User Name N
ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 679

Номер / задача 679 страница 190, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024
Условие: Докажите справедливость равенства: а) $\text{tg}\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$; б) $\text{tg}\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$; в) $\sin 2\alpha(\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + \cos 2\alpha(\cos 2\alpha + \cos 2\beta) = 2\cos^2(\alpha - \beta)$; г) $\sin 2\alpha(\sin 2\alpha - \sin 2\beta) + \cos 2\alpha(\cos 2\alpha - \cos 2\beta) = 2\sin^2(\alpha - \beta)$; д) $\cos^3\alpha\sin\alpha - \sin^3\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{4}\sin 4\alpha$; е) $2\sin 2\alpha\sin\alpha + \cos 3\alpha = \cos\alpha$; ж) $1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4\cos^2\alpha\cos 2\alpha$; з) $1 + 2\cos 3\alpha + \cos 6\alpha = 4\cos^2\dfrac{3\alpha}{2}\cos 3\alpha$; и) $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$; к) $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.

а)

По формулам половинного угла и синуса двойного угла (заменяя на ):

В числителе применяем формулу (1): .

В знаменателе: .

Равенство доказано.

б)

В числителе: .

В знаменателе по формуле (2): .

Равенство доказано.

в)

Раскроем левую часть:

Так как , получаем:

По формуле косинуса разности: .

По формуле квадрата косинуса половинного угла (заменяя на ):

Равенство доказано.

г)

Раскроем левую часть:

По формуле квадрата синуса половинного угла:

Равенство доказано.

д)

Вынесем в левой части:

По формуле синуса двойного угла: .

По формуле косинуса двойного угла: .

Равенство доказано.

е)

Представим . По формуле косинуса суммы:

Тогда левая часть:

По формуле косинуса разности:

Равенство доказано.

ж)

Сгруппируем левую часть:

По формуле квадрата косинуса половинного угла: .

Для второй скобки: . Представим , тогда:

Но проще так: применим формулу . Тогда:

По формуле квадрата косинуса половинного угла: .

Равенство доказано.

з)

Перегруппируем:

По формуле квадрата косинуса половинного угла: .

По формуле квадрата косинуса половинного угла: .

Равенство доказано.

и)

Представим . По формуле синуса суммы:

Подставим формулы двойного угла:

Равенство доказано.

к)

Представим . По формуле косинуса суммы:

Подставим формулы двойного угла:

Равенство доказано.

Номер 679