ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 505

Номер / задача 505 страница 145, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024

Условие: Пусть $a < 0$. Докажите методом математической индукции, что: а) $a^n > 0$ для любого чётного натурального $n$; б) $a^n < 0$ для любого нечётного натурального $n$.

а) Докажем, что если , то для любого чётного натурального .

Чётные натуральные числа имеют вид , где — натуральное число. Докажем по индукции по , что .

При имеем . Так как , то , и . Утверждение верно.

Предположим, что при утверждение верно, т. е. . Докажем, что .

Имеем:

По предположению индукции , а также (доказано на базе). Произведение двух положительных чисел положительно, поэтому

Согласно принципу математической индукции для любого натурального , т. е. для любого чётного натурального .

б) Докажем, что если , то для любого нечётного натурального .

Нечётные натуральные числа имеют вид , где — натуральное число. Докажем по индукции по , что .

При имеем по условию. Утверждение верно.

Предположим, что при утверждение верно, т. е. . Докажем, что .

Имеем:

По предположению индукции , а (доказано в пункте а). Произведение отрицательного числа на положительное отрицательно, поэтому

Согласно принципу математической индукции для любого натурального , т. е. для любого нечётного натурального .

Номер 505