Номер / задача 732 страница 221, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: Доказываем. Докажите свойства дисперсии:
а) если все числовые значения совокупности уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится;
б) если все числовые значения совокупности уменьшить (увеличить) в $k$ раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в $k^2$ раз.
а) Сдвиг на постоянную не меняет дисперсию
Пусть совокупность 
имеет среднее арифметическое 
.
Уменьшим (увеличим) каждое значение на постоянную 
. Получим новую совокупность:
Найдём среднее арифметическое новой совокупности:
Найдём отклонения новой совокупности от нового среднего:
Отклонения не изменились, значит, и квадраты отклонений не изменились. Тогда дисперсия новой совокупности:
Дисперсия не изменилась. 
б) Умножение на 
увеличивает дисперсию в 
раз
Пусть совокупность 
имеет среднее арифметическое 
.
Умножим каждое значение на 
. Получим новую совокупность:
Среднее арифметическое новой совокупности:
Отклонения новой совокупности от нового среднего:
Квадраты отклонений:
Тогда дисперсия новой совокупности:
Дисперсия увеличилась (уменьшилась) в 
раз. 
