Номер / задача 564 страница 165, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Доказательство.

Пусть точка единичной окружности соответствует рациональному числу , т.е. углу в радиан. По определению, эта же точка соответствует также любому углу вида , где .

Предположим противное: пусть точка соответствует ещё одному рациональному числу , причём . Тогда должно иметь вид:

для некоторого целого (так как ).

Отсюда:

Так как и — рациональные числа, то их разность тоже рациональное число. Значит, — рациональное число. Но , , поэтому:

что означало бы, что — рациональное число (как частное двух рациональных чисел, знаменатель которого отличен от нуля).

Однако известно, что число иррационально. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно.

Следовательно, если точка единичной окружности соответствует некоторому рациональному числу , то она не соответствует никакому другому рациональному числу.