ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 508

Номер / задача 508 страница 146, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024

Условие: Докажите методом математической индукции, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство: а) $1 + 2 + 3 + \ldots + n \leqslant n^2$; б) $2 + 4 + 6 + \ldots + 2n < (n + 1)^2$; в) $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{7} \cdot \ldots \cdot \dfrac{2n}{2n+1} > \dfrac{1}{2n}$; г) $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \dfrac{2n-1}{2n} < \dfrac{2n}{2n+1}$; д) $4^n > 7n - 5$; е) $2^n > 5n + 1$, $n \geqslant 5$.

а) Докажем, что для любого натурального .

При : — верно.

Пусть при неравенство верно, т. е. . Тогда

Нужно показать, что . Это равносильно , что верно для натурального . Значит,

Согласно принципу математической индукции неравенство верно для любого натурального .

б) Докажем, что для любого натурального .

При : — верно.

Пусть при неравенство верно: . Тогда

Нужно показать, что . Раскроем:

что очевидно. Значит,

Согласно принципу математической индукции неравенство верно для любого натурального .

в) Докажем, что для любого натурального .

При : — верно, так как .

Пусть при неравенство верно:

Умножим обе части на :

Нужно показать, что , т. е.

что верно для натурального . Значит, неравенство выполняется для .

Согласно принципу математической индукции неравенство верно для любого натурального .

г) Докажем, что для любого натурального .

При : — верно, так как .

Пусть при неравенство верно:

Умножим обе части на :

Нужно показать, что , т. е.

что верно. Значит, неравенство выполняется для .

Согласно принципу математической индукции неравенство верно для любого натурального .

д) Докажем, что для любого натурального .

При : — верно.

Пусть при неравенство верно: . Тогда

Нужно показать, что , т. е.

что верно при . При проверим переход напрямую: — верно.

Таким образом, неравенство выполняется для при всех .

Согласно принципу математической индукции неравенство верно для любого натурального .

е) Докажем, что для любого натурального .

При : — верно.

Пусть при () неравенство верно: . Тогда

Нужно показать, что , т. е.

что верно при . Значит,

Согласно принципу математической индукции неравенство верно для любого натурального .

Номер 508