Номер / задача 511 страница 146, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: *Задача аль-Караджи (Иран, XI в.).* Докажите, что для любого натурального $n$ выполняется равенство
$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \ldots + n)^2.$$
Докажем по индукции, что для любого натурального 
выполняется равенство
Заметим, что 
, поэтому равенство 
можно записать в виде
База индукции. При 
левая часть равна 
, правая часть равна 
. Равенство 
выполняется.
Индукционный переход. Предположим, что равенство 
выполняется при некотором 
, т. е. что
Тогда
т. е. равенство 
выполняется для 
.
Следовательно, согласно принципу математической индукции равенство 
верно при любом натуральном 
. 
