Номер / задача 874 страница 261, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
а)
Разложим выражение на множители:
Группируем:
Перепишем множители, упорядочив их. Заметим, что это произведение четырёх чисел. Обозначим 
, тогда 
и:
Но удобнее работать напрямую. Запишем множители:
Подставим 
(покажем, что 
чётно не обязательно — рассмотрим оба случая).
Случай 1: 
чётное. Пусть 
, тогда:
Здесь 
— произведение четырёх последовательных целых чисел, которое делится на 
. Значит, выражение делится на 
.
Случай 2: 
нечётное. Пусть 
, тогда:
Произведение: 
. Все четыре множителя нечётные, поэтому произведение нечётное и не делится на 2, а значит не делится на 384.
Однако при 
и 
нечётном проверим: 
: 
, что не делится на 384.
Значит, условие задачи подразумевает чётное 
. Перечитаем: сказано «
— натуральное число, большее 4». Проверим 
: 
. Не делится на 384. Значит, в условии подразумевается дополнительное ограничение — 
чётное и большее 4.
При чётном 
, 
, 
:
— произведение четырёх последовательных натуральных чисел, делится на 
.
б)
Разложим на множители:
Упорядочим:
Это произведение пяти последовательных целых чисел (при 
все они натуральные).
Произведение любых пяти последовательных целых чисел делится на 
, так как 
— целое число при любом целом 
(биномиальный коэффициент — целое число).
