Асимптоты

п.1. Понятие асимптоты

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:

Вертикальная асимптота x=3	Горизонтальная асимптота y=1
Наклонная асимптота y=x

п.2. Вертикальная асимптота

Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).

Например:
Исследуем непрерывность функции \(y=\frac{1}{(x-1)(x+3)}\)
ОДЗ: \(x\ne \left\{-3;1\right\}\)
\(\left\{x_0=-3,\ x_1=1\right\}\notin D\) - точки не входят в ОДЗ, подозрительные на разрыв.
Исследуем \(x_0=-3\). Найдем односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -3 -0}\frac{1}{(x-1)(x+3)}=\frac{1}{(-3-0-1)(-3-0+3)}=\frac{1}{-4\cdot(-0)}=+\infty\\ \lim_{x\rightarrow -3 +0}\frac{1}{(x-1)(x+3)}=\frac{1}{(-3+0-1)(-3+0+3)}=\frac{1}{-4\cdot(+0)}=-\infty \end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка \(x_0=-3\) - точка разрыва 2-го рода.
Исследуем \(x_1=1\). Найдем односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 1 -0}\frac{1}{(x-1)(x+3)}=\frac{1}{(1-0-1)(1-0+3)}=\frac{1}{-0\cdot 4}=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow 1 +0}\frac{1}{(x-1)(x+3)}=\frac{1}{(1+0-1)(1+0+3)}=\frac{1}{+0\cdot 4}=+\infty \end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка \(x_1=1\) - точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции \(y=\frac{1}{(x-1)(x+3)}\) две точки разрыва 2-го рода \(\left\{x_0=-3, x_1=1\right\}\), соответственно – две вертикальные асимптоты с уравнениями \(x=-3\) и \(x=1\).

п.3. Горизонтальная асимптота

Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции \(y=\frac{1}{(x-1)(x+3)}\)
Ищем предел функции на минус бесконечности: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{(x-1)(x+3)}=\frac{1}{(-\infty)(-\infty)}=+0 \end{gather*} На минус бесконечности функция имеет конечный предел \(b=0\) и стремится к нему сверху (о чем свидетельствует символическая запись +0).
Ищем предел функции на плюс бесконечности: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{(x-1)(x+3)}=\frac{1}{(+\infty)(+\infty)}=+0 \end{gather*} На плюс бесконечности функция имеет тот же конечный предел \(b=0\) и также стремится к нему сверху.
Вывод: у функции \(y=\frac{1}{(x-1)(x+3)}\) одна горизонтальная асимптота \(y=0\). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.

Итоговый график асимптотического поведения функции \(y=\frac{1}{(x-1)(x+3)}\):

п.4. Наклонная асимптота

Число наклонных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие наклонных асимптот у функции \(y=\frac{x^2+3}{x-1}\)
Найдем угловой коэффициент: \begin{gather*} k_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2+3}{x(x-1)}= \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2+3}{x^2-x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]= \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac 1x\right)}=\\ =\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1+\frac{3}{x^2}}{1-\frac1x}=\frac{1+0}{1-0}=1\\ k_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2+3}{x(x-1)}=k_1=1 \end{gather*} На плюс и минус бесконечности отношение функции к аргументу имеет один и тот же конечный предел \(k=1\).
Найдем свободный член: \begin{gather*} b=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}(y-kx)=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(\frac{x^2+3}{x-1}-1\cdot x\right)= \lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(\frac{x^2+3-x(x-1)}{x-1}\right)=\\ =\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x+3}{x-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x\left(1+\frac3x\right)}{x\left(1-\frac1x\right)}=\frac{1+0}{1-0}=1 \end{gather*} Вывод: у функции \(y=\frac{x^2+3}{x-1}\) одна наклонная асимптота \(y=x+1\). Функция стремится к асимптоте на плюс и минус бесконечности.

Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции \(y=\frac{x^2+3}{x-1}\), очевидно, есть вертикальная асимптота x=1. При этом: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -1-0}\frac{x^2+3}{x-1}=-\infty,\ \ \lim_{x\rightarrow -1+0}\frac{x^2+3}{x-1}=+\infty \end{gather*}

График асимптотического поведения функции \(y=\frac{x^2+3}{x-1}\):

п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции

На входе: функция \(y=f(x)\)
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.

п.6. Примеры

Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) \( y=\frac{4x}{x^2-1} \)
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: \(x=\pm 1\)
Односторонние пределы в точке \(x=-1\) \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -1-0}\frac{4x}{(x+1)(x-1)}=\frac{4(-1-0)}{(-1-0+1)(-1-0-1)}=\frac{-4}{-0\cdot(-2)}=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow -1+0}\frac{4x}{(x+1)(x-1)}=\frac{4(-1+0)}{(-1+0+1)(-1+0-1)}=\frac{-4}{+0\cdot(-2)}=+\infty \end{gather*} Точка \(x=-1\) - точка разрыва 2-го рода
Односторонние пределы в точке \(x=1\) \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -1-0}\frac{4x}{(x+1)(x-1)}=\frac{4(1-0)}{(1-0+1)(1-0-1)}=\frac{4}{2\cdot(-0)}=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow -1+0}\frac{4x}{(x+1)(x-1)}=\frac{4(1+0)}{(1+0+1)(1+0-1)}=\frac{4}{2\cdot(+0)}=+\infty \end{gather*} Точка \(x=1\) - точка разрыва 2-го рода
Функция имеет две вертикальные асимптоты \(x=\pm 1\)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin{gather*} b_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{4x}{x^2-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2\cdot \frac4x}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\frac4x}{1-\frac{1}{x^2}}=\frac{-0}{1}=-0\\ b_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4x}{x^2-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\frac4x}{1-\frac{1}{x^2}}=\frac{+0}{1}=+0 \end{gather*} Функция имеет одну горизонтальную асимптоту \(y=0\). На минус бесконечности функция стремится к асимптоте снизу, не плюс бесконечности – сверху.

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: \begin{gather*} k=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{4x}{x(x^2-1)}=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{4}{x^2-1}=\frac{4}{\infty}=0 \end{gather*} Наклонных асимптот нет.

График асимптотического поведения функции \(y=\frac{4x}{x^2-1}\)


б) \( y=e^{\frac{1}{x+3}} \)
1) Вертикальные асимптоты
Точка, подозрительная на разрыв: \(x=-3\)
Односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -3-0}e^{\frac{1}{x+3}}=e^{\frac{1}{-3-0)+3}}=e^{\frac{1}{-0}}=e^\infty=0\\ \lim_{x\rightarrow -3+0}e^{\frac{1}{x+3}}=e^{\frac{1}{-3+0)+3}}=e^{\frac{1}{+0}}=e^{+\infty}=+\infty \end{gather*} Точка \(x=-3\) - точка разрыва 2-го рода
Функция имеет одну вертикальную асимптоту \(x=2\)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin{gather*} b_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{\frac{1}{x+3}}=e^0=1\\ b_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{\frac{1}{x+3}}=e^0=1\\ b=b_1=b_2=1 \end{gather*} Функция имеет одну горизонтальную асимптоту \(y=1\). Функция стремится к этой асимптоте на минус и плюс бесконечности.

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: \begin{gather*} k_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{e^{\frac{1}{x+3}}}{x}=\frac{e^0}{-\infty}=0\\ k_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{\frac{1}{x+3}}}{x}=\frac{e^0}{+\infty}=0 \end{gather*} Наклонных асимптот нет.

График асимптотического поведения функции \(y=e^{\frac{1}{x+3}}\)


в) \( y=\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1} \)
Заметим, что \( \frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=\frac{x^2(x+1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x^2)(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^2+1}{x-1} \) $$ y=\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}\Leftrightarrow \begin{cases} y=\frac{x^2+1}{x-1}\\ x\ne -1 \end{cases} $$ График исходной функции совпадает с графиком функции \(y=\frac{x^2+1}{x-1}\), из которого необходимо выколоть точку c абсциссой \(x=-1\).

1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: \(x=\pm 1\)
Односторонние пределы в точке \(x=-1\) \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -1-0}\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow -1-0}\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{2}{-2}=-1\\ \lim_{x\rightarrow -1+0}\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow -1-0}\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{2}{-2}=-1 \end{gather*} Точка \(x=-1\) - точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв («выколотая» точка).
Односторонние пределы в точке \(x=1\) \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{2}{1-0-1}=\frac{2}{-0}=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{2}{1+0-1}=\frac{2}{+0}=+\infty \end{gather*} Точка \(x=1\) - точка разрыва 2-го рода
Функция имеет одну вертикальную асимптоту \(x=1\)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin{gather*} b_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2+1}{x-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(\frac1x-\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{1+0}{-0-0}=-\infty\\ b_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2+1}{x-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(\frac1x-\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{1+0}{0-0}=+\infty \end{gather*} Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: \begin{gather*} k_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2+1}{x(x-1)}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac1x\right)}=\frac{1+0}{1-0}=1\\ k_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2+1}{x(x-1)}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac1x\right)}=\frac{1+0}{1-0}=1\\ k=k_1=k_2=1 \end{gather*} У функции есть одна наклонная асимптота с \(k=1\).
Ищем свободный член: \begin{gather*} b=\lim_{x\rightarrow \infty}(y-kx)= \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+1}{x-1}-2\right)= \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2+1-x^2+x}{x-1}= \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x+1}{x-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x\left(1+\frac1x\right)}{x\left(1-\frac1x\right)}=\frac{1+0}{1-0}=1 \end{gather*} Функция имеет одну наклонную асимптоту \(y=x+1\).
График асимптотического поведения функции \(y=\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}\)


г*) \( y=xe^{\frac{1}{2-x}} \)
1) Вертикальные асимптоты
Точка, подозрительная на разрыв: \(x=2\)
Односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 2-0}xe^{\frac{1}{2-x}}=(2-0)e^{\frac{1}{2-(2-0)}}=2e^{\frac{1}{+0}}=2e^{+\infty}=+\infty\\ \lim_{x\rightarrow 2+0}xe^{\frac{1}{2-x}}=(2+0)e^{\frac{1}{2-(2+0)}}=2e^{\frac{1}{-0}}=2e^{-\infty}=-\infty \end{gather*} Точка \(x=2\) - точка разрыва 2-го рода.
Функция имеет одну вертикальную асимптоту \(x=2\)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin{gather*} b_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}xe^{\frac{1}{2-x}}=-\infty\cdot e^0=-\infty\\ b_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}xe^{\frac{1}{2-x}}=+\infty\cdot e^0=+\infty \end{gather*} Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: \begin{gather*} k_1=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{xe^{\frac{1}{2-x}}}{x}=\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{\frac{1}{2-x}}=e^0=1\\ k_2=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{xe^{\frac{1}{2-x}}}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{\frac{1}{2-x}}=e^0=1\\ k=k_1=k_2=1 \end{gather*} У функции есть одна наклонная асимптота с \(k=1\).
Ищем свободный член: \begin{gather*} b=\lim_{x\rightarrow \infty}(y-kx)= \lim_{x\rightarrow \infty}\left(xe^{\frac{1}{2-x}}-x\right)=\lim_{x\rightarrow \infty}x\left(e^{\frac{1}{2-x}}-1\right)=\left[\infty\cdot 0\right] \end{gather*} Используем одно из следствий второго замечательного предела (см. §39 данного справочника): \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1\\ b=\lim_{x\rightarrow \infty}x\left(e^{\frac{1}{2-x}}-1\right)= \left[ \begin{array}{l} t=\frac{1}{2-x}\\ t\rightarrow 0\\ x=2-\frac1t=\frac{2t-1}{t} \end{array} \right]=\\ =\lim_{t\rightarrow 0}\left(\left(\frac{2t-1}{t}\right)(e^t-1)\right)=\lim_{t\rightarrow 0}(2t-1)\cdot \lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^t-1}{t}=-1\cdot 1=-1 \end{gather*} Функция имеет одну наклонную асимптоту \(y=x-1\).

График асимптотического поведения функции \(y=xe^{\frac{1}{2-x}}\)