Арккосинус. Решение уравнения cos x=a

Определение косинуса через отношение сторон прямоугольника и с помощью числовой окружности – см. §2 данного справочника.
Свойства функции y=cosx на всей области определения \(x\in\mathbb{R}\) - см. §5 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций - см. §2 справочника для 9 класса.

п.1. Понятие арккосинуса

В записи \(y=cosx\) аргумент x - это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(cosx=1\), то \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\); \(cosx=0\), то \(x=\frac\pi2+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(0\leq x\leq \pi\) (верхняя половина числовой окружности).

\(arccos\frac12=\frac\pi3,\ \ arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi}{6}\)
\(arccos2\) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arccosx

1. Область определения \(-1\leq x\leq1\).
2. Функция ограничена сверху и снизу \(0\leq arccosx\leq \pi\). Область значений \(y\in[0;\pi]\)
3. Максимальное значение \(y_{max}=\pi\) достигается в точке x =-1
Минимальное значение \(y_{min}=0\) достигается в точке x =1
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.

п.3. Уравнение cos⁡x=a

Значениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус? Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.

1) Решим уравнение \(cosx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\pm\frac\pi3\) - это базовые корни.
Если взять верхний корень \(\frac\pi3\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi3+2\pi=\frac{7\pi}{3}\), косинус полученного угла \(cos\frac{7\pi}{3}=\frac12\), т.е. \(\frac{7\pi}{3}\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi3+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(-\frac\pi3+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k\)

Заметим, что полученный ответ является записью вида
\(x=\pm arccos\frac12+2\pi k\)
А т.к. арккосинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi3\), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение \(cosx=0,8\)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению верхняя точка – это угол, равный arccos⁡0,8. Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x=\pm arccos0,8+2\pi k\)

В общем случае:

п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента

Докажем полезную на практике формулу для \(arccos(-a)\).

По построению: $$ \begin{cases} \angle DA'O=\angle BAO=\angle CAO=90^{\circ}\\ OD=OB=OC=1\\ OA'=OA=a \end{cases} \Rightarrow $$ (по катету и гипотенузе) \begin{gather*} \Delta DA'O=\Delta BAO=\Delta CAO\Rightarrow\\ \Rightarrow \angle DOC=\angle A'OA-\alpha+\alpha=\angle A'OA=180^{\circ}=\pi\\ -arccosa+\pi=arccos(-a) \end{gather*}

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arccosx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(0\leq y\leq \pi\).
Обратная функция \(y=cosx\) должна иметь ограниченную область определения \(0\leq x\leq \pi\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) \(cos x=-1\) \(x=\pi+2\pi k\)	б) \(cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(x=\pm\frac\pi4+2\pi k\)
в) \(cos x=0\) \(x=\pm\frac\pi2+2\pi k=\frac\pi2+\pi k\)	г) \(cos x=\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет
д) \(cos x=0,7\) \(x=\pm arccos(0,7)+2\pi k\)	e) \(cos x=-0,2\) \(x=\pm arccos(-0,2)+2\pi k\)

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8;\ \ arccos(-0,5);\ \ arccos\frac\pi7 $$

	Способ 1. Решение с помощью числовой окружности Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\) Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π). Получаем: \(\angle A_1OA\lt\angle A_2OA\angle A_3OA\) $$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$
	Способ 2. Решение с помощью графика \(y=arccosx\) Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY - получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$
Способ 3. Аналитический Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция. Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; \(\frac\pi7\); -0,5. И записываем арккосинусы по возрастанию: \(arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5)\)

Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arccos(x^2-3x+3)=0\) \begin{gather*} x^2-3x+3=cos0=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end{gather*} Ответ: {1; 2}

\(б)\ arccos^2x-arccosx-6=0\)
\( \text{ОДЗ:}\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0\Rightarrow (t-3)(t+2)=0\Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} t_1=3\\ t_2=-2\lt 0 - \text{не подходит} \end{array} \right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin{gather*} arccosx=3\\ x=cos3 \end{gather*} Ответ: cos3

\(в)\ arccos^2x-\pi arccosx+\frac{2\pi^2}{9}=0\)
\( \text{ОДЗ:}\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: \begin{gather*} t^2-\pi t+\frac{2\pi^2}{9}=0\\ D=(\pi^2)-4\cdot \frac{2\pi^2}{9}=\frac{\pi^2}{9},\ \ \sqrt{D}=\frac\pi3\\ \left[ \begin{array} {l l} t_1=\frac{\pi-\frac\pi3}{2}=\frac\pi3\\ t_2=\frac{\pi+\frac\pi3}{2}=\frac{2\pi}{3} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} arccosx_1=\frac\pi3\\ arccosx_2=\frac{2\pi}{3} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} x_1=cos\left(\frac\pi3\right)=\frac12\\ x_2=cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12 \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(\left\{\pm\frac12\right\}\)