Номер / задача 512 страница 146, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: *Задача аль-Каши (XIV—XV вв.).* Докажите, что для любого натурального $n$ выполняется равенство
$$1^4 + 2^4 + 3^4 + \ldots + n^4 = \frac{1}{30}(6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n).$$
Докажем по индукции, что для любого натурального 
выполняется равенство
База индукции. При 
левая часть равна 
. Правая часть:
Равенство 
при 
выполняется.
Индукционный переход. Предположим, что равенство 
выполняется при некотором 
, т. е.
Тогда
Раскроем 
и приведём к общему знаменателю:
Нам нужно показать, что это равно 
. Раскроем:
Складываем:
Числители совпадают, т. е. равенство 
выполняется для 
.
Следовательно, согласно принципу математической индукции равенство 
верно при любом натуральном 
. 
