Номер / задача 515 страница 146, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

а) Докажем, что делится на 8 для любого нечётного натурального .

Нечётные натуральные числа имеют вид , т.е. при натуральном . Будем вести индукцию по .

При (т.е. ): — делится на 8.

Предположим, что при (т.е. ) утверждение верно, т.е. делится на 8.

Докажем для (т.е. ):

Преобразуем:

Так как делится на 8 по предположению индукции, а делится на 8, то и делится на 8.

Следовательно, согласно принципу математической индукции делится на 8 для любого нечётного натурального .

б) Докажем, что делится на 8 для любого чётного натурального .

Чётные натуральные числа имеют вид при натуральном . Будем вести индукцию по .

При (т.е. ): — делится на 8.

Предположим, что при (т.е. ) утверждение верно, т.е. делится на 8.

Докажем для (т.е. ):

Преобразуем:

Так как делится на 8 по предположению индукции, а делится на 8, то и делится на 8.

Следовательно, согласно принципу математической индукции делится на 8 для любого чётного натурального .