Номер / задача 504 страница 145, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

а) Докажем, что для любого натурального

При равенство (1) верно, так как .

Предположим, что равенство (1) выполняется при некотором , т. е. что

Тогда по определению степени (см. (2) из параграфа) имеем

т. е. равенство (1) выполняется для .

Следовательно, согласно принципу математической индукции равенство верно для любого натурального .

б) Докажем, что для любых натуральных и

Зададим произвольное и будем вести индукцию по .

При равенство (2) верно, так как .

Предположим, что равенство (2) выполняется при некотором , т. е. что

Тогда по определению степени имеем

где мы воспользовались уже доказанным в параграфе равенством (формула (7)).

Т. е. равенство (2) выполняется для .

Следовательно, согласно принципу математической индукции равенство верно для любого натурального при произвольно выбранном , т. е. для любых натуральных и .