Номер / задача 513 страница 146, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: *Задача Фаульхабера (Германия, 1580—1635).* Докажите, что для любого натурального $n$ выполняется равенство
$$1^5 + 2^5 + 3^5 + \ldots + n^5 = \frac{1}{12}(2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2).$$
Докажем по индукции, что для любого натурального 
выполняется равенство
База индукции. При 
левая часть равна 
. Правая часть:
Равенство 
при 
выполняется.
Индукционный переход. Предположим, что равенство 
выполняется при некотором 
, т. е.
Тогда
Приведём к общему знаменателю:
Раскроем 
:
Сложим с 
:
Теперь вычислим, чему должна быть равна правая часть 
при 
:
Раскроем каждое слагаемое:
Сложим:
Это совпадает с 
.
Таким образом, равенство 
выполняется для 
. Следовательно, согласно принципу математической индукции равенство 
верно при любом натуральном 
. 
