Номер / задача 673 страница 189, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: Докажите справедливость равенства:
а) $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$;
б) $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$;
в) $\dfrac{2\sin\alpha - \sin 2\alpha}{2\sin\alpha + \sin 2\alpha} = \tg^2\dfrac{\alpha}{2}$;
г) $\dfrac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \tg\left(\dfrac{\pi}{4} + \alpha\right)$;
д) $\dfrac{\tg\dfrac{\alpha}{2}}{1 + \tg\dfrac{\alpha}{2}} + \dfrac{\tg\dfrac{\alpha}{2}}{1 - \tg\dfrac{\alpha}{2}} = \tg\alpha$;
е) $\dfrac{1}{1 - \tg\dfrac{\alpha}{2}} - \dfrac{1}{1 + \tg\dfrac{\alpha}{2}} = \tg\alpha$;
ж) $\dfrac{2\tg\dfrac{\alpha}{2}}{1 - \tg^2\dfrac{\alpha}{2}} = \tg\alpha$;
з) $\dfrac{\ctg\dfrac{\alpha}{2} - \tg\dfrac{\alpha}{2}}{\ctg\dfrac{\alpha}{2} + \tg\dfrac{\alpha}{2}} = \cos\alpha$.
а) 
По формуле косинуса двойного угла:
Тогда
Равенство доказано.
б) 
Аналогично:
Равенство доказано.
в) 
Используя формулу 
, преобразуем левую часть:
Применяя формулы половинного угла из пунктов а) и б):
Равенство доказано.
г) 
Преобразуем правую часть по формуле тангенса суммы:
Преобразуем левую часть. Числитель:
Знаменатель:
Тогда
Левая часть равна правой. Равенство доказано.
д) 
Обозначим 
. Приведём левую часть к общему знаменателю:
По формуле из пункта ж) (докажем ниже независимо) 
. Но докажем это здесь напрямую:
Равенство доказано.
е) 
Обозначим 
. Приведём к общему знаменателю:
что доказано в пункте д). Равенство доказано.
ж) 
Обозначим 
:
Равенство доказано.
з) 
Обозначим 
, тогда 
:
Выразим через синус и косинус:
Равенство доказано.
