Номер / задача 650 страница 185, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: Докажите справедливость равенства:
а) $$\frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha - \cos\beta} = \operatorname{ctg}\frac{\beta-\alpha}{2};$$
б) $$\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} = \operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right).$$
а) Преобразуем числитель и знаменатель по формулам суммы синусов и разности косинусов:
Сокращаем 
:
Так как 
, имеем:
Равенство доказано. 
б) Представим 
и 
через синус и косинус, используя то, что 
, а 
:
По формулам косинуса разности и косинуса суммы:
Запишем косинусы через синусы дополнительных углов. Используем 
:
Тогда:
Однако проще поступить иначе — разделим числитель и знаменатель исходной дроби на 
:
Так как 
, получаем:
Равенство доказано. 
