Номер / задача 855 страница 260, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: Доказываем. Докажите, что если $n > 1$ и $n$ — нечётное число, то число вида $n^{12} - n^8 - n^4 + 1$ делится нацело на 128.
Разложим выражение на множители:
Заметим, что 
, поэтому:
Разложим 
дальше:
Итого:
Поскольку 
— нечётное и 
, положим 
для некоторого натурального 
.
Оценим чётность каждого множителя.
1) 
. Так как 
нечётно, оба числа 
и 
чётны, причём это два последовательных чётных числа, значит одно из них делится на 4. Поэтому:
Тогда 
.
2) 
. Так как 
нечётно, 
нечётно, значит 
— чётно, т.е. 
.
Тогда 
.
3) 
. Так как 
нечётно, 
нечётно, значит 
— чётно, т.е. 
.
Собираем степени двойки:
Но нам нужно доказать делимость на 128, а мы получили делимость на 512, что даже сильнее (512 = 4 · 128).
Тем не менее убедимся аккуратно в минимальной оценке. Достаточно показать, что произведение делится на 
:
(как минимум, ведь 
, значит квадрат 
),
,
.
Итого не менее 
.
Значит, 
делится на 128 при любом нечётном 
.
