ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 507

Номер / задача 507 страница 145, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024

Условие: Докажите методом математической индукции, что для любого натурального $n$ выполняется равенство: а) $1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{(n+1)n}{2}$; б) $2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = n(n+1)$; в) $1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) = n^2$; г) $3 + 12 + \ldots + 3 \cdot 4^{n-1} = 4^n - 1$; д) $4 + 0 + \ldots + 4 \cdot (2 - n) = 2n(3 - n)$; е) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$; ж) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + n(3n+1) = n(n+1)^2$.

а)

При : левая часть равна , правая часть равна . Равенство выполняется.

Пусть при равенство верно, т. е.

Тогда

т. е. равенство выполняется для . Следовательно, по принципу математической индукции равенство верно для любого натурального .

б)

При : . Верно.

Пусть при верно: . Тогда

т. е. равенство выполняется для . По принципу математической индукции равенство верно для любого натурального .

в)

При : . Верно.

Пусть при верно: . Тогда

т. е. равенство выполняется для . По принципу математической индукции равенство верно для любого натурального .

г)

При : и . Верно.

Пусть при верно: . Тогда

т. е. равенство выполняется для . По принципу математической индукции равенство верно для любого натурального .

д)

Общий член суммы: . При : .

При : левая часть , правая часть . Верно.

Пусть при верно: . Тогда

Проверим: . Совпадает.

Т. е. равенство выполняется для . По принципу математической индукции равенство верно для любого натурального .

е)

При : и . Верно.

Пусть при верно. Тогда

т. е. равенство выполняется для . По принципу математической индукции равенство верно для любого натурального .

ж)

При : и . Верно.

Пусть при верно: сумма равна . Тогда

т. е. равенство выполняется для . По принципу математической индукции равенство верно для любого натурального .

Номер 507