Арксинус. Решение уравнения sin x = a

Определение синуса через отношение сторон прямоугольника и с помощью числовой окружности – см. §2 данного справочника.
Свойства функции y=sinx на всей области определения \(x\in\mathbb{R}\) - см. §4 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций - см. §2 справочника для 9 класса.

п.1. Понятие арксинуса

В записи \(y=sinx\) аргумент x - это значение угла (в градусах или радианах), функция y – синус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному синусy найти угол. Но одному значению синусa соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(sinx=1\), то \(x=\frac\pi2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\); если \(sinx=0\), то \(x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором синус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(-\frac\pi2 \leq x\leq \frac\pi2\) (правая половина числовой окружности).

\(arcsin\frac12=\frac\pi6,\ \ arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}\)
\(arcsin2\) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arcsinx

1. Область определения \(-1\leq x\leq1\).
2. Функция ограничена сверху и снизу \(-\frac\pi2\leq arcsinx\leq \frac\pi2\). Область значений \(y\in[-\frac\pi2; \frac\pi2]\)
3. Максимальное значение \(y_{max}=\frac\pi2\) достигается в точке x=1
Минимальное значение \(y_{min}=-\frac\pi2\) достигается в точке x =-1
4. Функция возрастает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
6. Функция нечётная: \(arcsin(-x)=-arcsin(x)\).

п.3. Уравнение sin⁡x=a

Значениями арксинуса могут быть только углы от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\) (от -90° до 90°). А как выразить другие углы через арксинус? Углы в левой части числовой окружности записывают как разность π и арксинуса (угла справа). А остальные углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арксинуса и величин, которые «не помещаются» в область значений арксинуса.

1) Решим уравнение \(sinx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через через эту точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\frac\pi6\) и \(\frac{5\pi}{6}\) - это базовые корни.
Если взять корень справа \(\frac\pi6\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi6+2\pi=\frac{13\pi}{6}\), синус полученного угла \(sin\frac{13\pi}{6}=\frac12\), т.е. \(\frac{13\pi}{6}\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi6+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x_1=\frac\pi6+2\pi k\) и \(x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\)
Заметим, что \(arcsin\frac12=\frac\pi6\). Полученный ответ является записью вида
\(x_1=arcsin\frac12+2\pi k\) и \(x_2=\pi-arcsin\frac12+2\pi k\)
А т.к. арксинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi6\), то мы его просто подставляем и пишем ответ. Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение \(sinx=0,8\)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению правая точка – это угол, равный arcsin0,8. Тогда левая точка – это разность развернутого угла и арксинуса, т.е. (π–arcsin⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x_1=arcsin0,8+2\pi k,\) \(x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k\)

В общем случае:

Докажем, что семейства решений для корней справа и слева можно записать одним выражением \(x=(-1)^k arcsina+\pi k\).
Действительно, для чётных \(k=2n\) получаем: $$ x=(-1)^{2n} arcsina+\pi \cdot 2n=arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня справа (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Для нечётных \(k=2n+1\):
$$ x=(-1)^{2n+1} arcsina+\pi \cdot (2n+1)=-arcsina+2\pi n +\pi=\pi-arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня слева (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Обратное преобразование двух семейств решений в общую запись аналогично.
Следовательно: $$ x=(-1)^k arcsina+\pi k\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {l l} x=arcsina+2\pi n\\ x=\pi-arcsina+2\pi n \end{array} \right. $$ Что и требовалось доказать.

Для примеров, решённых выше, можем записать: $$ 1) \left[ \begin{array} {l l} x_1=\frac\pi6+2\pi k\\ x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k\frac\pi6 +\pi k $$
$$ 2) \left[ \begin{array} {l l} x_1=arcsin0,8+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=(-1)^karcsin0,8 +\pi k $$ Выбор общей или раздельной записи решения зависит от задачи.
Как правило, если ответ еще не найден, и нужны дальнейшие преобразования, решение записывают как два раздельных семейства.
Если же просто нужно записать ответ, то пишут общее выражение.

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арксинусу. Постройте графики арксинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arcsinx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2\).
Обратная функция \(y=sinx\) должна иметь ограниченную область определения \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) \(sin x=-1\) \(x=-\frac\pi2+2\pi k\)	б) \(sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) $$ \left[ \begin{array} {l l} x_1=\frac\pi4+2\pi k\\ x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=(-1)^\frac{\pi}{4} +\pi k $$
в) \(sin x=0\) \(x=\pi k\)	г) \(sin x=\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет
д) \(sin x=0,7\) \begin{gather*} \left[ \begin{array} {l l} x_1=arcsin(0,7)+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin(0,7)+2\pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\ x=(-1)^k arcsin(0,7) +\pi k \end{gather*}	e) \(sin x=-0,2\) Арксинус нечетный, поэтому: $$ srcsin(-0,2)=-arcsin(0,2) $$ Получаем: \begin{gather*} \left[ \begin{array} {l l} x_1=-arcsin(0,2)+2\pi k\\ x_2=\pi+arcsin(0,7)+2\pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x=(-1)^{k+1}arcsin(0,2) +\pi k \end{gather*}

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arcsin0,2;\ \ arcsin(-0,7);\ \ arcsin\frac\pi4 $$

	Способ 1. Решение с помощью числовой окружности Отмечаем на оси синусов (ось OY) точки с абсциссами 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\) Значения синусов (углы) считываются на правой половине окружности: чем больше синус (от -1 до 1), тем больше угол (от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\)). Получаем: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$
	Способ 2. Решение с помощью графика \(y=arcsinx\) Отмечаем на оси OY аргументы 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY - получаем значения арксинусов по возрастанию: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$
Способ 3. Аналитический Арксинус – функция возрастающая: чем больше аргумент, тем больше функция. Поэтому располагаем данные в условии аргументы по возрастанию: -0,7; 0,2; \(\frac\pi4\). И записываем арксинусы по возрастанию: \(arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4\)

Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arcsin(x^2-3x+3)=\frac\pi2\) \begin{gather*} x^2-3x+3=sin\frac\pi2=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end{gather*} Ответ: {1; 2}

\(б)\ arcsin^2x-arcsinx-2=0\)
\( \text{ОДЗ:}\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-2=0\Rightarrow (t-2)(t+1)=0\Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} t_1=2\gt \frac\pi2 - \text{не подходит}\\ t_2=-1 \end{array} \right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin{gather*} arcsinx=-1\\ x=sin(-1)=-sin1 \end{gather*} Ответ: -sin1

\(в)\ arcsin^2x-\pi arcsinx+\frac{2\pi^2}{9}=0\)
\( \text{ОДЗ:}\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: \begin{gather*} t^2-\pi t+\frac{2\pi^2}{9}=0\\ D=(-\pi)^2-4\cdot \frac{2\pi^2}{9}=\frac{\pi^2}{9},\ \ \sqrt{D}=\frac\pi3 \Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} t_1=\frac{\pi-\frac\pi3}{2}=\frac\pi3\\ t_2=\frac{\pi+\frac\pi3}{2}=\frac{2\pi}{3}\gt \frac\pi2 -- \text{не подходит} \end{array} \right. \end{gather*} Возвращаемся к исходной переменной:
\begin{gather*} arcsinx=\frac\pi3\\ x=sin\frac\pi3=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gather*} Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)