Номер / задача 8 страница 315, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Решение

Идея: Катер может буксировать только один плот за раз. Пока катер везёт один плот, второй плот может дрейфовать по течению со скоростью реки. Оптимальная стратегия: катер тащит первый плот вперёд на некоторое расстояние, оставляет его (плот продолжает плыть по течению), возвращается за вторым, и так далее. Наименьшее время достигается, когда оба плота прибывают в пункт одновременно.

Обозначения:

• Собственная скорость катера: км/ч
• Скорость течения: км/ч
• Расстояние: км
• Скорость катера с плотом по течению: км/ч (плот тормозит катер — но в условии не сказано о снижении скорости, значит скорость буксировки по течению равна км/ч)
• Скорость катера без плота против течения: км/ч
• Скорость плота без катера (дрейф по течению): км/ч

Оптимальная стратегия:

Катер берёт плот №1, тащит его по течению на расстояние от , оставляет, возвращается к плоту №2 (который за это время сплавился по течению), берёт плот №2 и тащит его вперёд. Процесс повторяется. Оба плота должны прибыть в одновременно — тогда время минимально.

Симметрия задачи: По симметрии оптимальной стратегии оба плота в каждый момент находятся на одинаковом «среднем» расстоянии от . Заметим: всё время , которое длится процесс, каждый плот либо буксируется катером (со скоростью 23 км/ч), либо дрейфует (со скоростью 3 км/ч). По симметрии каждый плот буксируется ровно половину времени.

Пусть — полное время. Каждый плот буксируется время и дрейфует время , причём .

Но катер тратит время ещё и на возврат. Посчитаем точнее.

Пусть катер действует циклами. Рассмотрим один «цикл»: катер тащит плот №1 вперёд, затем возвращается к плоту №2.

Пусть в начале цикла расстояние между плотами равно . Катер тащит плот №1 вперёд время : плот №1 проходит , плот №2 проходит . Расстояние между ними стало .

Катер возвращается к плоту №2: расстояние , скорость сближения км/ч (катер против течения, плот по течению). Время возврата: .

По симметрии: катер должен тащить каждый плот одинаковое суммарное время. Оба плота прибывают одновременно, значит каждый проходит 58 км. Пусть суммарное время буксировки каждого плота , суммарное время дрейфа каждого плота .

Время, которое катер тратит на возвраты, равно (всего время , из них — буксировка двух плотов).

За время возврата катер проходит расстояние, равное пройденному расстоянию между плотами. Но суммарное расстояние возвратов: катер идёт против течения со скоростью 17, за время проходит . При этом за время возвратов плоты дрейфуют навстречу, так что расстояние покрывается со скоростью 20. Суммарное расстояние возвратов = ... но это расстояние равно суммарному «разрыву», который создаётся при буксировке = — нет, нужно аккуратнее.

Суммарное расстояние, покрытое катером за возвраты (в системе воды): скорость катера в воде = 20, время = , расстояние в воде = . Это должно равняться суммарному расстоянию разрыва в воде = — нет.

Проще: в системе воды (движущейся со скоростью 3) всё упрощается. Скорость катера = 20 в любом направлении, плоты без катера неподвижны, расстояние в системе воды «уплывает», но плотам нужно пройти км в системе воды (так как вода сама несёт их км).

В системе воды каждому плоту нужно пройти км, и он движется только когда его буксируют, со скоростью 20. Значит:

Катер в системе воды всегда движется со скоростью 20. За время он проходит путь . Этот путь складывается из буксировки (вперёд) и возвратов (назад):

Это тождество — не даёт информации. Нужно учесть, что путь катера = буксировка вперёд + возвраты назад, и направления разные.

В системе воды катер буксирует вперёд суммарно время , проходя вперёд. Возвращается суммарно время , проходя назад. Но катер стартует и финиширует... Катер начинает в точке (в системе воды — в точке 0) и заканчивает в точке (в системе воды — в точке ).

Перемещение катера в системе воды:

Нет, катер буксирует два плота поочерёдно, всегда вперёд, и возвращается назад:

Но , подставим:

Проверка: ч — каждый плот буксируется 2 часа.

Время возвратов: ч.

Каждый плот: км ✓

Описание стратегии:

1. Катер берёт плот №1 и буксирует его по течению (оба плота дрейфуют по течению, но плот №1 ещё и тянется катером).
2. Через некоторое время катер оставляет плот №1 (тот продолжает дрейфовать) и возвращается против течения к плоту №2.
3. Катер берёт плот №2 и буксирует его вперёд до тех пор, пока оба плота не окажутся в одной точке.
4. Цикл повторяется до прибытия в пункт .

За каждый цикл (буксировка первого — возврат — буксировка второго) оба плота оказываются в одной точке, и эффективная скорость перемещения составляет км/ч.

Ответ: наименьшее время буксировки равно часов.