Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = a, ctgx = a. Формулы преобразования аркфункций
Определение тангенса и котангенса через отношение сторон прямоугольника и с помощью касательной к числовой окружности – см. §3 данного справочника.
Свойства функции y=tgx на всей области определения \(x\in\mathbb{R}\) - см. §6 данного справочника.
Свойства функции y=ctgx на всей области определения \(x\in\mathbb{R}\) - см. §7 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций - см. §2 справочника для 9 класса.
п.1. Понятие арктангенса
В записи \(y=tgx\) аргумент x - это значение угла (в градусах или радианах), функция y – тангенс угла, действительное число в пределах от \(-\infty;\) до \(+\infty\). Т.е., по заданному углу мы находим тангенс.
Можно поставить обратную задачу: по заданному тангенсу найти угол. Но одному значению тангенса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(tgx=1\), то \(x=\frac\pi4+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\); если \(tgx=0\), то \(x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x главной ветвью тангенса: \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) (правая половина числовой окружности, вся ось тангенсов).
\(arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac\pi6,\ \ arctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3},\ \ arctg1=\frac\pi4\).
п.2. График и свойства функции y=arctgx
1. Область определения \(x\in\mathbb{R}\).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами \(-\frac\pi2\leq arctgx\leq \frac\pi2\).
Область значений \(y\in\left(-\frac\pi2; \frac\pi2\right)\)
3. Функция стремится к максимальному значению \(y_{max}=\frac\pi2\ \text{при}\ x\rightarrow +\infty\)
Функция стремится к минимальному значению \(y_{min}=-\frac\pi2\ \text{при}\ x\rightarrow -\infty\)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты \(y=\pm\frac\pi2\).
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция нечётная: \(arctg(-x)=-arctg(x)\).
п.3. Уравнение tgx=a
 |
На оси тангенсов каждому углу на числовой окружности в интервале \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) соответствует одно действительное число. Например: 1) Решим уравнение \(tgx=\frac{1}{\sqrt{3}}\) Числу \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) на оси тангенсов соответствует угол \(\frac\pi6\) на числовой окружности, \(arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac\pi6\). Учитывая период тангенса \(\pi\), получаем ответ: \(x=\frac\pi6+\pi k\) |
 |
2) Решим уравнение \(tgx=2\) Числу \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) на оси тангенсов соответствует угол \(arctg2\) на числовой окружности. Учитывая период тангенса \(\pi\), получаем ответ: \(x=arctg2+\pi k\) |
В общем случае:
п.4. Понятие арккотангенса
По аналогии с арктангенсом, арккотангенс определяется на главной ветви котангенса: \(0\lt x\lt \pi\) (верхняя половина числовой окружности, вся ось котангенсов).
\(arcctg\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac\pi3,\ \ arcctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{6},\ \ arcctg1=\frac\pi4\).
п.5. График и свойства функции y=arcctgx
1. Область определения \(x\in\mathbb{R}\).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами \(0\lt arcctgx\lt \pi\).
Область значений \(y\in(0;\pi)\)
3. Функция стремится к максимальному значению \(y_{max}=\pi\ \text{при}\ x\rightarrow -\infty\)
Функция стремится к минимальному значению \(y_{min}=0\ \text{при}\ x\rightarrow +\infty\)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты \(y=0\ \text{и}\ y=\pi\).
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция ни чётная, ни нечётная.
п.6. Уравнение ctgx=a
В общем случае:
Часто уравнение \(ctgx=a\) преобразуют в уравнение \(tgx=\frac{1}{a}\), и ищут его корни.
Например:
1) \(ctgx=\sqrt{3}\)
\(x=\frac\pi6+\pi k\)
Можно также преобразовать уравнение в \(tg x=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Получаем тот же ответ: \(x=\frac\pi6+\pi k\)
2) \(ctgx=2\)
\(x=arcctg2+\pi k\)
Можно также преобразовать уравнение в \(tg x=\frac{1}{2}\)
Получаем ответ: \(x=arctg\frac12+\pi k\)
Очевидно, что \(arcctg 2=arctg\frac{1}{2}\) (см. ниже формулы для аркфункций).
п.7. Формулы преобразования аркфункций
| arcsin | arccos | arctg | arcctg | |
| sin | \begin{gather*} a\\ a\in[-1;1] \end{gather*} | \begin{gather*} \sqrt{1-a^2}\\ a\in[-1;1] \end{gather*} | \begin{gather*} \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\\ a\in\mathbb{R} \end{gather*} | \begin{gather*} \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\\ a\in\mathbb{R} \end{gather*} |
| cos | \begin{gather*} \sqrt{1-a^2}\\ a\in[-1;1] \end{gather*} | \begin{gather*} a\\ a\in[-1;1] \end{gather*} | \begin{gather*} \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\\ a\in\mathbb{R} \end{gather*} | \begin{gather*} \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\\ a\in\mathbb{R} \end{gather*} |
| tg | \begin{gather*} \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\\ a\in(-1;1) \end{gather*} | \begin{gather*} \frac{\sqrt{1-a^2}}{a}\\ a\in(-1;0)\cup(0;1) \end{gather*} | \begin{gather*} a\\ a\in\mathbb{R} \end{gather*} | \begin{gather*} \frac{1}{a}\\ a\ne 0 \end{gather*} |
| ctg | \begin{gather*} \frac{\sqrt{1-a^2}}{a}\\ a\in(-1;0)\cup(0;1) \end{gather*} | \begin{gather*} \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\\ a\in(-1;1) \end{gather*} | \begin{gather*} \frac{1}{a}\\ a\ne 0 \end{gather*} | \begin{gather*} a\\ a\in\mathbb{R} \end{gather*} |
| arcsin | |
| arccos | $$ arcsina= \begin{cases} arccos\sqrt{1-a^2},\ 0\leq a\leq 1\\ -arccos\sqrt{1-a^2},\ -1\leq a\lt 0 \end{cases} $$ |
| arctg | $$ arcsina=arctg\frac{a}{\sqrt{1-a^2}},\ \ -1\lt a\lt 1 $$ |
| arcctg | $$ arcsina= \begin{cases} arcctg\frac{\sqrt{1-a^2}}{a},\ 0\lt a\leq 1\\ -arcctg\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}-\pi,\ -1\leq a\lt 0 \end{cases} $$ |
| arccos | |
| arcsin | $$ arccosa= \begin{cases} arcsin\sqrt{1-a^2},\ 0\leq a\leq 1\\ \pi-arcsin\sqrt{1-a^2},\ -1\leq a\lt 0 \end{cases} $$ |
| arctg | $$ arccosa= \begin{cases} arcctg\frac{\sqrt{1-a^2}}{a},\ 0\lt a\leq 1\\ \pi+arctg\frac{\sqrt{1-a^2}}{a},\ -1\leq a\lt 0 \end{cases} $$ |
| arcctg | $$ arccosa=arcctg\frac{a}{\sqrt{1-a^2}},\ \ -1\lt a\lt 1 $$ |
| arctg | |
| arcsin | $$ arctga=arcsin\frac{a}{\sqrt{1+a^2}},\ \ a\in\mathbb{R} $$ |
| arccos | $$ arctga= \begin{cases} arccos\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},\ a\geq 0\\ -arccos\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},\ a\lt 0 \end{cases} $$ |
| arcctg | $$ arctga=arcctg\frac{1}{a},\ \ a\ne 0 $$ |
| arcctg | |
| arcsin | $$ arcctga= \begin{cases} arcsin\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},\ a\geq 0\\ \pi-arcsin\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},\ a\lt 0 \end{cases} $$ |
| arccos | $$ arcctga=arccos\frac{a}{\sqrt{1+a^2}},\ \ a\in\mathbb{R} $$ |
| arctg | $$ arcctga=arctg\frac{1}{a},\ \ a\ne 0 $$ |
п.8. Примеры
Пример 1. Найдите функцию, обратную арктангенсу. Постройте графики арктангенса и найденной функции в одной системе координат.
Для \(y=arctgx\) область определения \(x\in\mathbb{R}\), область значений \(-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2\).
Обратная функция \(y=tgx\) должна иметь ограниченную область определения \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) (главная ветвь) и область значений \(y\in\mathbb{R}\).
Строим графики:
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.
Пример 2. Решите уравнения:
| a) \(tg x=-1\) \(x=\frac\pi4+\pi k\) |
б) \(ctgx=-1\) \(x=\frac{3\pi}{4}+\pi k\) Если решать через \(tgx=-1\) \(x=-\frac\pi4+\pi k\) |
| в) \(tg x=-5\) \(x=arctg(-5)+\pi k=-arctg5+\pi k\) |
г) \(ctgx=3\) \(x=arcctg3+\pi k\) Если решать через \(tgx=\frac13\) \(x=arctg\frac13+\pi k\) |
Пример 3. Вычислите:
a) \(2arccos\left(-\frac12\right)+arctg(-1)+arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=2\cdot\frac{2\pi}{3}-\frac\pi4+\frac\pi4=\frac{4\pi}{3}\)
б) \(arcsin1-arccos\frac{\sqrt{3}}{2}-arctg(\sqrt{-3})=arcsin1-\frac\pi3+\frac\pi3=arcsin1\)
в) \(arctg4+arcsin0-arccos1=arctg4+0-0=arctg4\)
г) \(5-2arccos0+arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+3arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=5-2\cdot\frac\pi2+\frac\pi4+3\cdot\frac\pi4=5\)
Пример 4. Постройте графики функций:
\(a)\ y=arccos\left(\frac{1}{x}\right)+arccos\left(-\frac{1}{x}\right)\)
Сумма арккосинусов \(arccosa+arccos(-a)=\pi\), где \(-1\leq a\leq 1\).
Получаем систему для определения ОДЗ: \begin{gather*} -1\leq \frac{1}{x}\leq 1\Rightarrow 0\leq \frac{1}{x}+1\leq 2\Rightarrow \begin{cases} \frac{x+1}{x}\geq 0\\ \frac{x+1}{x}\leq 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{x+1}{x}\geq 0\\ \frac{-x+1}{x}\leq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{x+1}{x}\geq 0\\ \frac{x-1}{x}\geq 0 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\gt 0\\ x+1\geq 0\\ x-1\geq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\lt 0\\ x+1\leq 0\\ x-1\leq 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\gt 0\\ x\geq 1 \end{cases} \\ \begin{cases} x\lt 0\\ x\leq -1 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow x\leq -1\cup x\geq 1 \end{gather*} Заметим, что используя модуль, тот же результат можно получить значительно быстрей: $$ -1\leq\frac{1}{x}\leq 1\Leftrightarrow |\frac{1}{x}|\leq 1\Leftrightarrow |x|\geq 1 $$ Таким образом, ОДЗ – вся числовая прямая, кроме \(x\notin(-1;1).\) $$ y=arccos\left(\frac{1}{x}\right)+arccos\left(-\frac{1}{x}\right)\Leftrightarrow \begin{cases} y=\pi\\ x\notin (-1;1) \end{cases} $$ Строим график:
\(б)\ y=arcctg(\sqrt{x})+arcctg(-\sqrt{x})\)
Сумма арккотангенсов \(arcctga+arcctg(-a)=\pi\), где \(a\in\mathbb{R}\)
ОДЗ ограничено требованием к подкоренному выражению: \(x\geq 0\)
$$ y=arcctg\left(\sqrt{x}\right)+arcctg\left(-\sqrt{x}\right)\Leftrightarrow \begin{cases} y=\pi\\ x\geq 0 \end{cases} $$ Строим график:
Пример 5*. Запищите в порядке возрастания:
$$ arctg\left(\frac\pi4\right),\ \ arcsin\left(\frac\pi4\right),\ \ arctg1 $$
 |
Способ 1. С помощью числовой окружности. Отмечаем точку \(\frac\pi4\) на оси синусов (ось OY) и точки \(\frac\pi4\) и 1 на оси тангенсов (касательная к окружности). На пересечении с числовой окружностью получаем искомые углы. В порядке возрастания: $$ arctg\left(\frac\pi4\right)\lt \underbrace{arctg1}_{=\frac\pi4} \lt arcsin\left(\frac\pi4\right) $$ |
| Способ 2. Аналитический Арктангенс – функция возрастающая: \(\frac\pi4\approx 0,79\lt 1\Rightarrow arctg\left(\frac\pi4\right)\lt arctg 1\) Сравним \(arctg1=\frac\pi4=\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) и \(arcsin\left(\frac\pi4\right)\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\ ?\ \frac\pi4\) - возведем в квадрат обе части \(\frac12\ ?\ \frac{\pi^2}{16}\Leftrightarrow 8\ ? \pi^2\) \(8\lt\pi^2\Rightarrow\frac{\sqrt{2}}{2}\lt\frac\pi4 \Rightarrow arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\lt arcsin\left(\frac\pi4\right)\Rightarrow 1\lt arcsin\left(\frac\pi4\right)\) Получаем: $$ arctg\left(\frac\pi4\right)\lt \underbrace{arctg1}_{=\frac\pi4} \lt arcsin\left(\frac\pi4\right) $$ |
|
Пример 6*. Решите уравнения:
a) \(arccosx=arctgx\)
ОДЗ определяется ограничением для арккосинуса: \(-1\leq x\leq 1\)
Арккосинус ограничен \(0\leq arccosx\leq \pi\), арктангенс \(-\frac\pi2\leq arctgx\lt\frac\pi2\)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до \(0\leq arctgx\lt \frac\pi2\) и \(0\leq arccos x\lt \frac\pi2\) $$ arccosx=arctgx\Leftrightarrow \begin{cases} x=cos(arctgx)\\ -1\leq x\leq 1\\ 0\leq arctgx\lt\frac\pi2\\ 0\leq arccosx\lt\frac\pi2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=cos(arctgx)\\ -1\leq x\leq 1\\ 0\leq x\\ 0\lt x\leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=cos(arctgx)\\ 0\lt x\lt 1 \end{cases} $$ Для решения можно воспользоваться готовой формулой для \(cos(arctgx)\).
Выведем её. Пуcть \(arctgx=\varphi\). Тогда \(x=tg\varphi\) и $$ cos(arctgx)=cos\varphi=\sqrt{\frac{1}{1+tg^2\varphi}}=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}} $$ Получаем уравнение: $$ x=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}\Rightarrow x^2=\frac{1}{1+x^2}\Rightarrow x^2(1+x^2)=1\Rightarrow x^4+x^2-1=0 $$ $$ D=1+4=5,\ \ x^2=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} $$ Квадрат числа не может быть отрицательным. Остаётся корень \(x^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
Откуда \(x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\)
По условию \(0\lt x\lt 1\). Получаем \(x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\)
Ответ: \(\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\)
б) \(arccos^2x+arcsin^2x=\frac{5\pi^2}{36}\)
Используем формулу для суммы: \(arccosx+arcsinx=\frac\pi2\)
Получаем: \begin{gather*} arccos^2x+\left(\frac\pi2-arccosx\right)^2=\frac{5\pi^2}{36}\\ arccos^2x+\frac{\pi^2}{4}-\pi arccosx+arccos^2x=\frac{5\pi^2}{36}\\ 2arccos^2x-\pi arccosx+\frac{\pi^2}{9}=0\\ D=(-\pi)^2-4\cdot 2\cdot \frac{\pi^2}{9}=\pi^2-\frac89\pi^2=\frac{\pi^2}{9}\\ arccosx=\frac{\pi\pm\frac\pi3}{4}\Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} arccosx_1=\frac\pi6\\ arccosx_2=\frac\pi3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} x_1=cos\frac\pi6=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x_2=cos\frac\pi3=\frac12 \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(\left\{\frac12; \frac{\sqrt{3}}{2}\right\}\)
в) \(arcsin\frac{\sqrt{3x+2}}{2}=arcctg\sqrt{\frac{2}{x+1}}\)
ОДЗ определяется ограничением для арксинуса: \( -1\leq \frac{\sqrt{3x+2}}{2}\leq 1\)
Арксинус ограничен \(-\frac\pi2\leq arcsin\frac{\sqrt{3x+2}}{2}\leq\frac\pi2\), арккотангенс \(0\leq arcctg\sqrt{\frac{2}{x+1}}\lt\pi\)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до \(0\leq arcctg\sqrt{\frac{2}{x+1}}\lt\frac\pi2\) и \(0\leq arcsin\frac{\sqrt{3x+2}}{2}\lt\frac\pi2\). \begin{gather*} arcsin\frac{\sqrt{3x+2}}{2}=arcctg\sqrt{\frac{2}{x+1}}\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{\sqrt{3x+2}}{2}=sin\left(arcctg\sqrt{\frac{2}{x+1}}\right)\\ -1\leq\frac{\sqrt{3x+2}}{2}\leq 1\\ 0\leq arcsin\frac{\sqrt{3x+2}}{2}\lt\frac\pi2\\ 0\leq arcctg\sqrt{\frac{2}{x+1}}\lt\frac\pi2 \end{cases} \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{\sqrt{3x+2}}{2}=sin\left(arcctg\sqrt{\frac{2}{x+1}}\right)\\ -1\leq\frac{\sqrt{3x+2}}{2}\leq 1\\ 0\leq \frac{\sqrt{3x+2}}{2}\lt 1\\ 0\leq \sqrt{\frac{2}{x+1}} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{\sqrt{3x+2}}{2}=sin\left(arcctg\sqrt{\frac{2}{x+1}}\right)\\ 0\leq \frac{\sqrt{3x+2}}{4}\lt 1\\ \frac{4}{x+1}\geq 0 \end{cases} \end{gather*} Для ОДЗ получаем: $$ \begin{cases} 0\leq 3x+2\lt 4\\ x+1\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2\leq 3x \lt 2\\ x\gt -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\frac23\leq x \lt \frac23\\ x\gt -1 \end{cases} \Rightarrow -\frac23\leq x\lt\frac23 $$ ОДЗ: \(-\frac23\leq x\lt \frac23\)
Выведем формулу для синуса арккотангенса.
Пусть \(arcctgx=\varphi \Rightarrow x=ctg\varphi\)
Тогда \(sin(arcctgx)=sin\varphi=\sqrt{\frac{1}{1+ctg^2\varphi}}=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}\)
Правая часть уравнения: $$ sin\left(arcctg\sqrt{\frac{2}{x+1}}\right)= \sqrt{\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{2}{x+1}}\right)}}= \sqrt{\frac{1}{1+\frac{2}{x+1}}}=\sqrt{\frac{x+1}{x+3}} $$ Подставляем: \begin{gather*} \frac{\sqrt{3x+2}}{2}=\sqrt{\frac{x+1}{x+3}}\Rightarrow \frac{3x+2}{4}=\frac{x+1}{x+3}\Rightarrow (3x+2)(x+3)=4(x+1)\Rightarrow\\ \Rightarrow 3x^2+11x+6=4x+4\Rightarrow 3x^2+7x+2=0\\ D=49-4\cdot 3\cdot 2=25\\ x=\frac{-7\pm5}{6}\Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} x_1=-2 - \text{ не подходит по ОДЗ}\\ x_2=-\frac13 \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(-\frac13\)
