Номер / задача 847 страница 260, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Доказательство

Пусть два последовательных натуральных числа — это и . Предположим противное: существует натуральное такое, что

Рассмотрим все возможные остатки при делении на 5. Число при делении на 5 даёт один из остатков: . Найдём остаток произведения при делении на 5 в каждом случае:

Остаток при делении на 5
0	1
1	2
2	3
3	4
4	0

Итак, произведение при делении на 5 может давать остатки только , или .

Теперь рассмотрим число при делении на 5:

то есть остаток при делении на 5 равен 1.

Значит, равенство возможно лишь при , т.е. для некоторого целого неотрицательного .

Подставим:

Если бы это равнялось , то:

Левая часть — целое число, а правая — нет. Противоречие.

Следовательно, произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть равным ни при каком натуральном .