ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 506

Номер / задача 506 страница 145, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024

Условие: Докажите методом математической индукции, что: а) общий член геометрической прогрессии вычисляется по формуле $a^n = a_1 \cdot q^{n-1}$; б) сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

а) Докажем, что общий член геометрической прогрессии вычисляется по формуле

Действительно, так как , то при равенство выполняется.

Предположим, что равенство выполняется при некотором , т. е. что

Тогда по определению геометрической прогрессии , поэтому

т. е. равенство выполняется для . Следовательно, согласно принципу математической индукции равенство верно при любом натуральном .

б) Докажем, что сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Действительно, так как

то при равенство выполняется.

Предположим, что равенство выполняется при некотором , т. е. что

Тогда, используя доказанную формулу , получим:

т. е. равенство выполняется для . Следовательно, согласно принципу математической индукции равенство верно при любом натуральном .

Номер 506