Номер / задача 982 страница 272, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: Укажите условия, при выполнении которых квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ — рациональные числа, имеет иррациональные корни.
Квадратное уравнение 
(
) имеет корни, определяемые формулой:
Поскольку 
, 
, 
— рациональные числа, то 
и 
— тоже рациональные числа, а значит, характер корней зависит от значения 
, где 
.
Корни будут иррациональными при одновременном выполнении двух условий:
(уравнение имеет действительные корни);
не является точным квадратом рационального числа, т.е. 
.
Действительно, если 
, но 
иррационально, то числитель 
иррационален (сумма рационального и иррационального числа), а деление иррационального числа на рациональное 
даёт иррациональное число.
Ответ: уравнение имеет иррациональные корни тогда и только тогда, когда дискриминант 
положителен и не является квадратом рационального числа.
