$ дает ответ, чему равна единица в степени \(\infty\). Поэтому его можно использовать для раскрытия неопределенностей, сводящихся к \(\left[1^{\infty}\right]\).

Из второго замечательного предела с помощью преобразований для показательных и логарифмических функций можно получить другие полезные пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac1x}=e,\ \ \lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac kx\right)^x=e^k\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,\ \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1 \end{gather*} Для тех, кто заинтересовался, строгое доказательство замечательных пределов и их следствий можно найти в университетских учебниках по математическому анализу. Ваших знаний уже достаточно, чтобы полностью разобраться с этими вопросами.

Например:
Найдем предел \(\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x+6}{x-2}\right)^{3x+2}\)
Т.к. \(\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x+6}{x-2}\) и \(\lim_{x\rightarrow \infty}(3x+2)=\infty\), получаем неопределенность \(\left[1^{\infty}\right]\).
Выделим целую часть из основания степени: $$ \frac{x+6}{x-2}=\frac{(x-2)+8}{x-2}=\frac{x-2}{x-2}+\frac{8}{x-2}=1+\frac{8}{x-2} $$ Получаем: $$ \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x+6}{x-2}\right)^{3x+2} = \lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{8}{x-2}\right)^{3x+2} =\left[1^{\infty}\right] $$ Замена переменных: \(\frac1t=\frac{8}{x-2},\ t\rightarrow\infty\). Тогда \(x=8t+2\). \begin{gather*} \lim_{t\rightarrow \infty}\left(1+\frac1t\right)^{3(8t+2)+2}= \lim_{t\rightarrow \infty}\left(1+\frac1t\right)^{24t+8} = \left(\lim_{t\rightarrow \infty}\left(1+\frac1t\right)^t\right)^{24}\cdot \lim_{t\rightarrow \infty}\left(1+\frac1t\right)^8=\\ =e^{24}\cdot 1^8=e^{24} \end{gather*} Здесь мы использовали \(1^{\infty}=e\) и \(1^8=1\).
Ответ: \(e^{24}\)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите значения пределов, используя первый замечательный предел:
a) \( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{xsinx} \) \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{xsinx}=\left[\frac00\right]=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^2\frac x2}{x^2\underbrace{\frac{sinx}{x}}_{=1}}=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2\frac x2}{x^2}=2\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{sin\frac x2}{2\cdot\frac x2}\cdot\frac{sin\frac x2}{2\cdot\frac x2}\right)=\\ =\frac24\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac x2}{\frac x2}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac x2}{\frac x2}=\frac12\cdot 1\cdot 1=\frac12 \end{gather*}

б) \( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin8x}{sin2x} \) \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin8x}{sin2x}=\left[\frac00\right]=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{8x\cdot\overbrace{\frac{sin8x}{8x}}^{=1}}{2x\cdot\underbrace{\frac{sin2x}{2x}}_{=1}}=\frac82=4 \end{gather*}

в) \( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x^2-4)}{x^2-4} \) Заметим, что \(\lim_{x\rightarrow 0}sin(x^2-4)=sin(-4)\ne 0\) и \(\lim_{x\rightarrow 0}(x^2-4)=-4\ne 0\) $$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x^2-4)}{x^2-4}\ne\left[\frac00\right] $$ Т.е., неопределенности \(\left[\frac00\right]\) в этом примере нет, и он решается обычной подстановкой значения предела \(x_0=0\) вместо x: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x^2-4)}{x^2-4}=\frac{sin(-4)}{-4}=\frac{-sin4}{-4}=\frac{sin4}{4} \end{gather*}

г) \( \lim_{x\rightarrow 2}\frac{sin(x^2-4)}{x^2-4} \) А вот здесь при подстановке предела \(x_0=2\) получаем неопределенность \(\left[\frac00\right]\). $$ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{sin(x^2-4)}{x^2-4}=\left[\frac00\right] $$ Замена переменных: \(t=x-2,\ t\rightarrow 0\)
Тогда \(x=t+2,\ x^2-4=(x-2)(x+2)=t(t+4)\). Подставляем: \begin{gather*} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{sin\left(t(t+4)\right)}{t(t+4)}=1 \end{gather*} Последняя запись полностью соответствует определению первого замечательного предела с переменной \(z=t(t+4),\ z\rightarrow 0\).

д) \( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{sin5x} \) \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{sin5x}=\left[\frac00\right]=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt{3})(\sqrt{x+3}+\sqrt{3})}{(\sqrt{x+3}+\sqrt{3})\cdot sin5x}=\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+3-3}{(\sqrt{x+3}+\sqrt{3})\cdot sin5x}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{(\sqrt{x+3}+\sqrt{3})\cdot\frac{sin5x}{x}}=\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{(\sqrt{x+3}+\sqrt{3})\cdot 5\cdot \underbrace{\frac{sin5x}{5x}}_{=1}}=\frac15\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{3}}=\frac15\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{10\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{30} \end{gather*}
e*) \( \lim_{x\rightarrow 1}\frac{sin\pi x}{\sin3\pi x} \) При подстановке \(x_0=1\) получаем неопределенность \(\left[\frac00\right]\).
Чтобы её раскрыть с помощью первого замечательного предела, нужно ввести новую переменную, которая стремится к 0.
Заметим, что: \begin{gather*} sin(\pi x-\pi)=sin\left(\pi(x-1)\right)=-sin\pi x\\ sin(3\pi x-3\pi)=sin\left(3\pi(x-1)\right)=-sin3\pi x \end{gather*} Дробь можно заменить: $$ \frac{sin\pi x}{sin3\pi x}=\frac{-sin\pi x}{-sin3\pi x}=\frac{sin\left(\pi(x-1)\right)}{sin\left(3\pi(x-1)\right)} $$ Замена переменной: \(t=x-1,\ t\rightarrow 0\). Получаем: \begin{gather*} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{sin\pi t}{sin3\pi t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\pi t\cdot\overbrace{\frac{sin\pi t}{\pi t}}^{=1}}{3\pi t\cdot\underbrace{\frac{sin3\pi t}{3\pi t}}_{=1}}=\frac13 \end{gather*} Ответ: а) \(\frac12\); б) 4; в) \(\frac{sin4}{4}\); г) 1; д) \(\frac{\sqrt{3}}{30}\); е) \(\frac 13\)

Пример 2. Найдите значения пределов, используя второй замечательный предел:
a) \( \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{5x} \) $$ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{5x}=\left[1^{\infty}\right] $$ Замена переменной: \(t=3x,\ t\rightarrow\infty\). Тогда \(x=\frac t3\). Подставляем: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac 1t\right)^{5\cdot\frac t3}=\left(\underbrace{\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac 1t\right)^t}_{=e}\right)^{\frac53}=e^{\frac53} \end{gather*} б) \( \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x-1}{x+4}\right)^{2x} \) Предел основания степени: $$ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x-1}{x+4}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\left(1-\frac1x\right)}{x\left(1+\frac4x\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1-\frac1x}{1+\frac4x}= \frac{1-0}{1+0}=1 $$ Диагностируем неопределенность: $$ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x-1}{x+4}\right)^{2x}=\left[1^{\infty}\right] $$ Выделим целую часть из дроби: $$ \frac{x-1}{x+4}=\frac{(x+4)-5}{x+4}=1-\frac{5}{x+4} $$ Замена: \(t=-\frac{(x+4)}{5},\ t\rightarrow\infty\) (знак бесконечности по условию не важен).
Тогда: \(x=-5t-4\). Подставляем: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x-1}{x+4}\right)^{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{5}{x+4}\right)^{2x}= \lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac1t\right)^{2\cdot(-5t-4)}=\\ =\lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac1t\right)^{-10t-8}=\left(\lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac1t\right)^t\right)^{-10}\cdot\lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac1t\right)^{-8}=\\ =e^{-10}\cdot 1^{-8}=e^{-10} \end{gather*}

в) \( \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{2x-1}{x+4}\right)^{2x} \) Предел основания степени: $$ \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x-1}{x+4}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x\left(2-\frac1x\right)}{x\left(1+\frac4x\right)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2-\frac1x}{1+\frac4x}= \frac{2-0}{1+0}=2 $$ Неопределенности здесь нет: $$ \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{2x-1}{x+4}\right)^{2x}=2^{+\infty}=+\infty $$ Показательная функция с основанием >1 на плюс бесконечности стремится к плюс бесконечности.

г) \( \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac{5x+3}{4x-1}\right)^{3x-2} \)
Предел основания степени: $$ \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{5x+3}{4x-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x\left(5+\frac3x\right)}{x\left(4-\frac1x\right)}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{5+\frac3x}{4-\frac1x}= \frac{5-0}{4+0}=\frac54 $$ Неопределенности здесь нет: $$ \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac{5x+3}{4x-1}\right)^{3x-2}=\left(\frac54\right)^{-\infty}=\left(\frac45\right)^{+\infty}=0 $$ Показательная функция с основанием <1 на плюс бесконечности стремится к нулю.

д) \( \lim_{x\rightarrow 0}(1+tgx)^\frac1x \)
Подставляем \(x_0=0\) в функцию, и получаем неопределенность: $$ \lim_{x\rightarrow 0}(1+tgx)^\frac1x=\left[1^\infty\right] $$ Используем следствие из второго замечательного предела: \(\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac1x=e\)
Преобразуем выражение: $$ \lim_{x\rightarrow 0}(1+tgx)^\frac1x= \lim_{x\rightarrow 0}(1+tgx)^{\frac{tgx}{x\cdot tgx}}= \lim_{x\rightarrow 0}\left((1+tgx)^{\frac{1}{tgx}}\right)^{\frac{tgx}{x}} $$ Теперь используем следствие из первого замечательного предела: \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tgx}{x}=1\)
Тогда: $$ \lim_{x\rightarrow 0}(1+tgx)^{\frac{1}{tgx}}= \left[ \begin{array}{l} t=tgx\\ t\rightarrow 0 \end{array} \right] = \lim_{t\rightarrow 0}(1+t)^\frac1t=e $$ Здесь мы записали замену переменных «на ходу». Такая запись часто используется по необходимости, особенно при интегрировании.
Заметим, что если ввести понятие «эквивалентных бесконечно малых», то пример вообще решается в одну строку, т.к. \(tgx\sim x\) при \(x\rightarrow 0\).

e*) \( \lim_{x\rightarrow 0}(cos2x)^\frac{1}{sin^2 3x} \)
Подставляем \(x_0=0\) в функцию, и получаем неопределенность: $$ \lim_{x\rightarrow 0}(cos2x)^\frac{1}{sin^2 3x}=\left[1^\infty\right] $$ Используем следствие из второго замечательного предела: \(\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac1x=e\)
Преобразуем выражение: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0}(cos2x)^\frac{1}{sin^2 3x}= \lim_{x\rightarrow 0}(1-2sin^2 x)^\frac{1}{sin^2 3x}= \lim_{x\rightarrow 0}\left(1+(-2sin^2 x)\right)^{\frac{-2sin^2 x}{-2sin^2 x\cdot sin^2 3x}}=\\ \lim_{x\rightarrow 0}\left((1+(-2sin^2 x))^{\frac{1}{-2sin^2 x}}\right)^{\frac{-2sin^2x}{sin^2 3x}} \end{gather*} Найдем предел для внешней степени: $$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2sin^2x}{sin^2 3x}=\left[\frac00\right]=-2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2\cdot\left(\frac{sinx}{x}\right)^2}{(3x)^2\cdot\left(\frac{sin3x}{3x}\right)^2}= -2\cdot\frac{1\cdot 1}{9\cdot 1}=-\frac29 $$ Получаем: $$ \lim_{x\rightarrow 0}\left((1+(-2sin^2x))^{\frac{1}{-2sin^2x}}\right)^{-\frac29}= \left[ \begin{array}{l} t=-2sin^2 x\\ t\rightarrow 0 \end{array} \right] = \left(\lim_{t\rightarrow 0}(1+t)^\frac1t\right)^{-\frac29}=e^{-\frac29} $$ Ответ: a) \(e^{\frac53}\); б) \(e^{-10}\); в) \(+\infty\); г) 0; д) \(e\); e) \(e^{-\frac29}\)